Страница 43 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

288. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить, чтобы: удержать этот груз; тянуть равномерно вверх; тянуть с ускорением $1 \text{ м/с}^2$? Коэффициент трения 0,2.

Дано:

Длина наклонной плоскости, $l = 5$ м
Высота наклонной плоскости, $h = 3$ м
Масса груза, $m = 50$ кг
Коэффициент трения, $\mu = 0,2$
Ускорение, $a = 1$ м/с²
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Силу для удержания груза, $F_1$ - ?
Силу для равномерного подъема, $F_2$ - ?
Силу для подъема с ускорением, $F_3$ - ?

Решение:

Сначала найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$. Наклонная плоскость, ее высота и основание образуют прямоугольный треугольник.

Синус угла наклона: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{3}{5} = 0,6 $

Косинус угла наклона найдем из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$: $ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 $

На груз действуют следующие силы: сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($N$), сила трения ($F_{тр}$) и приложенная сила ($F$). Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY – перпендикулярно ей.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси.
Проекция на ось OY: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда сила нормальной реакции: $ N = mg \cos(\alpha) = 50 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 = 392 \text{ Н} $

Сила трения скольжения, которая будет действовать при движении: $ F_{тр} = \mu N = 0,2 \cdot 392 \text{ Н} = 78,4 \text{ Н} $

Проекция силы тяжести на ось OX (скатывающая сила): $ F_{g\parallel} = mg \sin(\alpha) = 50 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,6 = 294 \text{ Н} $

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

чтобы удержать этот груз
Чтобы удержать груз, нужно приложить силу $F_1$, которая вместе с силой трения покоя уравновесит скатывающую силу. Так как скатывающая сила ($294$ Н) больше максимальной силы трения покоя ($78,4$ Н), груз будет стремиться соскользнуть вниз. Следовательно, сила трения будет направлена вверх, помогая удерживающей силе $F_1$.
Условие равновесия (ускорение равно нулю): $ F_1 + F_{тр} - mg \sin(\alpha) = 0 $
Отсюда находим силу $F_1$: $ F_1 = mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 294 \text{ Н} - 78,4 \text{ Н} = 215,6 \text{ Н} $

Ответ: 215,6 Н.

тянуть равномерно вверх
При равномерном движении вверх (скорость постоянна, ускорение равно нулю) приложенная сила $F_2$ должна преодолевать скатывающую силу и силу трения скольжения, которая в этом случае будет направлена вниз (против движения).
Условие равновесия: $ F_2 - mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0 $
Отсюда находим силу $F_2$: $ F_2 = mg \sin(\alpha) + F_{тр} = 294 \text{ Н} + 78,4 \text{ Н} = 372,4 \text{ Н} $

Ответ: 372,4 Н.

тянуть с ускорением 1 м/с²
При движении вверх с ускорением $a$, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна $ma$. Сила трения по-прежнему направлена вниз.
Уравнение движения: $ F_3 - mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma $
Отсюда находим силу $F_3$: $ F_3 = ma + mg \sin(\alpha) + F_{тр} = 50 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с}^2 + 294 \text{ Н} + 78,4 \text{ Н} = 50 \text{ Н} + 372,4 \text{ Н} = 422,4 \text{ Н} $

Ответ: 422,4 Н.

289. Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением $0.2 \text{ м/с}^2$. Найти силу тяги, если уклон$^1$ равен 0,02 и коэффициент сопротивления 0,04.

Дано:

Масса автомобиля, $m = 4$ т

Ускорение, $a = 0,2$ м/с²

Уклон, $i = 0,02$

Коэффициент сопротивления, $k = 0,04$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Силу тяги, $F_{тяги}$ - ?

Решение:

На автомобиль, движущийся в гору, действуют: сила тяги $F_{тяги}$ (направлена вверх по склону), сила тяжести $m \cdot g$ (направлена вертикально вниз), сила нормальной реакции опоры $N$ (перпендикулярно склону) и сила сопротивления $F_{сопр}$ (направлена вниз по склону, против движения).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль склона в сторону движения автомобиля:

$m \cdot a = F_{тяги} - F_{g_x} - F_{сопр}$

где $F_{g_x}$ — это проекция силы тяжести на ось движения.

Выразим из этого уравнения искомую силу тяги:

$F_{тяги} = m \cdot a + F_{g_x} + F_{сопр}$

Проекция силы тяжести на наклонную плоскость вычисляется по формуле $F_{g_x} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол наклона дороги. Уклон $i$ по определению равен тангенсу угла наклона: $i = \tan(\alpha)$. Для малых углов (что характерно для автомобильных дорог) можно принять $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) = i$.

Следовательно, $F_{g_x} \approx m \cdot g \cdot i$.

Сила сопротивления движению $F_{сопр}$ определяется через коэффициент сопротивления $k$. В инженерных расчетах для транспортных средств эту силу часто определяют как долю от силы тяжести: $F_{сопр} = k \cdot m \cdot g$. (Это объединяет силу трения качения и сопротивление воздуха).

Подставим выражения для сил в основную формулу:

$F_{тяги} = m \cdot a + m \cdot g \cdot i + k \cdot m \cdot g$

Вынесем общие множители за скобки для упрощения расчетов:

$F_{тяги} = m \cdot (a + g \cdot (i + k))$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет, приняв $g = 9,8$ м/с²:

$F_{тяги} = 4000 \cdot (0,2 + 9,8 \cdot (0,02 + 0,04))$

$F_{тяги} = 4000 \cdot (0,2 + 9,8 \cdot 0,06)$

$F_{тяги} = 4000 \cdot (0,2 + 0,588)$

$F_{тяги} = 4000 \cdot 0,788$

$F_{тяги} = 3152$ Н

Результат можно выразить в килоньютонах: $3152 \text{ Н} = 3,152 \text{ кН}$.

Ответ: 3152 Н.

290. Поезд массой 3000 т движется вниз под уклон, равный 0,003. Коэффициент сопротивления движению равен 0,008. С каким ускорением движется поезд, если сила тяги локомотива равна: а) 300 кН; б) 150 кН; в) 90 кН?

Дано:

Масса поезда, $m = 3000 \text{ т} = 3000 \times 10^3 \text{ кг} = 3 \times 10^6 \text{ кг}$
Уклон, $i = 0,003$
Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,008$
Сила тяги:
а) $F_{\text{т,а}} = 300 \text{ кН} = 3 \times 10^5 \text{ Н}$
б) $F_{\text{т,б}} = 150 \text{ кН} = 1.5 \times 10^5 \text{ Н}$
в) $F_{\text{т,в}} = 90 \text{ кН} = 9 \times 10^4 \text{ Н}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Ускорение поезда $a$ для каждого случая: $a_{\text{а}}$, $a_{\text{б}}$, $a_{\text{в}}$.

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для поезда, движущегося вниз под уклон. На поезд действуют следующие силы в направлении движения: сила тяги локомотива $F_{\text{т}}$, скатывающая составляющая силы тяжести $F_{\text{ск}}$ и сила сопротивления движению $F_{\text{сопр}}$.

Уравнение движения в проекции на направление движения (вниз по уклону) имеет вид:
$ma = F_{\text{т}} + F_{\text{ск}} - F_{\text{сопр}}$

Скатывающая сила определяется как проекция силы тяжести на наклонную плоскость: $F_{\text{ск}} = mg \sin\alpha$. Для малых углов, характерных для железнодорожных уклонов, можно считать, что уклон $i = \tan\alpha \approx \sin\alpha$. Тогда:
$F_{\text{ск}} = mgi$

Сила сопротивления движению пропорциональна силе тяжести (для малых уклонов сила нормальной реакции опоры $N \approx mg$). Следовательно:
$F_{\text{сопр}} = \mu mg$

Подставим выражения для сил в уравнение второго закона Ньютона:
$ma = F_{\text{т}} + mgi - \mu mg$

Выразим ускорение $a$:
$a = \frac{F_{\text{т}} + mgi - \mu mg}{m} = \frac{F_{\text{т}}}{m} + g(i - \mu)$

Теперь рассчитаем ускорение для каждого из трех случаев, подставляя соответствующие значения силы тяги.

а) При силе тяги $F_{\text{т,а}} = 3 \times 10^5 \text{ Н}$:

$a_{\text{а}} = \frac{3 \times 10^5 \text{ Н}}{3 \times 10^6 \text{ кг}} + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (0,003 - 0,008) = 0,1 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (-0,005) = 0,1 \text{ м/с}^2 - 0,049 \text{ м/с}^2 = 0,051 \text{ м/с}^2$

Ответ: $0,051 \text{ м/с}^2$

б) При силе тяги $F_{\text{т,б}} = 1,5 \times 10^5 \text{ Н}$:

$a_{\text{б}} = \frac{1,5 \times 10^5 \text{ Н}}{3 \times 10^6 \text{ кг}} + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (0,003 - 0,008) = 0,05 \text{ м/с}^2 - 0,049 \text{ м/с}^2 = 0,001 \text{ м/с}^2$

Ответ: $0,001 \text{ м/с}^2$

в) При силе тяги $F_{\text{т,в}} = 9 \times 10^4 \text{ Н}$:

$a_{\text{в}} = \frac{9 \times 10^4 \text{ Н}}{3 \times 10^6 \text{ кг}} + 9,8 \text{ м/с}^2 \times (0,003 - 0,008) = 0,03 \text{ м/с}^2 - 0,049 \text{ м/с}^2 = -0,019 \text{ м/с}^2$

Отрицательное значение ускорения означает, что поезд движется равнозамедленно, так как сила сопротивления превышает сумму силы тяги и скатывающей силы.

Ответ: $-0,019 \text{ м/с}^2$

291. Мотоцикл массой 300 кг начал движение из состояния покоя на горизонтальном участке дороги. Затем дорога пошла под уклон, равный 0,02. Какую скорость приобрёл мотоцикл через 10 с после начала движения, если горизонтальный участок дороги он проехал за половину этого времени? Сила тяги и коэффициент сопротивления движению на всем пути постоянны и соответственно равны 180 Н и 0,04.

Дано:

масса мотоцикла $m = 300$ кг
начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
общее время движения $t_{общ} = 10$ с
время движения на горизонтальном участке $t_1 = 10 / 2 = 5$ с
время движения на наклонном участке $t_2 = 5$ с
уклон дороги $i = 0,02$
сила тяги $F_{тяги} = 180$ Н
коэффициент сопротивления движению $\mu = 0,04$
ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с²

Найти:

скорость мотоцикла через 10 с после начала движения, $v$.

Решение:

Движение мотоцикла состоит из двух этапов: движение по горизонтальному участку и движение по участку с уклоном. Найдем конечную скорость, последовательно рассмотрев каждый этап.

Этап 1: Движение на горизонтальном участке ($t_1 = 5$ с).

Запишем второй закон Ньютона для мотоцикла на горизонтальном участке. Ось $Ox$ направим по направлению движения, ось $Oy$ - перпендикулярно вверх.

Проекция на ось $Ox$: $m a_1 = F_{тяги} - F_{сопр,1}$, где $a_1$ - ускорение на первом участке, а $F_{сопр,1}$ - сила сопротивления.

Проекция на ось $Oy$: $N_1 - mg = 0$, откуда сила нормальной реакции опоры $N_1 = mg$.

Сила сопротивления равна $F_{сопр,1} = \mu N_1 = \mu mg$.

Вычислим силу сопротивления:
$F_{сопр,1} = 0,04 \cdot 300 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 117,6 \text{ Н}$.

Теперь найдем ускорение мотоцикла на первом участке:
$a_1 = \frac{F_{тяги} - F_{сопр,1}}{m} = \frac{180 \text{ Н} - 117,6 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = \frac{62,4 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = 0,208 \text{ м/с}^2$.

Скорость мотоцикла в конце первого этапа (через $t_1 = 5$ с) находится по формуле $v_1 = v_0 + a_1 t_1$. Так как мотоцикл начал движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), то:
$v_1 = 0,208 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с} = 1,04 \text{ м/с}$.

Этап 2: Движение на наклонном участке ($t_2 = 5$ с).

На втором этапе дорога идет под уклон. Начальная скорость для этого этапа равна скорости в конце первого этапа, т.е. $v_1 = 1,04$ м/с. Направим ось $Ox$ вдоль уклона вниз.

На мотоцикл действуют: сила тяги $F_{тяги}$, скатывающая составляющая силы тяжести $mg \sin(\alpha)$ и сила сопротивления $F_{сопр,2}$. Угол наклона $\alpha$ связан с уклоном $i$ как $\sin(\alpha) = i = 0,02$ (для малых углов).

Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$:
$m a_2 = F_{тяги} + mg \sin(\alpha) - F_{сопр,2}$.

Сила сопротивления $F_{сопр,2} = \mu N_2$, где $N_2 = mg \cos(\alpha)$. Поскольку $\sin(\alpha) = 0,02$ - малая величина, $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,02^2} \approx 1$. Поэтому можно считать, что $F_{сопр,2} \approx \mu mg = 117,6 \text{ Н}$.

Скатывающая составляющая силы тяжести:
$mg \sin(\alpha) = 300 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,02 = 58,8 \text{ Н}$.

Найдем ускорение на втором участке $a_2$:
$a_2 = \frac{F_{тяги} + mg \sin(\alpha) - F_{сопр,2}}{m} = \frac{180 \text{ Н} + 58,8 \text{ Н} - 117,6 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = \frac{121,2 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = 0,404 \text{ м/с}^2$.

Конечная скорость мотоцикла $v$ через $t_2=5$ с движения по уклону:
$v = v_1 + a_2 t_2 = 1,04 \text{ м/с} + 0,404 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с} = 1,04 \text{ м/с} + 2,02 \text{ м/с} = 3,06 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость мотоцикла через 10 с после начала движения равна $3,06 \text{ м/с}$.

292. Брусок массой 2 кг находится на наклонной плоскости с углом наклона $30^\circ$. Какую силу $\vec{F}$, направленную горизонтально (рис. 39), надо приложить к бруску, чтобы он двигался равномерно по наклонной плоскости? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,3.

Рис. 39

Дано:

Масса бруска, $m = 2$ кг
Угол наклона плоскости, $\alpha = 30^\circ$
Коэффициент трения, $\mu = 0,3$
Брусок движется равномерно, следовательно, ускорение $a = 0$ м/с$^2$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу, $F - ?$

Решение:

На брусок действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила реакции опоры ($\vec{N}$), горизонтально направленная сила ($\vec{F}$) и сила трения ($\vec{F}_{тр}$). Так как брусок движется равномерно, по первому закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\sum \vec{F}_i = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$

Введем систему координат: ось $OX$ направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $OY$ — перпендикулярно наклонной плоскости. Запишем уравнение в проекциях на эти оси. Вопрос "какую силу надо приложить, чтобы он двигался" может подразумевать движение как вверх, так и вниз по наклонной плоскости. Наиболее распространенной трактовкой является движение вверх, так как сила $\vec{F}$ имеет составляющую, направленную вверх по склону. В этом случае сила трения будет направлена вниз по наклонной плоскости, против движения.

Проекции сил на оси координат:

• Сила тяжести $m\vec{g}$: проекция на $OX$ равна $-mg \sin\alpha$, проекция на $OY$ равна $-mg \cos\alpha$.
• Сила реакции опоры $\vec{N}$: проекция на $OX$ равна 0, проекция на $OY$ равна $N$.
• Приложенная сила $\vec{F}$: проекция на $OX$ равна $F \cos\alpha$, проекция на $OY$ равна $-F \sin\alpha$.
• Сила трения $\vec{F}_{тр}$: проекция на $OX$ равна $-F_{тр}$, проекция на $OY$ равна 0.

Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры соотношением $F_{тр} = \mu N$.

Запишем уравнения равновесия в проекциях:

На ось $OX$: $F \cos\alpha - mg \sin\alpha - F_{тр} = 0$

На ось $OY$: $N - mg \cos\alpha - F \sin\alpha = 0$

Из уравнения для оси $OY$ выразим силу реакции опоры $N$:

$N = mg \cos\alpha + F \sin\alpha$

Теперь подставим это выражение для $N$ в формулу для силы трения $F_{тр} = \mu N$ и затем в уравнение для оси $OX$:

$F \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + F \sin\alpha) = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие искомую силу $F$:

$F \cos\alpha - \mu F \sin\alpha = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$

Вынесем $F$ за скобки в левой части и $mg$ в правой:

$F(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

Отсюда находим выражение для силы $F$:

$F = mg \frac{\sin\alpha + \mu \cos\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$\sin(30^\circ) = 0,5$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$F = 2 \cdot 9,8 \cdot \frac{0,5 + 0,3 \cdot 0,866}{0,866 - 0,3 \cdot 0,5} = 19,6 \cdot \frac{0,5 + 0,2598}{0,866 - 0,15} = 19,6 \cdot \frac{0,7598}{0,716} \approx 19,6 \cdot 1,061 \approx 20,8$ Н

Ответ: чтобы брусок двигался равномерно вверх по наклонной плоскости, нужно приложить горизонтальную силу, равную приблизительно $20,8$ Н.

293. Поместить на линейке небольшой предмет (резинку, монету и т. д.). Постепенно поднимать конец линейки, пока предмет не начнёт скользить. Измерить высоту $h$ и основание $b$ полученной наклонной плоскости и вычислить коэффициент трения.

Данная задача представляет собой описание лабораторной работы по определению коэффициента трения скольжения. Для ее решения необходимо сначала теоретически вывести рабочую формулу, а затем использовать ее для расчета на основе экспериментальных данных.

Решение

Рассмотрим тело (предмет), находящееся на наклонной плоскости (линейке), образующей угол $\alpha$ с горизонтом. В момент, когда тело готово начать соскальзывать, оно находится в состоянии предельного равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости; и максимальная сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх.

Согласно второму закону Ньютона, условие равновесия тела в векторной форме выглядит так:

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$

Для удобства выберем систему координат, в которой ось $OX$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ — перпендикулярно ей. Спроецируем силы на эти оси:

Проекция на ось $OY$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда получаем выражение для силы нормальной реакции:

$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось $OX$: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Отсюда получаем выражение для силы трения:

$F_{тр} = mg \sin(\alpha)$

В момент начала скольжения сила трения покоя достигает своего максимального значения, которое связано с коэффициентом трения $\mu$ и силой нормальной реакции $N$ следующим соотношением:

$F_{тр} = \mu N$

Теперь мы можем приравнять два выражения для силы трения:

$\mu N = mg \sin(\alpha)$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $N$:

$\mu (mg \cos(\alpha)) = mg \sin(\alpha)$

Сократив обе части уравнения на $mg$ (это показывает, что результат не зависит от массы предмета), получим:

$\mu \cos(\alpha) = \sin(\alpha)$

Выразим коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$

Согласно условию задачи, мы измеряем высоту $h$ и основание $b$ полученной наклонной плоскости. Эти величины являются катетами прямоугольного треугольника, в котором тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $h$ к прилежащему катету $b$:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{b}$

Таким образом, искомый коэффициент трения можно вычислить по простой формуле:

$\mu = \frac{h}{b}$

Теперь проведем примерный расчет, используя гипотетические данные, которые могли бы быть получены в ходе эксперимента.

Дано:

Высота $h = 12$ см
Основание $b = 30$ см

Переведем данные в систему СИ:
$h = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$b = 30 \text{ см} = 0.30 \text{ м}$

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение

Воспользуемся выведенной формулой для расчета коэффициента трения:

$\mu = \frac{h}{b}$

Подставим в формулу измеренные значения. Можно использовать значения как в сантиметрах, так и в метрах, поскольку единицы измерения сократятся и результат будет безразмерным.

$\mu = \frac{12 \text{ см}}{30 \text{ см}} = 0.4$

Или в системе СИ:

$\mu = \frac{0.12 \text{ м}}{0.30 \text{ м}} = 0.4$

Ответ: коэффициент трения вычисляется по формуле $\mu = \frac{h}{b}$, где $h$ — высота, а $b$ — основание наклонной плоскости в момент начала скольжения предмета. Для примера с $h=12$ см и $b=30$ см коэффициент трения равен 0.4.