Страница 40 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

264. Поместить на лист бумаги стакан с водой. Тянуть лист по столу сначала плавно (с небольшим ускорением), затем рывком. Объяснить результат опыта. С каким ускорением $a$ надо привести в движение лист, чтобы выдернуть его из-под стакана, если коэффициент трения (стекло по бумаге) равен 0,3? Изменится ли результат опыта, если стакан будет пустым?

Объяснение результата опыта

Это явление объясняется законом инерции (первым законом Ньютона) и силой трения.

1. При плавном движении (с небольшим ускорением): Сила трения покоя между дном стакана и листом бумаги достаточно велика, чтобы сообщить стакану такое же ускорение, как и у листа. Второй закон Ньютона для стакана в горизонтальном направлении: $F_{тр} = m \cdot a_{ст}$. Пока сила, необходимая для ускорения стакана ($m \cdot a_{бум}$), не превышает максимальную силу трения покоя ($F_{тр.макс} = \mu \cdot N$), стакан движется вместе с бумагой.

2. При резком рывке (с большим ускорением): Из-за инерции стакан стремится сохранить свое состояние покоя. Чтобы сообщить стакану большое ускорение, требуется значительная сила. Если требуемая сила ($m \cdot a_{бум}$) превышает максимальную силу трения покоя, бумага начинает проскальзывать под стаканом. На стакан действует сила трения скольжения, которая сообщает ему некоторое ускорение, но поскольку рывок происходит очень быстро, смещение стакана оказывается незначительным. Бумага выскальзывает из-под стакана, а стакан практически остается на месте.

Ответ: При плавном движении стакан движется вместе с бумагой за счет силы трения покоя. При резком рывке стакан, в силу своей инерции, не успевает набрать скорость бумаги, и бумага выскальзывает из-под него, так как сила, необходимая для его ускорения, превышает максимальную силу трения.

Расчет ускорения

Дано:

Найти:

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на стакан в системе отсчета, связанной со столом. По вертикали на стакан действует сила тяжести $F_т = mg$ и сила нормальной реакции со стороны листа бумаги $N$. Так как по вертикали движения нет, эти силы уравновешивают друг друга: $N = mg$.

По горизонтали на стакан действует только сила трения $F_{тр}$ со стороны листа бумаги. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает стакану ускорение $a_{ст}$:

$F_{тр} = m \cdot a_{ст}$

Максимальная сила трения покоя, которую может обеспечить бумага, равна:

$F_{тр.макс} = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g$

Следовательно, максимальное ускорение, которое бумага может сообщить стакану, не вызывая проскальзывания, равно:

$a_{ст.макс} = \frac{F_{тр.макс}}{m} = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{m} = \mu \cdot g$

Чтобы выдернуть лист бумаги из-под стакана, ускорение листа $a$ должно быть больше, чем максимальное ускорение, которое может приобрести стакан за счет трения. То есть, должно выполняться условие:

$a > a_{ст.макс}$

$a > \mu \cdot g$

Подставим числовые значения:

$a > 0,3 \cdot 9,8 \, м/с^2$

$a > 2,94 \, м/с^2$

Следовательно, лист нужно привести в движение с ускорением, большим чем $2,94 \, м/с^2$.

Ответ: Чтобы выдернуть лист из-под стакана, его нужно привести в движение с ускорением $a > 2,94 \, м/с^2$.

Влияние массы стакана

Рассмотрим, изменится ли результат опыта, если стакан будет пустым. Условие проскальзывания бумаги под стаканом, как было выведено выше, имеет вид $a > \mu \cdot g$.

Как видно из этой формулы, минимальное ускорение $a$, необходимое для того, чтобы бумага выскользнула из-под стакана, зависит только от коэффициента трения $\mu$ и ускорения свободного падения $g$. Масса стакана $m$ сократилась при выводе формулы.

Это означает, что и для полного, и для пустого стакана (при условии, что коэффициент трения $\mu$ одинаков) пороговое значение ускорения будет одним и тем же.

Хотя сила трения для полного стакана ($F_{тр.полн} = \mu \cdot m_{полн} \cdot g$) больше, чем для пустого ($F_{тр.пуст} = \mu \cdot m_{пуст} \cdot g$), его инертность (масса) также больше. Эти два эффекта компенсируют друг друга, и максимальное ускорение, которое трение может сообщить стакану, не зависит от его массы.

Ответ: В рамках данной физической модели результат опыта (минимальное ускорение для проскальзывания) не изменится, так как он не зависит от массы стакана.

265*. В кузове автомобиля лежит ящик. Когда автомобиль стал трогаться с места с ускорением $1,6 \text{ м/с}^2$, ящик оставался на месте (относительно автомобиля), а при торможении с ускорением $2 \text{ м/с}^2$ ящик скользил относительно кузова. В каких пределах заключено значение коэффициента трения?

Дано:

Ускорение при разгоне, когда ящик покоится: $a_1 = 1,6 \, \text{м/с}^2$

Ускорение при торможении, когда ящик скользит: $a_2 = 2 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Пределы значения коэффициента трения $\mu$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на ящик. В вертикальной оси сила тяжести $mg$ уравновешивается силой нормальной реакции опоры $N$, поэтому $N=mg$. Максимальная сила трения покоя, которая может действовать между ящиком и кузовом, определяется как $F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg$, где $\mu$ — коэффициент трения покоя. Движение или покой ящика относительно кузова определяется соотношением между силой инерции $F_{ин} = ma$ (в неинерциальной системе отсчета, связанной с автомобилем) и максимальной силой трения покоя.

Когда автомобиль трогается с места с ускорением $a_1 = 1,6 \, \text{м/с}^2$, ящик остается на месте. Это означает, что сила трения покоя достаточна, чтобы удержать ящик. Сила инерции в этом случае не превышает максимальную силу трения покоя: $ma_1 \le F_{тр.макс}$ $ma_1 \le \mu mg$ Отсюда получаем первое условие для коэффициента трения: $\mu \ge \frac{a_1}{g}$ Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$. $\mu \ge \frac{1,6}{10} \implies \mu \ge 0,16$

При торможении с ускорением $a_2 = 2 \, \text{м/с}^2$ ящик скользит. Это означает, что сила инерции превысила максимальную силу трения покоя: $ma_2 > F_{тр.макс}$ $ma_2 > \mu mg$ Отсюда получаем второе условие для коэффициента трения: $\mu < \frac{a_2}{g}$ $\mu < \frac{2}{10} \implies \mu < 0,2$

Объединяя оба условия, получаем, что значение коэффициента трения $\mu$ находится в следующих пределах: $0,16 \le \mu < 0,2$

Ответ: значение коэффициента трения заключено в пределах $0,16 \le \mu < 0,2$.

266. Что должен сделать водитель машины, подъезжая к крутому повороту? Почему водитель должен быть особенно внимательным в сырую погоду, во время листопада или при гололёде?

Что должен сделать водитель машины, подъезжая к крутому повороту?

При движении автомобиля на повороте на него действует центростремительная сила, которая удерживает его на траектории, представляющей собой дугу окружности. Эта сила, согласно второму закону Ньютона, равна $F_ц = ma_ц = \frac{mv^2}{R}$, где $m$ – масса автомобиля, $v$ – его скорость, а $R$ – радиус поворота.

Роль центростремительной силы в данном случае выполняет сила трения покоя между шинами автомобиля и дорожным покрытием. Максимальная величина этой силы ограничена: $F_{тр.max} = \mu N$, где $\mu$ – коэффициент трения, а $N$ – сила нормальной реакции опоры.

Крутой поворот характеризуется малым радиусом $R$. Как видно из формулы для центростремительной силы, чем меньше радиус $R$ и чем больше скорость $v$, тем большая сила требуется для удержания автомобиля на повороте. Если требуемая центростремительная сила $ \frac{mv^2}{R} $ превысит максимальную силу трения $F_{тр.max}$, произойдет занос автомобиля, так как сцепление колес с дорогой будет недостаточным.

Чтобы этого избежать, водитель должен заранее снизить скорость $v$ перед входом в поворот. Уменьшение скорости значительно снижает величину необходимой центростремительной силы (она пропорциональна квадрату скорости), что позволяет безопасно пройти поворот даже при малом радиусе.

Ответ: Подъезжая к крутому повороту, водитель должен заблаговременно снизить скорость.

Почему водитель должен быть особенно внимательным в сырую погоду, во время листопада или при гололёде?

Безопасное управление автомобилем (разгон, торможение, повороты) напрямую зависит от силы сцепления колес с дорогой, то есть от силы трения. Величина максимальной силы трения определяется коэффициентом трения $\mu$ между шинами и дорожным покрытием.

В сырую погоду вода, попадая между шинами и дорогой, действует как смазка и значительно уменьшает коэффициент трения. Во время листопада мокрые листья на дороге создают еще более скользкий слой, который еще сильнее снижает сцепление. При гололёде коэффициент трения между резиной и льдом становится критически низким.

Снижение коэффициента трения $\mu$ означает, что максимальная сила трения, способная удержать автомобиль на повороте или обеспечить эффективное торможение, резко падает. В результате, максимально допустимая скорость на повороте, при которой автомобиль не сорвется в занос, становится значительно ниже. Тормозной путь автомобиля существенно увеличивается, а при резком разгоне колеса могут начать пробуксовывать. По этим причинам водитель должен быть особенно внимательным и осмотрительным в таких погодных условиях, снижать скорость, увеличивать дистанцию до других автомобилей и избегать резких маневров.

Ответ: В сырую погоду, во время листопада или при гололёде коэффициент трения между шинами и дорогой значительно уменьшается, что резко снижает сцепление с дорогой. Это увеличивает риск заноса на поворотах, удлиняет тормозной путь и может привести к потере управления автомобилем.

267. На горизонтальной дороге автомобиль делает поворот радиусом 16 м. Какую наибольшую скорость может развить автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения колёс о дорогу равен 0,4? Во сколько раз изменится эта скорость зимой, когда коэффициент трения станет меньше в 4 раза?

Дано:

Радиус поворота, $R = 16$ м

Коэффициент трения летом, $\mu_1 = 0,4$

Уменьшение коэффициента трения зимой в 4 раза

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

1. Наибольшую скорость $v_1$ летом.

2. Во сколько раз изменится скорость зимой (найти отношение $v_1/v_2$).

Решение:

Какую наибольшую скорость может развить автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения колёс о дорогу равен 0,4?

Когда автомобиль совершает поворот, он движется по дуге окружности. Для такого движения необходима центростремительная сила, которая в данном случае создается силой трения покоя между колёсами и дорогой. Эта сила направлена к центру поворота.

Центростремительное ускорение равно $a_ц = \frac{v^2}{R}$. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила равна $F_ц = m \cdot a_ц = \frac{m v^2}{R}$, где $m$ — масса автомобиля.

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое определяется формулой $F_{тр.макс} = \mu \cdot N$, где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

На горизонтальной дороге сила нормальной реакции опоры уравновешивает силу тяжести: $N = m \cdot g$. Следовательно, максимальная сила трения: $F_{тр.макс} = \mu \cdot m \cdot g$.

Чтобы автомобиль не занесло, центростремительная сила не должна превышать максимальную силу трения: $F_ц \le F_{тр.макс}$

Наибольшая скорость $v_1$ достигается при равенстве этих сил: $\frac{m v_1^2}{R} = \mu_1 \cdot m \cdot g$

Масса автомобиля $m$ сокращается, и мы можем выразить скорость: $v_1^2 = \mu_1 \cdot g \cdot R$ $v_1 = \sqrt{\mu_1 \cdot g \cdot R}$

Подставим числовые значения для летних условий ($\mu_1 = 0,4$): $v_1 = \sqrt{0,4 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 16 \text{ м}} = \sqrt{64 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 8 \text{ м/с}$

Ответ: Наибольшая скорость, которую может развить автомобиль летом, чтобы его не занесло, составляет 8 м/с.

Во сколько раз изменится эта скорость зимой, когда коэффициент трения станет меньше в 4 раза?

Зимой коэффициент трения становится $\mu_2 = \frac{\mu_1}{4} = \frac{0,4}{4} = 0,1$.

Наибольшая безопасная скорость зимой $v_2$ вычисляется по той же формуле, но с новым коэффициентом трения $\mu_2$: $v_2 = \sqrt{\mu_2 \cdot g \cdot R}$

Чтобы определить, во сколько раз изменится скорость, найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\mu_1 \cdot g \cdot R}}{\sqrt{\mu_2 \cdot g \cdot R}} = \sqrt{\frac{\mu_1 \cdot g \cdot R}{\mu_2 \cdot g \cdot R}} = \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}}$

Поскольку мы знаем, что $\mu_1 = 4 \mu_2$, подставим это соотношение в формулу: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{4\mu_2}{\mu_2}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, скорость зимой $v_2 = v_1 / 2$. Она уменьшится в 2 раза.

Ответ: Зимой наибольшая безопасная скорость уменьшится в 2 раза.

268. Найти наименьший радиус дуги для поворота автомобиля, движущейся по горизонтальной дороге со скоростью 36 км/ч, если коэффициент трения скольжения колёс о дорогу 0,25.

Дано:

Скорость автомобиля, $v = 36$ км/ч

Коэффициент трения скольжения колес о дорогу, $\mu = 0,25$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод данных в систему СИ:

Скорость: $v = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Наименьший радиус дуги для поворота $R_{min}$.

Решение:

Когда автомобиль движется по дуге окружности на горизонтальной дороге, его центростремительное ускорение обеспечивается силой трения покоя между шинами и дорогой. Эта сила направлена к центру окружности поворота.

По второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_ц$, необходимая для движения по окружности, равна:

$F_ц = m a_ц = m \frac{v^2}{R}$

где $m$ - масса автомобиля, $v$ - его скорость, а $R$ - радиус дуги.

Роль этой силы выполняет сила трения $F_{тр}$:

$F_{тр} = m \frac{v^2}{R}$

Автомобиль сможет безопасно совершить поворот, если требуемая центростремительная сила не превышает максимальную возможную силу трения покоя $F_{тр.макс}$. Эта максимальная сила определяется как:

$F_{тр.макс} = \mu N$

где $\mu$ - коэффициент трения, а $N$ - сила нормальной реакции опоры.

На горизонтальной дороге сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести, действующей на автомобиль:

$N = mg$

Таким образом, максимальная сила трения:

$F_{тр.макс} = \mu mg$

Наименьший радиус поворота $R_{min}$ соответствует предельному случаю, когда требуемая центростремительная сила равна максимальной силе трения. При меньшем радиусе силы трения будет недостаточно, чтобы удержать автомобиль на траектории, и начнется занос.

Приравняем выражения для центростремительной силы и максимальной силы трения:

$m \frac{v^2}{R_{min}} = \mu mg$

Сократим массу автомобиля $m$ в обеих частях уравнения и выразим наименьший радиус $R_{min}$:

$R_{min} = \frac{v^2}{\mu g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R_{min} = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{0,25 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2,5 \text{ м/с}^2} = 40 \text{ м}$

Ответ: наименьший радиус дуги для поворота автомобиля составляет 40 м.

269. Горизонтально расположенный диск проигрывателя вращается с частотой 78 об/мин. На него поместили небольшой предмет. Предельное расстояние от предмета до оси вращения, при котором предмет удерживается на диске, равно 7 см. Каков коэффициент трения между предметом и диском? При возможности определить этим способом коэффициент трения, поместив на диске проигрывателя ученическую резинку, спичку или монету.

Каков коэффициент трения между предметом и диском?

Дано:

Найти:

Решение:

Предмет, находящийся на вращающемся диске, движется по окружности. Для такого движения необходима центростремительная сила. В данном случае эту роль выполняет сила трения покоя, действующая на предмет со стороны диска.

Запишем второй закон Ньютона для предмета в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{F}_{тр} + m\vec{g} + \vec{N}$.

Спроецируем уравнение на оси. На вертикальную ось, направленную вверх, перпендикулярно плоскости диска: $N - mg = 0$, откуда следует, что сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$.

На горизонтальную ось, направленную к центру вращения: $F_{тр} = ma_c$, где $a_c$ — центростремительное ускорение.

Предмет будет удерживаться на диске, пока требуемая центростремительная сила не превышает максимальную силу трения покоя $F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg$, где $\mu$ — коэффициент трения покоя.

Таким образом, условие удержания предмета на диске имеет вид: $ma_c \le \mu mg$.

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус вращения $R$ как $a_c = \omega^2 R$. Подставим это в условие: $m\omega^2 R \le \mu mg$. Сократив массу $m$, получим: $\omega^2 R \le \mu g$.

В задаче указано предельное расстояние $R_{max}$, при котором предмет еще удерживается на диске. На этом расстоянии сила трения достигает своего максимального значения, и неравенство превращается в равенство: $\omega^2 R_{max} = \mu g$.

Из этого уравнения выразим искомый коэффициент трения: $\mu = \frac{\omega^2 R_{max}}{g}$.

Угловую скорость $\omega$ найдем из заданной частоты вращения $n$. Переведем частоту из оборотов в минуту в обороты в секунду (Гц): $\nu = \frac{n}{60}$. Угловая скорость связана с линейной частотой соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Произведем вычисления, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:
$\nu = \frac{78}{60} = 1.3 \text{ Гц}$
$\omega = 2\pi\nu = 2 \pi \times 1.3 = 2.6\pi \approx 8.168 \text{ рад/с}$
$\mu = \frac{(8.168 \text{ рад/с})^2 \times 0.07 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{66.716 \times 0.07}{9.8} \approx 0.477$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $\mu \approx 0.48$.

Ответ: коэффициент трения между предметом и диском равен примерно 0.48.

При возможности определить этим способом коэффициент трения, поместив на диске проигрывателя ученическую резинку, спичку или монету.

Да, предложенный способ позволяет определить коэффициент трения покоя. Как было показано в решении первой части задачи, искомый коэффициент $\mu$ находится по формуле $\mu = \frac{\omega^2 R_{max}}{g}$. Эта формула не включает в себя массу, форму или размеры предмета, а зависит только от угловой скорости вращения диска $\omega$ и предельного радиуса $R_{max}$, на котором предмет еще может удерживаться. Следовательно, метод является универсальным для любых небольших предметов.

Для экспериментального определения коэффициента трения необходимо поместить один из предметов на вращающийся диск и найти максимальное расстояние от центра, на котором он не соскальзывает. Рассмотрим предложенные предметы:

• Ученическая резинка (ластик): является подходящим объектом. У ластика обычно есть плоская поверхность, обеспечивающая хороший контакт с диском, что приведет к предсказуемому скольжению.
• Монета: также отличный объект для этого опыта. Она плоская и симметричная, что позволяет легко определить ее центр и измерить расстояние до оси вращения. Монета будет скользить, а не катиться.
• Спичка: наименее удобный предмет из-за своей вытянутой формы и легкости. Существует вероятность, что спичка начнет не скользить, а катиться или поворачиваться, что исказит результат, так как в этом случае условие $F_{тр} = ma_c$ будет описывать ситуацию не совсем точно. Однако, если обеспечить чистое скольжение, метод применим и для спички.

Таким образом, все перечисленные предметы могут быть использованы для определения коэффициента трения данным методом, но монета и ластик являются более надежными для получения точных результатов.

Ответ: да, возможно определить коэффициент трения покоя между диском и любым из этих предметов (резинкой, спичкой, монетой). Для этого нужно экспериментально найти максимальное расстояние от оси вращения, на котором предмет удерживается, и рассчитать коэффициент по формуле $\mu = \frac{\omega^2 R_{max}}{g}$. Наиболее точные результаты будут получены с использованием монеты или резинки.

270. Брусок массой $400 \text{ г}$, прикреплённый к динамометру, равномерно тянут по горизонтальной поверхности. Динамометр показывает при этом $1 \text{ Н}$. Когда брусок перемещали по той же поверхности с ускорением, динамометр показывал $2 \text{ Н}$. Каким было ускорение?

Дано:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

$F_{тяги1} = 1 \text{ Н}$ (сила тяги при равномерном движении)

$F_{тяги2} = 2 \text{ Н}$ (сила тяги при ускоренном движении)

Найти:

$a$ — ?

Решение:

Рассмотрим два случая движения бруска.

1. Равномерное движение.

Когда брусок тянут равномерно, его скорость постоянна ($v = \text{const}$), а ускорение равно нулю ($a_1 = 0$). Согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. В горизонтальном направлении на брусок действуют две силы: сила тяги $F_{тяги1}$, которую показывает динамометр, и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная в противоположную сторону.

В проекции на горизонтальную ось, направленную по движению, запишем уравнение:

$F_{тяги1} - F_{тр} = 0$

Отсюда следует, что сила трения равна силе тяги:

$F_{тр} = F_{тяги1} = 1 \text{ Н}$

Таким образом, мы нашли силу трения скольжения, которая действует на брусок. Эта сила не зависит от скорости (в рамках школьной физики) и будет такой же и во втором случае, так как поверхность и брусок те же.

2. Движение с ускорением.

Когда брусок тянут с ускорением $a$, динамометр показывает силу тяги $F_{тяги2} = 2 \text{ Н}$. Запишем второй закон Ньютона для этого случая в проекции на горизонтальную ось:

$F_{тяги2} - F_{тр} = ma$

Мы знаем все величины в этом уравнении, кроме ускорения $a$. Выразим ускорение из этой формулы:

$a = \frac{F_{тяги2} - F_{тр}}{m}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{2 \text{ Н} - 1 \text{ Н}}{0.4 \text{ кг}} = \frac{1 \text{ Н}}{0.4 \text{ кг}} = 2.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение бруска было $2.5 \text{ м/с}^2$.