Страница 34 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

215. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. На какой высоте и через какое время скорость тела (по модулю) будет в 3 раза меньше, чем в начале подъёма?

Дано:

Начальная скорость тела, брошенного вертикально вверх: $v_0 = 30 \text{ м/с}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$
Условие для конечной скорости: $v = \frac{v_0}{3}$

Найти:

Высоту $h$ и время $t$, в которые скорость тела будет в 3 раза меньше начальной.

Решение:

1. Сначала найдем модуль скорости тела $v$, которая в 3 раза меньше начальной:$v = \frac{v_0}{3} = \frac{30 \text{ м/с}}{3} = 10 \text{ м/с}$.

2. Чтобы найти высоту $h$, на которой тело будет иметь скорость $v$, используем формулу, связывающую перемещение, начальную и конечную скорости, и ускорение, без учета времени. Направим координатную ось OY вертикально вверх. В этом случае проекция ускорения свободного падения на ось OY будет отрицательной: $a_y = -g$.$h = \frac{v_0^2 - v^2}{2g}$Подставим известные значения в формулу:$h = \frac{(30 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{900 - 100}{20} = \frac{800}{20} = 40 \text{ м}$.

3. Теперь найдем время $t$, через которое скорость тела достигнет этого значения. Для этого воспользуемся уравнением зависимости проекции скорости от времени:$v_y = v_0 - gt$.

Следует учесть, что модуль скорости тела будет равен $10 \text{ м/с}$ в два разных момента времени:

• Когда тело движется вверх. В этом случае проекция скорости на ось OY положительна: $v_y = +10 \text{ м/с}$.
• Когда тело движется вниз. После достижения максимальной высоты тело начнет падать, и проекция его скорости на ось OY станет отрицательной: $v_y = -10 \text{ м/с}$.

Рассмотрим оба случая:

Время при движении вверх ($t_1$):$10 = 30 - 10 \cdot t_1$$10 \cdot t_1 = 30 - 10$$10 \cdot t_1 = 20$$t_1 = 2 \text{ с}$.

Время при движении вниз ($t_2$):$-10 = 30 - 10 \cdot t_2$$10 \cdot t_2 = 30 + 10$$10 \cdot t_2 = 40$$t_2 = 4 \text{ с}$.

Таким образом, на высоте 40 м скорость тела по модулю будет равна $10 \text{ м/с}$ дважды: через 2 секунды после броска (во время подъема) и через 4 секунды после броска (во время падения).

Ответ: высота $h = 40 \text{ м}$; время $t_1 = 2 \text{ с}$ и $t_2 = 4 \text{ с}$.

216. Мяч был брошен вертикально вверх дважды. Второй раз ему сообщили скорость, в 3 раза большую, чем в первый раз. Во сколько раз выше поднимается мяч при втором бросании?

Дано:

$v_{01}$ — начальная скорость мяча при первом броске.
$h_1$ — максимальная высота подъема мяча при первом броске.
$v_{02}$ — начальная скорость мяча при втором броске.
$h_2$ — максимальная высота подъема мяча при втором броске.
$v_{02} = 3 \cdot v_{01}$

Найти:

$\frac{h_2}{h_1}$

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, его начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную. На максимальной высоте подъема вся начальная кинетическая энергия преобразуется в потенциальную (пренебрегая сопротивлением воздуха). Также можно использовать кинематическую формулу для высоты подъема.

Связь между начальной скоростью $v_0$ и максимальной высотой подъема $h$ при движении с ускорением свободного падения $g$ выражается формулой: $h = \frac{v_0^2}{2g}$

Эта формула следует из уравнения $v^2 = v_0^2 + 2as$, где конечная скорость на максимальной высоте $v = 0$, а ускорение $a = -g$.

Запишем данное соотношение для первого и второго случаев.

Максимальная высота подъема при первом броске: $h_1 = \frac{v_{01}^2}{2g}$

Максимальная высота подъема при втором броске: $h_2 = \frac{v_{02}^2}{2g}$

Из условия задачи мы знаем, что $v_{02} = 3v_{01}$. Подставим это значение в формулу для $h_2$: $h_2 = \frac{(3v_{01})^2}{2g} = \frac{9v_{01}^2}{2g}$

Теперь найдем отношение высоты второго подъема к высоте первого: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{\frac{9v_{01}^2}{2g}}{\frac{v_{01}^2}{2g}}$

После сокращения дроби получаем: $\frac{h_2}{h_1} = 9$

Это означает, что при втором броске мяч поднимется в 9 раз выше, чем при первом.

Ответ: в 9 раз.

217. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Написать уравнение движения $y = y(t)$. Найти, через какой промежуток времени тело будет на высоте: а) 15 м; б) 20 м; в) 25 м.

Указание. Ось Y направить вертикально вверх; принять, что при $t = 0$ $y = 0$.

Дано:

$v_0 = 20 \text{ м/с}$

$y_0 = 0 \text{ м}$

$h_a = 15 \text{ м}$

$h_б = 20 \text{ м}$

$h_в = 25 \text{ м}$

Найти:

Уравнение движения $y(t)$

$t_a, t_б, t_в$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным движением под действием силы тяжести. Согласно указанию, направим ось Y вертикально вверх, а начало отсчета поместим в точку броска ($y_0 = 0$).

Общее уравнение для координаты при равноускоренном движении имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

В нашем случае:

• начальная координата $y_0 = 0$;
• начальная скорость $v_{0y} = v_0 = 20 \text{ м/с}$ (направлена вверх, совпадает с направлением оси Y);
• ускорение $a_y = -g$, так как ускорение свободного падения $g$ направлено вниз, против направления оси Y. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставив эти значения в формулу, получим искомое уравнение движения:

$y(t) = 0 + 20t + \frac{-10t^2}{2}$

$y(t) = 20t - 5t^2$

Теперь, используя это уравнение, найдем промежутки времени, через которые тело будет на заданных высотах.

а) Найдем время, когда тело будет на высоте $y = 15 \text{ м}$.

Подставим значение высоты в уравнение движения:

$15 = 20t - 5t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5t^2 - 20t + 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета ($t_1 + t_2 = 4, t_1 \cdot t_2 = 3$) или через дискриминант.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.

$t_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \text{ с}$

$t_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \text{ с}$

Физически это означает, что тело достигнет высоты 15 м дважды: первый раз через 1 с (при движении вверх) и второй раз через 3 с (при движении вниз).

Ответ: через 1 с и 3 с.

б) Найдем время, когда тело будет на высоте $y = 20 \text{ м}$.

Подставим значение высоты в уравнение движения:

$20 = 20t - 5t^2$

$5t^2 - 20t + 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - 2)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень:

$t = 2 \text{ с}$

Это означает, что тело будет на высоте 20 м только один раз. Эта высота является максимальной высотой подъема тела.

Ответ: через 2 с.

в) Найдем время, когда тело будет на высоте $y = 25 \text{ м}$.

Подставим значение высоты в уравнение движения:

$25 = 20t - 5t^2$

$5t^2 - 20t + 25 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t^2 - 4t + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что тело никогда не достигнет высоты 25 м. Как мы выяснили в пункте б), максимальная высота подъема тела составляет 20 м.

Ответ: тело никогда не будет на высоте 25 м.

218*. С балкона, находящегося на высоте 25 м над поверхностью земли, бросили вертикально вверх мячик со скоростью 20 м/с. Написать формулу зависимости координаты от времени $y(t)$, выбрав за начало отсчёта:

а) точку бросания;

б) поверхность земли.

Найти, через какое время мячик упадёт на землю.

Дано:

Высота балкона, $H = 25$ м

Начальная скорость мячика, $v_0 = 20$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

а) формулу зависимости координаты от времени $y(t)$, если начало отсчета — точка бросания;

б) формулу зависимости координаты от времени $y(t)$, если начало отсчета — поверхность земли;

в) время падения мячика на землю, $t_{пад}$.

Решение:

Движение мячика является равноускоренным. Зависимость координаты от времени при таком движении описывается общей формулой:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

где $y_0$ — начальная координата, $v_{0y}$ — проекция начальной скорости на ось OY, $a_y$ — проекция ускорения на ось OY.

Направим ось OY вертикально вверх. В этом случае проекция начальной скорости $v_{0y} = v_0 = 20$ м/с, а проекция ускорения свободного падения $a_y = -g = -10$ м/с².

а) начало отсчёта: точка бросания

В этом случае начальная координата мячика равна нулю: $y_0 = 0$ м.

Подставим значения в общую формулу:

$y(t) = 0 + 20t + \frac{(-10) t^2}{2}$

$y(t) = 20t - 5t^2$

Координата измеряется в метрах, время — в секундах.

Ответ: Формула зависимости координаты от времени, если начало отсчета — точка бросания: $y(t) = 20t - 5t^2$ (м).

б) начало отсчёта: поверхность земли

В этом случае мячик бросают с высоты $H$, поэтому его начальная координата $y_0 = H = 25$ м.

Подставим значения в общую формулу:

$y(t) = 25 + 20t + \frac{(-10) t^2}{2}$

$y(t) = 25 + 20t - 5t^2$

Координата измеряется в метрах, время — в секундах.

Ответ: Формула зависимости координаты от времени, если начало отсчета — поверхность земли: $y(t) = 25 + 20t - 5t^2$ (м).

Теперь найдем, через какое время мячик упадёт на землю.

В момент падения на землю координата мячика будет равна нулю в системе отсчета, связанной с поверхностью земли (случай б). Приравняем уравнение движения из пункта б) к нулю:

$y(t) = 0$

$25 + 20t - 5t^2 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на -5:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$ (c)

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ (c)

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только положительный корень.

Ответ: Мячик упадёт на землю через 5 секунд.

219. Тело брошено горизонтально с некоторой высоты с начальной скоростью 10 м/с. Через какое время вектор скорости будет направлен под углом 45° к горизонту?

Дано:

Начальная скорость (горизонтальная) $v_0 = 10 \text{ м/с}$
Угол вектора скорости с горизонтом $\alpha = 45^\circ$

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Время $t$

Решение:

Движение тела, брошенного горизонтально, можно разложить на два независимых движения: равномерное движение по горизонтали (вдоль оси OX) и равноускоренное движение по вертикали (вдоль оси OY) под действием силы тяжести. Поместим начало координат в точку броска, ось OX направим горизонтально по направлению броска, а ось OY — вертикально вниз.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной на протяжении всего полета (сопротивлением воздуха пренебрегаем) и равна начальной скорости:

$v_x = v_0 = 10 \text{ м/с}$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ в начальный момент времени равна нулю ($v_{0y} = 0$), а затем увеличивается под действием ускорения свободного падения $g$:

$v_y = g t$

Вектор полной скорости $\vec{v}$ в любой момент времени $t$ является векторной суммой его горизонтальной и вертикальной составляющих. Угол $\alpha$, который этот вектор образует с горизонтом, можно найти через тангенс отношения модулей составляющих скорости:

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x}$

Подставим выражения для $v_x$ и $v_y$ в эту формулу:

$\tan(\alpha) = \frac{gt}{v_0}$

Согласно условию, нам нужно найти время $t$, когда вектор скорости будет направлен под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту. Тангенс угла $45^\circ$ равен 1:

$\tan(45^\circ) = 1$

Следовательно, мы получаем равенство:

$\frac{gt}{v_0} = 1$

Из этого уравнения выражаем искомое время $t$:

$gt = v_0$

$t = \frac{v_0}{g}$

Подставим числовые значения. Ускорение свободного падения $g$ примем равным $10 \text{ м/с}^2$, что является распространенным допущением в учебных задачах для упрощения расчетов.

$t = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 1 \text{ с}$

Ответ: $1 \text{ с}$.

220. При выстреле из двустороннего пружинного пистолета (рис. 32) «снаряды» вылетели со скоростями $2 \text{ м/с}$ и $4 \text{ м/с}$. Каково расстояние между ними через $0,1 \text{ с}$? Длина трубки (первоначальное расстояние между «снарядами») $10 \text{ см}$.

Дано

$v_1 = 2 \text{ м/с}$

$v_2 = 4 \text{ м/с}$

$t = 0,1 \text{ с}$

$l_0 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$L$

Решение

Движение каждого снаряда после выстрела можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: горизонтального и вертикального. Снаряды вылетают горизонтально, поэтому их начальные вертикальные скорости равны нулю.

По вертикали оба снаряда движутся одинаково — они свободно падают под действием силы тяжести. Так как их начальные вертикальные скорости и начальные высоты одинаковы, в любой момент времени $t$ они будут находиться на одной и той же высоте. Следовательно, вертикальное расстояние между ними всегда равно нулю.

Таким образом, расстояние между снарядами в любой момент времени будет равно расстоянию между ними по горизонтали.

По горизонтали снаряды движутся равномерно и прямолинейно в противоположных направлениях. Начальное расстояние между ними равно длине трубки $l_0$. За время $t$ первый снаряд пролетит по горизонтали расстояние $s_1 = v_1 t$, а второй — $s_2 = v_2 t$. Так как они движутся в противоположные стороны, расстояние между ними будет увеличиваться.

Итоговое расстояние $L$ между снарядами через время $t$ будет равно сумме начального расстояния и расстояний, которые пролетели оба снаряда по горизонтали:

$L = l_0 + s_1 + s_2 = l_0 + v_1 t + v_2 t = l_0 + (v_1 + v_2)t$

Подставим числовые значения в формулу, используя данные в системе СИ:

$L = 0,1 \text{ м} + (2 \text{ м/с} + 4 \text{ м/с}) \cdot 0,1 \text{ с}$

$L = 0,1 \text{ м} + 6 \text{ м/с} \cdot 0,1 \text{ с}$

$L = 0,1 \text{ м} + 0,6 \text{ м}$

$L = 0,7 \text{ м}$

Ответ: расстояние между снарядами через 0,1 с составит 0,7 м.

221. Мальчик бросил горизонтально мяч из окна, находящегося на высоте 20 м. Сколько времени летел мяч до земли и с какой скоростью он был брошен, если он упал на расстоянии 6 м от основания дома?

Дано:

Высота, $h = 20$ м
Горизонтальное расстояние (дальность полета), $L = 6$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

Время полета, $t$ - ?
Начальная скорость, $v_0$ - ?

Решение:

Движение мяча, брошенного горизонтально, можно разложить на две независимые составляющие: равномерное движение по горизонтальной оси и равноускоренное движение (свободное падение) по вертикальной оси.

Сколько времени летел мяч до земли

Время полета определяется только вертикальным движением. Так как мяч брошен горизонтально, его начальная вертикальная скорость равна нулю ($v_{0y}=0$). Время падения с высоты $h$ находится из формулы пути для равноускоренного движения: $h = \frac{gt^2}{2}$ Выразим из этой формулы время полета $t$: $t^2 = \frac{2h}{g}$ $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ Подставим числовые значения: $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{40}{10}} \text{ с} = \sqrt{4} \text{ с} = 2 \text{ с}$

Ответ: время полета мяча до земли составляет 2 с.

С какой скоростью он был брошен

Горизонтальная скорость мяча $v_0$ остается постоянной в течение всего полета (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Дальность полета $L$ связана с начальной горизонтальной скоростью $v_0$ и временем полета $t$ соотношением для равномерного движения: $L = v_0 \cdot t$ Зная дальность полета и время, которое мы нашли в предыдущем пункте, можем найти начальную скорость: $v_0 = \frac{L}{t}$ Подставим значения: $v_0 = \frac{6 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 3 \text{ м/с}$

Ответ: мяч был брошен со скоростью 3 м/с.