Номер 268, страница 40 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

268. Найти наименьший радиус дуги для поворота автомобиля, движущейся по горизонтальной дороге со скоростью 36 км/ч, если коэффициент трения скольжения колёс о дорогу 0,25.

Дано:

Скорость автомобиля, $v = 36$ км/ч

Коэффициент трения скольжения колес о дорогу, $\mu = 0,25$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод данных в систему СИ:

Скорость: $v = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Наименьший радиус дуги для поворота $R_{min}$.

Решение:

Когда автомобиль движется по дуге окружности на горизонтальной дороге, его центростремительное ускорение обеспечивается силой трения покоя между шинами и дорогой. Эта сила направлена к центру окружности поворота.

По второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_ц$, необходимая для движения по окружности, равна:

$F_ц = m a_ц = m \frac{v^2}{R}$

где $m$ - масса автомобиля, $v$ - его скорость, а $R$ - радиус дуги.

Роль этой силы выполняет сила трения $F_{тр}$:

$F_{тр} = m \frac{v^2}{R}$

Автомобиль сможет безопасно совершить поворот, если требуемая центростремительная сила не превышает максимальную возможную силу трения покоя $F_{тр.макс}$. Эта максимальная сила определяется как:

$F_{тр.макс} = \mu N$

где $\mu$ - коэффициент трения, а $N$ - сила нормальной реакции опоры.

На горизонтальной дороге сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести, действующей на автомобиль:

$N = mg$

Таким образом, максимальная сила трения:

$F_{тр.макс} = \mu mg$

Наименьший радиус поворота $R_{min}$ соответствует предельному случаю, когда требуемая центростремительная сила равна максимальной силе трения. При меньшем радиусе силы трения будет недостаточно, чтобы удержать автомобиль на траектории, и начнется занос.

Приравняем выражения для центростремительной силы и максимальной силы трения:

$m \frac{v^2}{R_{min}} = \mu mg$

Сократим массу автомобиля $m$ в обеих частях уравнения и выразим наименьший радиус $R_{min}$:

$R_{min} = \frac{v^2}{\mu g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R_{min} = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{0,25 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2,5 \text{ м/с}^2} = 40 \text{ м}$

Ответ: наименьший радиус дуги для поворота автомобиля составляет 40 м.