Страница 47 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

314. Найти импульс грузового автомобиля массой 10 т, движущегося со скоростью 36 км/ч, и легкового автомобиля массой 1 т, движущегося со скоростью 25 м/с.

Дано:

Масса грузового автомобиля, $m_1 = 10 \text{ т}$
Скорость грузового автомобиля, $v_1 = 36 \text{ км/ч}$
Масса легкового автомобиля, $m_2 = 1 \text{ т}$
Скорость легкового автомобиля, $v_2 = 25 \text{ м/с}$

Перевод данных в систему СИ:
$m_1 = 10 \text{ т} = 10 \cdot 1000 \text{ кг} = 10000 \text{ кг}$
$v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{36 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$
$m_2 = 1 \text{ т} = 1 \cdot 1000 \text{ кг} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

Импульс грузового автомобиля $p_1$ и импульс легкового автомобиля $p_2$.

Решение:

Импульс тела — это физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Так как движение прямолинейное, будем находить модуль импульса по формуле:

$p = m \cdot v$

1. Найдем импульс грузового автомобиля:

$p_1 = m_1 \cdot v_1$

$p_1 = 10000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 100000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

2. Найдем импульс легкового автомобиля:

$p_2 = m_2 \cdot v_2$

$p_2 = 1000 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с} = 25000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 2,5 \cdot 10^4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: импульс грузового автомобиля равен $10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$; импульс легкового автомобиля равен $25000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

315. С какой скоростью должна лететь хоккейная шайба массой 160 г, чтобы её импульс был равен импульсу пули массой 8 г, летящей со скоростью 600 м/с?

Дано:

Масса хоккейной шайбы, $m_ш = 160 \text{ г}$
Масса пули, $m_п = 8 \text{ г}$
Скорость пули, $v_п = 600 \text{ м/с}$

$m_ш = 160 \text{ г} = 0.16 \text{ кг}$
$m_п = 8 \text{ г} = 0.008 \text{ кг}$

Скорость хоккейной шайбы $v_ш$.

Импульс тела (или количество движения) — это физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Формула для вычисления импульса:
$p = m \cdot v$

По условию задачи, импульс хоккейной шайбы $p_ш$ должен быть равен импульсу пули $p_п$. Запишем это условие в виде равенства:
$p_ш = p_п$

Распишем это равенство, подставив формулы импульса для шайбы и пули:
$m_ш \cdot v_ш = m_п \cdot v_п$

Из этого уравнения выразим искомую скорость хоккейной шайбы $v_ш$:
$v_ш = \frac{m_п \cdot v_п}{m_ш}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Для расчетов необходимо использовать единицы системы СИ (масса в килограммах, скорость в метрах в секунду).
$v_ш = \frac{0.008 \text{ кг} \cdot 600 \text{ м/с}}{0.16 \text{ кг}} = \frac{4.8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.16 \text{ кг}} = 30 \text{ м/с}$

Ответ:скорость, с которой должна лететь хоккейная шайба, равна 30 м/с.

316. Два тела одинакового объёма — стальное и свинцовое — движутся с одинаковыми скоростями. Сравнить импульсы этих тел.

316. Дано:
$V_{ст} = V_{св} = V$ (объёмы тел одинаковы)
$v_{ст} = v_{св} = v$ (скорости тел одинаковы)
Тело 1 — стальное
Тело 2 — свинцовое
Плотность стали $\rho_{ст} \approx 7800 \text{ кг/м}^3$
Плотность свинца $\rho_{св} \approx 11300 \text{ кг/м}^3$

Найти:
Сравнить импульсы тел $p_{ст}$ и $p_{св}$.

Решение:

Импульс тела (или количество движения) — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Формула для расчёта модуля импульса:$p = m \cdot v$

Запишем выражения для импульсов стального и свинцового тел:
Импульс стального тела: $p_{ст} = m_{ст} \cdot v_{ст}$
Импульс свинцового тела: $p_{св} = m_{св} \cdot v_{св}$

Масса тела является произведением его плотности на объём:$m = \rho \cdot V$

Выразим массы тел через их плотности и объёмы:
$m_{ст} = \rho_{ст} \cdot V_{ст}$
$m_{св} = \rho_{св} \cdot V_{св}$

Теперь подставим выражения для масс в формулы импульсов:
$p_{ст} = (\rho_{ст} \cdot V_{ст}) \cdot v_{ст}$
$p_{св} = (\rho_{св} \cdot V_{св}) \cdot v_{св}$

Из условия задачи известно, что объёмы тел равны ($V_{ст} = V_{св} = V$) и их скорости также равны ($v_{ст} = v_{св} = v$). Упростим выражения для импульсов с учётом этих данных:
$p_{ст} = \rho_{ст} \cdot V \cdot v$
$p_{св} = \rho_{св} \cdot V \cdot v$

Для сравнения импульсов найдём их отношение:$\frac{p_{св}}{p_{ст}} = \frac{\rho_{св} \cdot V \cdot v}{\rho_{ст} \cdot V \cdot v} = \frac{\rho_{св}}{\rho_{ст}}$

Обратимся к справочным данным для плотностей стали и свинца. Плотность свинца ($\rho_{св} \approx 11300 \text{ кг/м}^3$) больше плотности стали ($\rho_{ст} \approx 7800 \text{ кг/м}^3$). Таким образом, $\rho_{св} > \rho_{ст}$.

Так как отношение импульсов равно отношению плотностей, из неравенства $\rho_{св} > \rho_{ст}$ следует, что $p_{св} > p_{ст}$. Это означает, что при одинаковых объёмах и скоростях свинцовое тело, обладая большей массой из-за большей плотности, имеет и больший импульс.

Ответ: импульс свинцового тела больше импульса стального тела.

317¹. Поезд массой 2000 т, двигаясь прямолинейно, увеличил скорость от 36 до 72 км/ч. Найти изменение импульса поезда.

Дано

Найти:

$\Delta p - ?$

Решение

Импульс тела (или количество движения) — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Формула для расчета импульса:

$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $

Изменение импульса тела $\Delta p$ равно разности его конечного и начального импульсов. Так как движение поезда прямолинейное и скорость увеличивается, векторы начальной и конечной скорости сонаправлены. Поэтому можно перейти к скалярной форме записи:

$\Delta p = p - p_0$

где $p_0$ - начальный импульс, а $p$ - конечный импульс.

Выразим начальный и конечный импульсы через массу и скорости:

$p_0 = m \cdot v_0$

$p = m \cdot v$

Тогда формула для изменения импульса примет вид:

$\Delta p = m \cdot v - m \cdot v_0 = m \cdot (v - v_0)$

Подставим числовые значения величин, предварительно переведенные в систему СИ:

$\Delta p = 2 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}) = 2 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 20 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Запишем результат в стандартном виде:

$\Delta p = 2 \cdot 10^7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: изменение импульса поезда равно $2 \cdot 10^7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

318. Шарик массой 100 г свободно упал на горизонтальную площадку, имея в момент удара скорость 10 м/с. Найти изменение импульса шара при абсолютно неупругом и абсолютно упругом ударах². Вычислить среднюю силу, действующую на шарик во время удара, если неупругий удар длился 0,05 с, а упругий — 0,01 с.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$v_1 = 10 \text{ м/с}$
$\Delta t_{\text{неупр}} = 0.05 \text{ с}$
$\Delta t_{\text{упр}} = 0.01 \text{ с}$

Найти:

$\Delta p_{\text{неупр}} - ?$
$\Delta p_{\text{упр}} - ?$
$F_{\text{ср, неупр}} - ?$
$F_{\text{ср, упр}} - ?$

Решение:

Направим ось координат OY вертикально вниз, по направлению падения шарика. В этом случае проекция начальной скорости шарика на эту ось будет положительной: $v_{1y} = v_1 = 10 \text{ м/с}$.

Изменение импульса тела определяется как разность его конечного и начального импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$. В проекции на ось OY: $\Delta p_y = p_{2y} - p_{1y} = m v_{2y} - m v_{1y}$.

Изменение импульса шара при абсолютно неупругом ударе

При абсолютно неупругом ударе шарик останавливается, то есть его конечная скорость равна нулю: $v_2 = 0$.

Тогда изменение импульса шарика в проекции на ось OY равно:

$\Delta p_{\text{неупр}} = m \cdot 0 - m \cdot v_1 = -m v_1$

Подставим числовые значения:

$\Delta p_{\text{неупр}} = -0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = -1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Знак "минус" указывает, что вектор изменения импульса направлен против оси OY, то есть вертикально вверх. Модуль изменения импульса равен $1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: изменение импульса при абсолютно неупругом ударе по модулю равно $1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ и направлено вертикально вверх.

Изменение импульса шара при абсолютно упругом ударе

При абсолютно упругом ударе о массивную неподвижную поверхность шарик отскакивает со скоростью, равной по модулю начальной, но противоположной по направлению: $v_2 = -v_1$. В проекции на ось OY: $v_{2y} = -v_1 = -10 \text{ м/с}$.

Изменение импульса шарика в этом случае:

$\Delta p_{\text{упр}} = m v_{2y} - m v_{1y} = m(-v_1) - m v_1 = -2 m v_1$

Подставим числовые значения:

$\Delta p_{\text{упр}} = -2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = -2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Вектор изменения импульса также направлен вертикально вверх, а его модуль равен $2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: изменение импульса при абсолютно упругом ударе по модулю равно $2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ и направлено вертикально вверх.

Средняя сила, действующая на шарик во время удара

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на него: $\Delta \vec{p} = \vec{F}_{\text{ср}} \Delta t$. Отсюда среднюю силу можно выразить как $F_{\text{ср}} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.

Для абсолютно неупругого удара:

$F_{\text{ср, неупр}} = \frac{\Delta p_{\text{неупр}}}{\Delta t_{\text{неупр}}} = \frac{-1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.05 \text{ с}} = -20 \text{ Н}$

Знак "минус" показывает, что сила направлена вертикально вверх. Модуль силы равен $20 \text{ Н}$.

Для абсолютно упругого удара:

$F_{\text{ср, упр}} = \frac{\Delta p_{\text{упр}}}{\Delta t_{\text{упр}}} = \frac{-2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.01 \text{ с}} = -200 \text{ Н}$

Сила также направлена вертикально вверх, а ее модуль равен $200 \text{ Н}$.

Ответ: средняя сила при неупругом ударе равна $20 \text{ Н}$, при упругом — $200 \text{ Н}$.

319. Футбольному мячу массой 400 г при выполнении пенальти сообщили скорость 25 м/с. Если мяч попадает в грудь вратаря и отскакивает назад с той же по модулю скоростью, то удар длится 0,025 с. Если вратарь принимает удар на руки, то через 0,04 с он гасит скорость мяча до нуля. Найти среднюю силу удара в каждом случае.

Дано:

Масса мяча, $m = 400 \text{ г}$
Начальная скорость мяча, $v_0 = 25 \text{ м/с}$
Случай 1 (удар в грудь):
Конечная скорость мяча, $v_1 = -25 \text{ м/с}$ (направление изменилось на противоположное)
Время удара, $\Delta t_1 = 0,025 \text{ с}$
Случай 2 (удар на руки):
Конечная скорость мяча, $v_2 = 0 \text{ м/с}$
Время удара, $\Delta t_2 = 0,04 \text{ с}$

$m = 400 \text{ г} = 0,4 \text{ кг}$

Найти:

Среднюю силу удара в первом случае, $F_1 - ?$
Среднюю силу удара во втором случае, $F_2 - ?$

Решение:

Для нахождения средней силы удара воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме. Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело:

$\Delta p = F \cdot \Delta t$

Где $\Delta p$ – изменение импульса мяча, $F$ – средняя сила удара, $\Delta t$ – время взаимодействия.

Изменение импульса равно $ \Delta p = m \cdot v_{конечная} - m \cdot v_{начальная} = m(v_{конечная} - v_{начальная}) $.

Тогда средняя сила удара вычисляется по формуле:

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v_{конечная} - v_{начальная})}{\Delta t}$

Рассмотрим каждый случай отдельно. Направим ось ОХ по направлению начального движения мяча. Тогда начальная скорость $v_{начальная} = v_0 = 25 \text{ м/с}$.

1. Случай, когда мяч попадает в грудь вратаря

В этом случае мяч отскакивает назад с той же по модулю скоростью. Следовательно, его конечная скорость будет направлена в противоположную сторону: $v_{конечная} = v_1 = -v_0 = -25 \text{ м/с}$.

Найдем изменение импульса мяча:

$\Delta p_1 = m(v_1 - v_0) = m(-v_0 - v_0) = -2mv_0$

Средняя сила удара, действующая на мяч со стороны вратаря, равна:

$F_1 = \frac{\Delta p_1}{\Delta t_1} = \frac{-2mv_0}{\Delta t_1}$

По третьему закону Ньютона, сила, действующая со стороны мяча на вратаря, равна по модулю и противоположна по направлению. Нас интересует модуль (величина) силы удара:

$|F_1| = \frac{2mv_0}{\Delta t_1} = \frac{2 \cdot 0,4 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с}}{0,025 \text{ с}} = \frac{20}{0,025} = 800 \text{ Н}$

Ответ: Средняя сила удара о грудь вратаря равна $800 \text{ Н}$.

2. Случай, когда вратарь принимает удар на руки

В этом случае вратарь гасит скорость мяча до нуля, то есть конечная скорость мяча $v_{конечная} = v_2 = 0 \text{ м/с}$.

Найдем изменение импульса мяча:

$\Delta p_2 = m(v_2 - v_0) = m(0 - v_0) = -mv_0$

Найдем модуль средней силы удара:

$|F_2| = \frac{|\Delta p_2|}{\Delta t_2} = \frac{mv_0}{\Delta t_2} = \frac{0,4 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с}}{0,04 \text{ с}} = \frac{10}{0,04} = 250 \text{ Н}$

Ответ: Средняя сила удара на руки вратаря равна $250 \text{ Н}$.