Страница 27 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

155. Барон Мюнхгаузен утверждал, что вытащил сам себя из болота за волосы. Обосновать невозможность этого.

Решение

Действие, которое описывает барон Мюнхгаузен, невозможно с точки зрения законов физики, в частности, третьего закона Ньютона и закона сохранения импульса. Рассмотрим систему, состоящую из самого барона (включая его руки и волосы).

Когда барон тянет себя за волосы вверх, его рука прикладывает к волосам силу, направленную вверх ($\vec{F}_{1}$). Согласно третьему закону Ньютона, волосы с такой же по модулю, но противоположной по направлению силой действуют на его руку ($\vec{F}_{2}$). То есть, $\vec{F}_{1} = - \vec{F}_{2}$.

Обе эти силы, $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, являются внутренними для системы «барон». Сумма всех внутренних сил в замкнутой системе всегда равна нулю. Внутренние силы могут вызвать деформацию тела (например, растяжение), но не могут изменить положение центра масс всей системы.

Для того чтобы барон мог вытащить себя из болота, на него должна действовать внешняя сила, направленная вверх, которая была бы больше суммы сил, действующих вниз (силы тяжести и засасывающей силы болота) за вычетом выталкивающей силы Архимеда. Когда барон тянет себя за волосы, он не создает никакой новой внешней силы. Он просто прикладывает одну часть своего тела к другой.

Таким образом, результирующая сила, действующая на центр масс барона, не изменяется из-за его попыток тянуть себя за волосы. Сила, тянущая его вверх (рукой), полностью компенсируется силой, тянущей его вниз (реакцией волос на руку). Движение вверх не возникнет.

Ответ: Вытащить себя из болота за волосы невозможно, так как сила, с которой барон тянет себя за волосы вверх, является внутренней. Согласно третьему закону Ньютона, она равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой волосы тянут руку барона вниз. Сумма этих внутренних сил равна нулю, и они не могут изменить движение центра масс системы «барон». Для движения вверх необходима внешняя сила.

156. Нарушится ли равновесие весов (рис. 25), если удлинить нить так, чтобы гиря оказалась полностью погружённой в воду, но не касалась дна; если обрезать нить и положить гирю на дно?

Рис. 25

...если удлинить нить так, чтобы гиря оказалась полностью погружённой в воду, но не касалась дна

Решение:

В начальном состоянии весы находятся в равновесии. Сила, действующая на правую сторону коромысла весов, складывается из двух частей: веса чаши со стаканом воды ($P_{ст}$) и веса гири ($P_{г}$), подвешенной на нити. Начальная суммарная сила, действующая на правую сторону, равна $F_{1} = P_{ст} + P_{г}$.

Когда гирю полностью погружают в воду, на неё начинает действовать выталкивающая сила Архимеда ($F_{А}$), направленная вертикально вверх. В результате сила натяжения нити, которая тянет коромысло весов вниз, уменьшается и становится равной $T = P_{г} - F_{А}$.

Одновременно с этим, согласно третьему закону Ньютона, гиря давит на воду с силой, равной по модулю и противоположной по направлению силе Архимеда. Эта дополнительная сила $F_{А}$ передаётся через воду на дно стакана. Вследствие этого сила, с которой стакан с водой давит на правую чашу весов, увеличивается и становится равной $P'_{ст} = P_{ст} + F_{А}$.

Новая суммарная сила, действующая на правую сторону коромысла, будет равна сумме новой силы натяжения нити и новой силы давления стакана на чашу:

$F_{2} = T + P'_{ст} = (P_{г} - F_{А}) + (P_{ст} + F_{А}) = P_{г} + P_{ст}$

Так как новая сила $F_{2}$ равна начальной силе $F_{1}$, общая сила, действующая на правую сторону весов, не изменилась. Следовательно, равновесие весов не нарушится.

Ответ: равновесие весов не нарушится.

...если обрезать нить и положить гирю на дно

Решение:

В начальном состоянии, как и в предыдущем случае, сила, действующая на правую сторону весов, равна сумме веса чаши со стаканом воды и веса гири: $F_{1} = P_{ст} + P_{г}$.

Когда нить обрезают, сила её натяжения, действовавшая непосредственно на коромысло, исчезает. Гирю кладут на дно стакана, который стоит на правой чаше. Теперь вся система, состоящая из чаши, стакана с водой и гири, целиком давит на правую чашу весов.

Общая сила, действующая на правую чашу, теперь равна сумме весов всех её компонентов: веса чаши со стаканом воды ($P_{ст}$) и веса гири ($P_{г}$). Новая сила, действующая на правую сторону коромысла, будет равна:

$F_{3} = P_{ст} + P_{г}$

Сравнивая эту силу с начальной, видим, что $F_{3} = F_{1}$. Общий вес, поддерживаемый правой стороной коромысла, остался неизменным. Произошло лишь перераспределение сил: раньше вес гири действовал на коромысло напрямую через нить, а теперь — опосредованно, через стакан с водой и чашу. Поэтому равновесие весов не нарушится.

Ответ: равновесие весов не нарушится.

157. Что покажут динамометры (рис. 26), если верхний динамометр опустить так, чтобы груз объёмом 0,2 дм³ оказался полностью погружённым в воду, но не касался дна сосуда?

Рис. 26

Дано:

Начальные показания верхнего динамометра (вес груза в воздухе): $P_1 = 4 \text{ Н}$ (по рисунку)
Начальные показания нижнего динамометра (вес сосуда с водой): $P_2 = 8 \text{ Н}$ (по рисунку)
Объем груза: $V = 0.2 \text{ дм}^3$
Плотность воды: $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g = 10 \text{ Н/кг}$

$V = 0.2 \text{ дм}^3 = 0.2 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 0.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.0002 \text{ м}^3$

Найти:

Новые показания верхнего динамометра: $P'_1$ - ?
Новые показания нижнего динамометра: $P'_2$ - ?

Решение:

Показания верхнего динамометра.
При полном погружении груза в воду на него действует выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вертикально вверх. Она уменьшает вес тела, измеряемый динамометром. Рассчитаем эту силу по формуле:
$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$
Подставим числовые значения:
$F_A = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.0002 \text{ м}^3 = 2 \text{ Н}$
Новые показания верхнего динамометра $P'_1$ будут равны весу тела в воздухе $P_1$ за вычетом силы Архимеда $F_A$:
$P'_1 = P_1 - F_A = 4 \text{ Н} - 2 \text{ Н} = 2 \text{ Н}$

Ответ: верхний динамометр покажет 2 Н.

Показания нижнего динамометра.
В соответствии с третьим законом Ньютона, сила, с которой вода выталкивает груз, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой груз давит на воду. Эта дополнительная сила передается на дно сосуда и увеличивает показания нижнего динамометра на величину силы Архимеда.
Новые показания нижнего динамометра $P'_2$ будут равны сумме его начальных показаний $P_2$ и силы Архимеда $F_A$:
$P'_2 = P_2 + F_A = 8 \text{ Н} + 2 \text{ Н} = 10 \text{ Н}$

Ответ: нижний динамометр покажет 10 Н.

158*. На одной чаше весов находится сосуд с водой, а на другой — штатив, на котором подвешено алюминиевое тело массой 54 г. При этом весы находятся в равновесии (рис. 27). Если, удлинив нить, погрузить тело в воду, то равновесие нарушится. Груз какой массы надо положить на правую чашу весов, чтобы восстановить равновесие?

Рис. 27

Дано:

Масса алюминиевого тела $m_{Al} = 54$ г

Плотность алюминия (справочное значение) $\rho_{Al} = 2700$ кг/м³

Плотность воды (справочное значение) $\rho_{воды} = 1000$ кг/м³

$m_{Al} = 54 \text{ г} = 0.054 \text{ кг}$

Найти:

Массу груза $m_x$, которую надо положить на правую чашу весов для восстановления равновесия.

Решение:

В начальном состоянии весы находятся в равновесии. На левой чаше находится сосуд с водой, а на правой — штатив, к которому подвешено алюминиевое тело. Обозначим массу сосуда с водой как $M_Л$, массу штатива как $m_{шт}$.

Так как тело подвешено к штативу, который стоит на чаше весов, его вес полностью передается на правую чашу. Условие равновесия в начальном состоянии (равенство масс на чашах):

$M_Л = m_{шт} + m_{Al}$ (1)

Когда алюминиевое тело погружают в воду (не касаясь дна сосуда), на него начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_А$, направленная вверх. В то же время, согласно третьему закону Ньютона, тело действует на воду с силой, равной по модулю $F_А$ и направленной вниз. Эта дополнительная сила увеличивает давление на левую чашу весов.

Рассмотрим, как изменятся показания весов для каждой чаши (показания весов эквивалентны массе, создающей такую же силу тяжести).

1. Правая чаша: Натяжение нити, удерживающей тело, уменьшится на величину $F_А$. Следовательно, сила давления на правую чашу уменьшится на $F_А$. Эквивалентная масса на правой чаше станет равна $M_П' = m_{шт} + m_{Al} - \frac{F_А}{g}$.

2. Левая чаша: На левую чашу добавится сила давления от тела на воду, равная $F_А$. Эквивалентная масса на левой чаше станет равна $M_Л' = M_Л + \frac{F_А}{g}$.

Чтобы восстановить равновесие, на правую чашу нужно положить груз массой $m_x$. Условие нового равновесия:

$M_Л' = M_П' + m_x$

Подставим выражения для $M_Л'$ и $M_П'$:

$M_Л + \frac{F_А}{g} = m_{шт} + m_{Al} - \frac{F_А}{g} + m_x$

Используя начальное условие равновесия (1), $M_Л = m_{шт} + m_{Al}$, заменим $M_Л$ в левой части уравнения:

$(m_{шт} + m_{Al}) + \frac{F_А}{g} = (m_{шт} + m_{Al}) - \frac{F_А}{g} + m_x$

Сокращая одинаковые члены $(m_{шт} + m_{Al})$ в обеих частях, получаем:

$\frac{F_А}{g} = - \frac{F_А}{g} + m_x$

Отсюда находим искомую массу $m_x$:

$m_x = 2 \cdot \frac{F_А}{g}$

Выталкивающая сила $F_А$ равна весу воды в объеме погруженного тела:

$F_А = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{Al}$

где $V_{Al}$ — объем алюминиевого тела. Объем тела можно найти через его массу и плотность:

$V_{Al} = \frac{m_{Al}}{\rho_{Al}}$

Подставим это в выражение для $m_x$:

$m_x = 2 \cdot \frac{\rho_{воды} \cdot g \cdot V_{Al}}{g} = 2 \cdot \rho_{воды} \cdot V_{Al} = 2 \cdot \rho_{воды} \cdot \frac{m_{Al}}{\rho_{Al}} = 2 \cdot m_{Al} \cdot \frac{\rho_{воды}}{\rho_{Al}}$

Выполним вычисления. Удобнее использовать внесистемные единицы (граммы и г/см³), так как отношение плотностей — безразмерная величина, а масса тела дана в граммах.

$\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м³} = 1 \text{ г/см³}$

$\rho_{Al} = 2700 \text{ кг/м³} = 2.7 \text{ г/см³}$

$m_x = 2 \cdot 54 \text{ г} \cdot \frac{1 \text{ г/см³}}{2.7 \text{ г/см³}} = 108 \text{ г} \cdot \frac{1}{2.7} = \frac{1080}{27} \text{ г} = 40 \text{ г}$

Ответ: чтобы восстановить равновесие, на правую чашу весов надо положить груз массой 40 г.