Номер 263, страница 39 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

263. На участке дороги, где установлен дорожный знак, изображённый на рисунке 37, водитель применил аварийное торможение. Инспектор ГИБДД обнаружил по следу колёс, что тормозной путь равен 12 м. Нарушил ли водитель правила движения, если коэффициент трения (резина по сухому асфальту) равен 0,6?

Рис. 37

Дано:

Тормозной путь $S = 12$ м

Коэффициент трения (резина по сухому асфальту) $\mu = 0,6$

Разрешенная скорость на данном участке дороги $v_{разр} = 30$ км/ч

Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Нарушил ли водитель правила дорожного движения?

Решение:

Чтобы определить, нарушил ли водитель скоростной режим, нам нужно вычислить его начальную скорость $v_0$ в момент начала торможения. Для этого можно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.

В процессе торможения на автомобиль в горизонтальном направлении действует только сила трения скольжения. Работа силы трения $A_{тр}$ приводит к уменьшению кинетической энергии автомобиля от начального значения $E_{k1}$ до нуля (так как автомобиль останавливается).

$A_{тр} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Работа силы трения отрицательна, так как она направлена против движения: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$.

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной дороге сила реакции опоры равна силе тяжести $mg$, то есть $N=mg$. Следовательно, $F_{тр} = \mu mg$.

Изменение кинетической энергии равно $\Delta E_k = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$.

Приравниваем работу силы трения и изменение кинетической энергии:

$-\mu mgS = -\frac{mv_0^2}{2}$

Сократим массу $m$ и знак минус в обеих частях уравнения:

$\mu gS = \frac{v_0^2}{2}$

Выразим из этого уравнения начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \sqrt{2\mu gS}$

Подставим известные значения в формулу:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 0,6 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 12 \text{ м}} = \sqrt{1,2 \cdot 120} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{144} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь сравним вычисленную скорость водителя с разрешенной скоростью на данном участке:

Скорость водителя $v_0 = 12$ м/с.

Разрешенная скорость $v_{разр} \approx 8,33$ м/с.

Так как $12 \text{ м/с} > 8,33 \text{ м/с}$, водитель двигался со скоростью, превышающей установленное ограничение.

Для большей наглядности можно перевести скорость водителя обратно в км/ч:

$v_0 = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 12 \cdot 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 43,2 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Сравнение с ограничением в 30 км/ч показывает, что $43,2 \text{ км/ч} > 30 \text{ км/ч}$.

Ответ: да, водитель нарушил правила дорожного движения, так как его скорость в момент начала торможения составляла 43,2 км/ч, что превышает установленное ограничение в 30 км/ч.