Страница 20 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

98. При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется скорость движения спутника по орбите?

Дано:

$R_2 = 4 R_1$ (радиус орбиты увеличился в 4 раза)
$T_2 = 8 T_1$ (период обращения увеличился в 8 раз)

Найти:

Во сколько раз изменилась скорость движения спутника ($\frac{v_2}{v_1}$).

Решение:

Скорость движения тела по круговой орбите определяется как отношение длины орбиты (длины окружности) к периоду обращения.

Формула для скорости $v$ при движении по окружности радиусом $R$ с периодом $T$ выглядит так:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Запишем выражения для начальной скорости спутника ($v_1$) на орбите радиусом $R_1$ с периодом $T_1$ и для конечной скорости ($v_2$) на орбите радиусом $R_2$ с периодом $T_2$.

Начальная скорость: $v_1 = \frac{2 \pi R_1}{T_1}$

Конечная скорость: $v_2 = \frac{2 \pi R_2}{T_2}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась скорость, найдем отношение конечной скорости $v_2$ к начальной $v_1$:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{2 \pi R_2}{T_2}}{\frac{2 \pi R_1}{T_1}}$

Упростим выражение, сократив $2\pi$:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R_2}{T_2} \cdot \frac{T_1}{R_1} = \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$

Подставим в полученную формулу соотношения из условия задачи: $R_2 = 4 R_1$ и $T_2 = 8 T_1$.

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{4 R_1}{R_1} \cdot \frac{T_1}{8 T_1}$

Сократим $R_1$ и $T_1$ в числителе и знаменателе:

$\frac{v_2}{v_1} = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Так как отношение конечной скорости к начальной равно $\frac{1}{2}$, это означает, что скорость спутника уменьшилась в 2 раза.

Ответ: скорость движения спутника уменьшилась в 2 раза.

99. Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Найти отношение скоростей концов стрелок.

Дано:

Отношение длин стрелок: $\frac{L_м}{L_с} = 3$
Период обращения секундной стрелки: $T_с = 60 \text{ с}$
Период обращения минутной стрелки: $T_м = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Отношение скоростей концов стрелок: $\frac{v_м}{v_с}$

Решение:

Линейная скорость конца стрелки, которая движется по окружности, определяется как длина окружности, деленная на время одного полного оборота (период $T$). Длина окружности равна $2\pi L$, где $L$ - это длина стрелки (радиус окружности). Таким образом, формула для линейной скорости конца стрелки:

$v = \frac{2\pi L}{T}$

Запишем выражения для скоростей концов минутной ($v_м$) и секундной ($v_с$) стрелок:

$v_м = \frac{2\pi L_м}{T_м}$

$v_с = \frac{2\pi L_с}{T_с}$

Чтобы найти отношение скоростей, разделим выражение для скорости минутной стрелки на выражение для скорости секундной стрелки:

$\frac{v_м}{v_с} = \frac{\frac{2\pi L_м}{T_м}}{\frac{2\pi L_с}{T_с}}$

Сократим общий множитель $2\pi$ и перегруппируем дроби:

$\frac{v_м}{v_с} = \frac{L_м}{L_с} \cdot \frac{T_с}{T_м}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу. Из условия задачи $\frac{L_м}{L_с} = 3$. Период обращения секундной стрелки $T_с = 60 \text{ с}$, а минутной $T_м = 3600 \text{ с}$.

$\frac{v_м}{v_с} = 3 \cdot \frac{60}{3600} = 3 \cdot \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Таким образом, скорость конца минутной стрелки в 20 раз меньше скорости конца секундной стрелки.

Ответ: отношение скорости конца минутной стрелки к скорости конца секундной стрелки равно $\frac{1}{20}$.

100. Движение от шкива I (рис. 21) к шкиву IV передается при помощи двух ремённых передач. Найти частоту обращения (в об/мин) шкива IV, если шкив I делает 1200 об/мин, а радиусы шкивов $r_1 = 8$ см, $r_2 = 32$ см, $r_3 = 11$ см, $r_4 = 55$ см. Шкивы II и III жёстко укреплены на одном валу.

Рис. 21

Дано:

Частота вращения шкива I: $n_1 = 1200$ об/мин

Радиус шкива I: $r_1 = 8$ см

Радиус шкива II: $r_2 = 32$ см

Радиус шкива III: $r_3 = 11$ см

Радиус шкива IV: $r_4 = 55$ см

Перевод в систему СИ:

$n_1 = 1200 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{1200}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 20 \text{ Гц}$

$r_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$r_2 = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$

$r_3 = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

$r_4 = 55 \text{ см} = 0.55 \text{ м}$

Найти:

Частоту обращения шкива IV, $n_4$.

Решение:

Движение от шкива I к шкиву IV передается через две ступени ремённой передачи. Шкивы II и III жестко закреплены на одном валу, что означает, что они вращаются с одинаковой частотой.

1. Первая ступень передачи (шкивы I и II).

При ремённой передаче без проскальзывания линейные скорости точек на ободах шкивов равны, так как они определяются скоростью движения ремня.

$v_1 = v_2$

Линейная скорость $v$ связана с частотой вращения $n$ и радиусом $r$ формулой $v = 2\pi n r$. Подставив это выражение в равенство скоростей, получим:

$2\pi n_1 r_1 = 2\pi n_2 r_2$

Сократив $2\pi$, получаем соотношение:

$n_1 r_1 = n_2 r_2$

Отсюда можно найти частоту вращения шкива II:

$n_2 = n_1 \frac{r_1}{r_2}$

Поскольку в данной формуле радиусы входят в виде отношения, их можно подставлять в любых одинаковых единицах измерения (например, в сантиметрах). Расчет будет вестись в "об/мин", как того требует условие.

$n_2 = 1200 \text{ об/мин} \cdot \frac{8 \text{ см}}{32 \text{ см}} = 1200 \cdot \frac{1}{4} = 300 \text{ об/мин}$

2. Вращение шкивов II и III.

Шкивы II и III жестко соединены на одном валу, поэтому они вращаются с одинаковой угловой скоростью и, следовательно, с одинаковой частотой:

$n_3 = n_2 = 300 \text{ об/мин}$

3. Вторая ступень передачи (шкивы III и IV).

Аналогично первой ступени, для второй ремённой передачи линейные скорости точек на ободах шкивов III и IV равны:

$v_3 = v_4$

$n_3 r_3 = n_4 r_4$

Выразим искомую частоту вращения шкива IV:

$n_4 = n_3 \frac{r_3}{r_4}$

Подставим известные значения:

$n_4 = 300 \text{ об/мин} \cdot \frac{11 \text{ см}}{55 \text{ см}} = 300 \cdot \frac{1}{5} = 60 \text{ об/мин}$

Ответ: частота обращения шкива IV составляет $60$ об/мин.

101. Циркулярная пила имеет диаметр 600 мм. На ось пилы насажен шкив диаметром 300 мм, который приводится во вращение посредством ремённой передачи от шкива диаметром 120 мм, насаженного на вал электродвигателя. Какова скорость зубьев пилы, если вал двигателя совершает 1200 об/мин?

Дано:

Диаметр циркулярной пилы $D_{п} = 600$ мм

Диаметр шкива на оси пилы $D_{ш.п.} = 300$ мм

Диаметр шкива на валу двигателя $D_{ш.д.} = 120$ мм

Частота вращения вала двигателя $n_{д} = 1200$ об/мин

Перевод в СИ:

$D_{п} = 600 \text{ мм} = 0.6 \text{ м}$

$D_{ш.п.} = 300 \text{ мм} = 0.3 \text{ м}$

$D_{ш.д.} = 120 \text{ мм} = 0.12 \text{ м}$

Частоту вращения переведем из оборотов в минуту в обороты в секунду (Герц):

$f_{д} = 1200 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{1200 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 20 \text{ об/с} = 20 \text{ Гц}$

Найти:

Скорость зубьев пилы $v_{п}$

Решение:

Задача решается в два этапа: сначала найдем частоту вращения пилы, а затем, зная эту частоту и диаметр пилы, определим линейную скорость ее зубьев.

Вал электродвигателя и ось пилы соединены ремённой передачей. Особенностью такой передачи является то, что линейная скорость ремня одинакова на обоих шкивах. Линейная скорость точки на ободе шкива связана с его частотой вращения $f$ и диаметром $D$ соотношением:

$v = \pi f D$

Приравняем линейные скорости для шкива двигателя и шкива пилы:

$v_{ш.д.} = v_{ш.п.}$

$\pi f_{д} D_{ш.д.} = \pi f_{п} D_{ш.п.}$

Из этого равенства выразим частоту вращения шкива пилы $f_{п}$. Так как пила и ее шкив жестко соединены (насажены на одну ось), их частоты вращения равны.

$f_{п} = f_{д} \frac{D_{ш.д.}}{D_{ш.п.}}$

Подставим известные значения в системе СИ:

$f_{п} = 20 \text{ Гц} \cdot \frac{0.12 \text{ м}}{0.3 \text{ м}} = 20 \cdot 0.4 = 8 \text{ Гц}$

Таким образом, пила совершает 8 оборотов в секунду.

Теперь определим скорость зубьев пилы. Зубья находятся на ее внешнем крае. Их линейная скорость $v_{п}$ вычисляется по той же формуле, но с использованием диаметра самой пилы $D_{п}$ и найденной частоты ее вращения $f_{п}$.

$v_{п} = \pi f_{п} D_{п}$

Подставим значения:

$v_{п} = \pi \cdot 8 \text{ с}^{-1} \cdot 0.6 \text{ м} = 4.8\pi \text{ м/с}$

Для получения числового ответа, используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$:

$v_{п} \approx 4.8 \cdot 3.14 = 15.072 \text{ м/с}$

Ответ: скорость зубьев пилы составляет $4.8\pi \text{ м/с}$, что приблизительно равно $15.1 \text{ м/с}$.

102. Диаметр колеса велосипеда «Пенза» $d = 70$ см, ведущая зубчатка имеет $z_1 = 48$ зубцов, а ведомая $z_2 = 18$ зубцов. С какой скоростью движется велосипедист на этом велосипеде при частоте вращения педалей $n = 1$ об/с? С какой скоростью движется велосипедист на складном велосипеде «Кама» при той же частоте вращения педалей, если у этого велосипеда соответственно $d = 50$ см, $z_1 = 48$ зубцов, $z_2 = 15$ зубцов?

Для велосипеда «Пенза»

Дано:

Диаметр колеса $d_1 = 70 \text{ см}$

Число зубцов ведущей зубчатки $z_1 = 48$

Число зубцов ведомой зубчатки $z_2 = 18$

Частота вращения педалей $n = 1 \text{ об/с}$

В системе СИ:
$d_1 = 0.7 \text{ м}$
$n = 1 \text{ с}^{-1}$

Найти:

Скорость велосипедиста $v_1$

Решение:

Частота вращения педалей $n$ равна частоте вращения ведущей (передней) зубчатки $\nu_1$.

$\nu_1 = n = 1 \text{ с}^{-1}$

Цепная передача связывает ведущую и ведомую зубчатки. Частота вращения ведомой (задней) зубчатки $\nu_2$ связана с частотой вращения ведущей зубчатки через соотношение числа зубцов:

$\nu_2 z_2 = \nu_1 z_1$

Отсюда частота вращения ведомой зубчатки, которая жестко связана с задним колесом, равна:

$\nu_{колеса} = \nu_2 = \nu_1 \frac{z_1}{z_2}$

Линейная скорость велосипеда $v_1$ равна линейной скорости точек на ободе колеса:

$v_1 = \pi d_1 \nu_{колеса}$

Объединив формулы, получаем выражение для скорости велосипеда:

$v_1 = \pi d_1 n \frac{z_1}{z_2}$

Подставим числовые значения и рассчитаем скорость:

$v_1 = \pi \cdot 0.7 \text{ м} \cdot 1 \text{ с}^{-1} \cdot \frac{48}{18} = \pi \cdot 0.7 \cdot \frac{8}{3} \approx 3.14 \cdot 0.7 \cdot 2.667 \approx 5.86 \text{ м/с}$

Ответ: скорость велосипедиста на велосипеде «Пенза» составляет примерно 5,86 м/с (или около 21,1 км/ч).

Для велосипеда «Кама»

Дано:

Диаметр колеса $d_2 = 50 \text{ см}$

Число зубцов ведущей зубчатки $z'_1 = 48$

Число зубцов ведомой зубчатки $z'_2 = 15$

Частота вращения педалей $n = 1 \text{ об/с}$

В системе СИ:
$d_2 = 0.5 \text{ м}$
$n = 1 \text{ с}^{-1}$

Найти:

Скорость велосипедиста $v_2$

Решение:

Решение аналогично первой части задачи. Используем ту же общую формулу для скорости, подставляя данные для велосипеда «Кама».

$v_2 = \pi d_2 n \frac{z'_1}{z'_2}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$v_2 = \pi \cdot 0.5 \text{ м} \cdot 1 \text{ с}^{-1} \cdot \frac{48}{15} = \pi \cdot 0.5 \cdot 3.2 = 1.6\pi \approx 1.6 \cdot 3.14 \approx 5.03 \text{ м/с}$

Ответ: скорость велосипедиста на велосипеде «Кама» составляет примерно 5,03 м/с (или около 18,1 км/ч).

103. Каково центростремительное ускорение поезда, движущегося по закруглению радиусом 800 м со скоростью 20 м/с?

Дано:

Радиус закругления $R = 800$ м

Скорость поезда $v = 20$ м/с

Найти:

Центростремительное ускорение $a_ц$

Решение:

Центростремительное ускорение — это составляющая ускорения тела, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости при движении по криволинейной траектории. Оно всегда направлено к центру кривизны траектории. Для нахождения центростремительного ускорения используется формула:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

где $v$ — это линейная скорость тела, а $R$ — радиус окружности траектории.

Подставим в формулу данные из условия задачи, так как они уже представлены в системе СИ:

$a_ц = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{800 \text{ м}}$

Выполним вычисления:

$a_ц = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{800 \text{ м}} = 0.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: центростремительное ускорение поезда равно $0.5 \text{ м/с}^2$.

104. Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равна 2 км/с. Найти период обращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек экватора.

Дано:

Скорость точек на экваторе Солнца: $v = 2 \text{ км/с}$
Для решения задачи потребуется справочное значение радиуса Солнца: $R \approx 6.96 \times 10^8 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:
$v = 2 \times 10^3 \text{ м/с}$

Найти:

Период обращения Солнца вокруг своей оси: $T - ?$
Центростремительное ускорение точек экватора: $a_c - ?$

Решение:

Период обращения Солнца вокруг своей оси

Период обращения $T$ — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Он связан с линейной скоростью $v$ и радиусом вращения $R$ формулой для движения по окружности: $v = \frac{2 \pi R}{T}$.

Из этой формулы выразим искомый период $T$:

$T = \frac{2 \pi R}{v}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$T = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 6.96 \times 10^8 \text{ м}}{2 \times 10^3 \text{ м/с}} \approx 2.187 \times 10^6 \text{ с}$

Для лучшего представления этого значения, переведем его в сутки. В одних сутках содержится $24 \text{ часа} \times 60 \text{ мин/час} \times 60 \text{ с/мин} = 86400 \text{ с}$.

$T \approx \frac{2.187 \times 10^6 \text{ с}}{86400 \text{ с/сут}} \approx 25.3 \text{ суток}$

Ответ: период обращения Солнца вокруг своей оси составляет $T \approx 2.19 \times 10^6 \text{ с}$, что примерно равно 25.3 суткам.

Центростремительное ускорение точек экватора

Центростремительное ускорение $a_c$ для тела, движущегося по окружности радиуса $R$ с линейной скоростью $v$, вычисляется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставим известные значения:

$a_c = \frac{(2 \times 10^3 \text{ м/с})^2}{6.96 \times 10^8 \text{ м}} = \frac{4 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2}{6.96 \times 10^8 \text{ м}} \approx 0.00575 \text{ м/с}^2$

Ответ: центростремительное ускорение точек экватора Солнца $a_c \approx 0.00575 \text{ м/с}^2$.

105. Период обращения молотильного барабана комбайна «Нива» диаметром 600 мм равен 0,046 с. Найти скорость точек, лежащих на ободе барабана, и их центростремительное ускорение.

Дано:

Период обращения, $T = 0,046$ с

Диаметр барабана, $d = 600$ мм

Найти:

$v$ — скорость точек, лежащих на ободе барабана

$a_c$ — центростремительное ускорение точек

Решение:

Сначала определим радиус барабана. Радиус $r$ равен половине диаметра $d$:

$r = \frac{d}{2} = \frac{0,6 \text{ м}}{2} = 0,3 \text{ м}$

скорость точек, лежащих на ободе барабана

Линейная скорость $v$ точек на ободе барабана при его равномерном вращении вычисляется как длина окружности, деленная на период обращения:

$v = \frac{2\pi r}{T}$

Подставим известные значения в формулу:

$v = \frac{2 \cdot \pi \cdot 0,3 \text{ м}}{0,046 \text{ с}} \approx \frac{1,885 \text{ м}}{0,046 \text{ с}} \approx 40,98 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (согласно данным задачи), получаем:

Ответ: $v \approx 41 \text{ м/с}$.

их центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение $a_c$ можно найти по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Для большей точности можно использовать формулу, которая связывает ускорение напрямую с периодом и радиусом, чтобы избежать ошибок округления промежуточных вычислений:

$a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Подставим значения:

$a_c = \frac{4\pi^2 \cdot 0,3 \text{ м}}{(0,046 \text{ с})^2} \approx \frac{4 \cdot 9,87 \cdot 0,3 \text{ м}}{0,002116 \text{ с}^2} \approx \frac{11,844 \text{ м}}{0,002116 \text{ с}^2} \approx 5597,3 \text{ м/с}^2$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $a_c \approx 5600 \text{ м/с}^2$ или $5,6 \cdot 10^3 \text{ м/с}^2$.