Номер 267, страница 40 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

267. На горизонтальной дороге автомобиль делает поворот радиусом 16 м. Какую наибольшую скорость может развить автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения колёс о дорогу равен 0,4? Во сколько раз изменится эта скорость зимой, когда коэффициент трения станет меньше в 4 раза?

Дано:

Радиус поворота, $R = 16$ м

Коэффициент трения летом, $\mu_1 = 0,4$

Уменьшение коэффициента трения зимой в 4 раза

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

1. Наибольшую скорость $v_1$ летом.

2. Во сколько раз изменится скорость зимой (найти отношение $v_1/v_2$).

Решение:

Какую наибольшую скорость может развить автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения колёс о дорогу равен 0,4?

Когда автомобиль совершает поворот, он движется по дуге окружности. Для такого движения необходима центростремительная сила, которая в данном случае создается силой трения покоя между колёсами и дорогой. Эта сила направлена к центру поворота.

Центростремительное ускорение равно $a_ц = \frac{v^2}{R}$. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила равна $F_ц = m \cdot a_ц = \frac{m v^2}{R}$, где $m$ — масса автомобиля.

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое определяется формулой $F_{тр.макс} = \mu \cdot N$, где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

На горизонтальной дороге сила нормальной реакции опоры уравновешивает силу тяжести: $N = m \cdot g$. Следовательно, максимальная сила трения: $F_{тр.макс} = \mu \cdot m \cdot g$.

Чтобы автомобиль не занесло, центростремительная сила не должна превышать максимальную силу трения: $F_ц \le F_{тр.макс}$

Наибольшая скорость $v_1$ достигается при равенстве этих сил: $\frac{m v_1^2}{R} = \mu_1 \cdot m \cdot g$

Масса автомобиля $m$ сокращается, и мы можем выразить скорость: $v_1^2 = \mu_1 \cdot g \cdot R$ $v_1 = \sqrt{\mu_1 \cdot g \cdot R}$

Подставим числовые значения для летних условий ($\mu_1 = 0,4$): $v_1 = \sqrt{0,4 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 16 \text{ м}} = \sqrt{64 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 8 \text{ м/с}$

Ответ: Наибольшая скорость, которую может развить автомобиль летом, чтобы его не занесло, составляет 8 м/с.

Во сколько раз изменится эта скорость зимой, когда коэффициент трения станет меньше в 4 раза?

Зимой коэффициент трения становится $\mu_2 = \frac{\mu_1}{4} = \frac{0,4}{4} = 0,1$.

Наибольшая безопасная скорость зимой $v_2$ вычисляется по той же формуле, но с новым коэффициентом трения $\mu_2$: $v_2 = \sqrt{\mu_2 \cdot g \cdot R}$

Чтобы определить, во сколько раз изменится скорость, найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\mu_1 \cdot g \cdot R}}{\sqrt{\mu_2 \cdot g \cdot R}} = \sqrt{\frac{\mu_1 \cdot g \cdot R}{\mu_2 \cdot g \cdot R}} = \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}}$

Поскольку мы знаем, что $\mu_1 = 4 \mu_2$, подставим это соотношение в формулу: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{4\mu_2}{\mu_2}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, скорость зимой $v_2 = v_1 / 2$. Она уменьшится в 2 раза.

Ответ: Зимой наибольшая безопасная скорость уменьшится в 2 раза.