Страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

81. Движения четырёх материальных точек заданы следующими уравнениями соответственно: $x_1 = 10t + 0.4t^2$; $x_2 = 2t - t^2$; $x_3 = -4t + 2t^2$; $x_4 = -t - 6t^2$.

Написать уравнение $v_x = v_x(t)$ для каждой точки; построить графики этих зависимостей; описать движение каждой точки.

Дано:

Уравнения движения четырех материальных точек:

$x_1 = 10t + 0.4t^2$

$x_2 = 2t - t^2$

$x_3 = -4t + 2t^2$

$x_4 = -t - 6t^2$

Все величины в уравнениях представлены в системе СИ (координата $x$ в метрах, время $t$ в секундах).

Найти:

Для каждой точки: написать уравнение скорости $v_x(t)$, построить график $v_x(t)$, описать движение.

Решение:

Все движения являются равноускоренными, так как координата зависит от времени квадратично. Общий вид уравнения равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$. Скорость находится как первая производная координаты по времени: $v_x(t) = \frac{dx}{dt} = v_{0x} + a_x t$.

Написать уравнение $v_x = v_x(t)$ для каждой точки

Для нахождения уравнений скорости продифференцируем каждое уравнение координаты по времени $t$.
1. Первая точка: $v_{1x}(t) = \frac{d}{dt}(10t + 0.4t^2) = 10 + 0.8t$.
2. Вторая точка: $v_{2x}(t) = \frac{d}{dt}(2t - t^2) = 2 - 2t$.
3. Третья точка: $v_{3x}(t) = \frac{d}{dt}(-4t + 2t^2) = -4 + 4t$.
4. Четвертая точка: $v_{4x}(t) = \frac{d}{dt}(-t - 6t^2) = -1 - 12t$.

Ответ: Уравнения скоростей для точек соответственно: $v_{1x}(t) = 10 + 0.8t$; $v_{2x}(t) = 2 - 2t$; $v_{3x}(t) = -4 + 4t$; $v_{4x}(t) = -1 - 12t$.

Описать движение каждой точки

Для описания движения определим начальные параметры (координату $x_0$, скорость $v_{0x}$) и ускорение $a_x$ для каждой точки, сравнив ее уравнение с общей формулой.

1. Первая точка ($x_1 = 10t + 0.4t^2$):
Начальная координата $x_{01} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x1} = 10$ м/с. Ускорение $a_{x1}/2 = 0.4 \implies a_{x1} = 0.8$ м/с$^2$. Поскольку начальная скорость и ускорение положительны ($v_{0x1} > 0, a_{x1} > 0$), точка движется из начала координат равноускоренно в положительном направлении оси $Ox$.

2. Вторая точка ($x_2 = 2t - t^2$):
Начальная координата $x_{02} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x2} = 2$ м/с. Ускорение $a_{x2}/2 = -1 \implies a_{x2} = -2$ м/с$^2$. Начальная скорость положительна, а ускорение отрицательно ($v_{0x2} > 0, a_{x2} < 0$). Точка движется из начала координат равнозамедленно в положительном направлении оси $Ox$. В момент времени $t$, когда скорость станет равной нулю ($v_{2x}(t) = 2 - 2t = 0 \implies t=1$ с), точка остановится и начнет равноускоренное движение в отрицательном направлении.

3. Третья точка ($x_3 = -4t + 2t^2$):
Начальная координата $x_{03} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x3} = -4$ м/с. Ускорение $a_{x3}/2 = 2 \implies a_{x3} = 4$ м/с$^2$. Начальная скорость отрицательна, а ускорение положительно ($v_{0x3} < 0, a_{x3} > 0$). Точка движется из начала координат равнозамедленно в отрицательном направлении оси $Ox$. В момент времени $t=1$ с ($v_{3x}(t) = -4 + 4t = 0$), точка остановится и начнет равноускоренное движение в положительном направлении.

4. Четвертая точка ($x_4 = -t - 6t^2$):
Начальная координата $x_{04} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x4} = -1$ м/с. Ускорение $a_{x4}/2 = -6 \implies a_{x4} = -12$ м/с$^2$. Начальная скорость и ускорение отрицательны ($v_{0x4} < 0, a_{x4} < 0$). Точка движется из начала координат равноускоренно в отрицательном направлении оси $Ox$.

Ответ: 1) Равноускоренное движение в положительном направлении. 2) Равнозамедленное движение в положительном направлении до $t=1$ с, затем равноускоренное в отрицательном. 3) Равнозамедленное движение в отрицательном направлении до $t=1$ с, затем равноускоренное в положительном. 4) Равноускоренное движение в отрицательном направлении.

Построить графики этих зависимостей

Все зависимости скорости от времени $v_x(t)$ являются линейными, поэтому их графики — прямые линии. Построим все четыре графика в одной системе координат $v_x(t)$.

Легенда к графику:
━ Синяя линия: $v_{1x}(t) = 10 + 0.8t$
━ Красная линия: $v_{2x}(t) = 2 - 2t$
━ Зеленая линия: $v_{3x}(t) = -4 + 4t$
━ Фиолетовая линия: $v_{4x}(t) = -1 - 12t$

Ответ: Графики зависимостей скорости от времени для четырех точек представлены на рисунке выше.

82. Написать уравнения x = x(t) для движений, графики скоростей которых даны на рисунке 18. Считать, что в начальный момент (t = 0) тела находятся в начале координат (x = 0).

Для решения данной задачи необходимо проанализировать графики скоростей, представленные на рисунке 18, который отсутствует в вопросе. Ниже приведен общий алгоритм для нахождения уравнения движения $x=x(t)$ по графику скорости $v(t)$ при заданных условиях.

Общий принцип

Уравнение координаты для прямолинейного равноускоренного движения имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$

где $x_0$ – начальная координата, $v_0$ – начальная скорость, $a$ – ускорение.

По условию задачи, в начальный момент времени $t = 0$ тела находятся в начале координат, что означает $x_0 = 0$. Таким образом, искомое уравнение для каждого движения будет иметь вид:

$x(t) = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Следовательно, задача сводится к определению начальной скорости $v_0$ и ускорения $a$ для каждого тела по его графику $v(t)$.

1. Определение начальной скорости $v_0$

Начальная скорость $v_0$ — это значение скорости в момент времени $t=0$. На графике зависимости скорости от времени $v(t)$ это значение находится как точка пересечения графика с вертикальной осью (осью скоростей $v$).

2. Определение ускорения $a$

Если график $v(t)$ является прямой линией, то движение является равноускоренным (ускорение постоянно). Ускорение $a$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) этой прямой к оси времени $t$.

Для расчета ускорения необходимо выбрать две произвольные точки на графике, например, $(t_1, v_1)$ и $(t_2, v_2)$, и использовать формулу:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

• Если график направлен вверх, то $a > 0$ (ускорение).
• Если график направлен вниз, то $a < 0$ (замедление).
• Если график является горизонтальной линией, то $a = 0$, движение равномерное, и уравнение движения упрощается до $x(t) = v_0t$.

3. Запись итогового уравнения $x(t)$

После нахождения численных значений $v_0$ и $a$ по графику, их подставляют в общую формулу $x(t) = v_0t + \frac{at^2}{2}$ для получения конкретного уравнения движения для каждого тела.

Эту процедуру необходимо повторить для каждого графика, представленного на рисунке 18.

Пример для гипотетического графика

Допустим, один из графиков на рисунке 18 — это прямая линия, проходящая через точки $(t_1, v_1) = (0, 5)$ и $(t_2, v_2) = (10, -5)$.

Дано:

Найти:

Уравнение движения $x(t)$.

Решение:

1. Из графика (по точке $(0, 5)$) определяем начальную скорость: $v_0 = 5 \, м/с$.

2. Рассчитываем ускорение, используя две точки:

$a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{-5 \, м/с - 5 \, м/с}{10 \, с - 0 \, с} = \frac{-10 \, м/с}{10 \, с} = -1 \, м/с^2$

3. Подставляем найденные значения $v_0$ и $a$ в уравнение движения:

$x(t) = v_0t + \frac{at^2}{2} = 5t + \frac{(-1)t^2}{2} = 5t - 0.5t^2$

Ответ: для данного гипотетического примера уравнение движения имеет вид $x(t) = 5t - 0.5t^2$.

83. Мальчик съехал на санках с горы длиной $40 \text{ м}$ за $10 \text{ с}$, а затем проехал по горизонтальному участку ещё $20 \text{ м}$ до остановки. Найти скорость в конце горы, ускорения на каждом из участков, общее время движения и среднюю скорость на всём пути. Начертить график скорости.

Дано:

Длина первого участка (спуск с горы), $s_1 = 40$ м
Время движения на первом участке, $t_1 = 10$ с
Длина второго участка (горизонтальный), $s_2 = 20$ м
Начальная скорость на первом участке, $v_{01} = 0$ м/с (мальчик начинает движение)
Конечная скорость на втором участке, $v_{k2} = 0$ м/с (мальчик остановился)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_1$ - скорость в конце горы
$a_1, a_2$ - ускорения на каждом из участков
$t_{общ}$ - общее время движения
$v_{ср}$ - среднюю скорость на всём пути

Решение:

Разобьем движение на два этапа: спуск с горы и движение по горизонтальному участку.

1. Движение с горы (участок 1)

Движение с горы является равноускоренным, так как мальчик начинает движение из состояния покоя ($v_{01} = 0$). Путь, пройденный при равноускоренном движении, определяется формулой: $s_1 = v_{01}t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2}$

Так как $v_{01} = 0$, формула упрощается: $s_1 = \frac{a_1 t_1^2}{2}$

Из этой формулы выразим и найдем ускорение на первом участке ($a_1$): $a_1 = \frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 40 \text{ м}}{(10 \text{ с})^2} = \frac{80}{100} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь найдем скорость в конце горы ($v_1$), которая является конечной скоростью для первого участка. $v_1 = v_{01} + a_1 t_1 = 0 + 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ с} = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Движение по горизонтальному участку (участок 2)

Начальная скорость на этом участке ($v_{02}$) равна скорости в конце горы: $v_{02} = v_1 = 8$ м/с. Конечная скорость $v_{k2} = 0$. Движение является равнозамедленным.

Для нахождения ускорения ($a_2$) воспользуемся формулой, не содержащей времени: $s_2 = \frac{v_{k2}^2 - v_{02}^2}{2a_2}$

Выразим и найдем $a_2$: $a_2 = \frac{v_{k2}^2 - v_{02}^2}{2s_2} = \frac{0^2 - (8 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 20 \text{ м}} = \frac{-64}{40} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = -1.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Знак "минус" указывает на то, что движение равнозамедленное, то есть вектор ускорения направлен против вектора скорости.

Найдем время движения на втором участке ($t_2$): $v_{k2} = v_{02} + a_2 t_2$
$t_2 = \frac{v_{k2} - v_{02}}{a_2} = \frac{0 - 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{-1.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 5 \text{ с}$

3. Расчет общих величин

Общее время движения ($t_{общ}$) равно сумме времен на двух участках: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 10 \text{ с} + 5 \text{ с} = 15 \text{ с}$

Общий путь ($s_{общ}$) равен сумме путей на двух участках: $s_{общ} = s_1 + s_2 = 40 \text{ м} + 20 \text{ м} = 60 \text{ м}$

Средняя скорость на всём пути ($v_{ср}$) вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: $v_{ср} = \frac{s_{общ}}{t_{общ}} = \frac{60 \text{ м}}{15 \text{ с}} = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Скорость в конце горы

Скорость в конце горы равна конечной скорости на первом участке движения.
$v_1 = a_1 t_1 = 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ с} = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость в конце горы равна 8 м/с.

Ускорения на каждом из участков

Ускорение на первом участке (спуск с горы): $a_1 = 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Ускорение на втором участке (горизонтальный): $a_2 = -1.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Ответ: ускорение на первом участке $0.8$ м/с², на втором участке $-1.6$ м/с².

Общее время движения

Общее время движения складывается из времени движения на первом и втором участках.
$t_{общ} = t_1 + t_2 = 10 \text{ с} + 5 \text{ с} = 15 \text{ с}$

Ответ: общее время движения равно 15 с.

Средняя скорость на всём пути

Средняя скорость равна отношению общего пути к общему времени.
$v_{ср} = \frac{s_{общ}}{t_{общ}} = \frac{40 \text{ м} + 20 \text{ м}}{10 \text{ с} + 5 \text{ с}} = \frac{60 \text{ м}}{15 \text{ с}} = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: средняя скорость на всём пути равна 4 м/с.

Начертить график скорости

График зависимости скорости от времени $v(t)$ будет состоять из двух отрезков прямых линий.

1. Ось абсцисс — время $t$ в секундах (с), ось ординат — скорость $v$ в метрах в секунду (м/с).
2. Первый участок (от $t=0$ до $t=10$ с): Равноускоренное движение. График — прямая линия, выходящая из начала координат (точка (0; 0)) и идущая вверх до точки (10; 8), так как за 10 секунд скорость достигла 8 м/с.
3. Второй участок (от $t=10$ до $t=15$ с): Равнозамедленное движение. График — прямая линия, идущая вниз от точки (10; 8) до точки (15; 0), так как за следующие 5 секунд (общее время 15 с) скорость упала до нуля.

Таким образом, график представляет собой ломаную линию, образующую треугольник с вершинами в точках (0; 0), (10; 8) и (15; 0).

Ответ: график скорости представляет собой ломаную линию, поднимающуюся от $v=0$ до $v=8$ м/с за первые 10 с, а затем опускающуюся до $v=0$ за следующие 5 с.

84. Велосипедист начал своё движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением $1 \text{ м}/\text{с}^2$; затем в течение 0,1 мин он двигался равномерно и последние 20 м — равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за всё время движения. Построить график зависимости $v_x(t)$.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
Время первого участка $t_1 = 4$ с
Ускорение на первом участке $a_1 = 1$ м/с²
Время второго участка $t_2 = 0,1$ мин
Путь на третьем участке $s_3 = 20$ м
Конечная скорость $v_k = 0$ м/с

Перевод в СИ:

$t_2 = 0,1 \text{ мин} = 0,1 \cdot 60 \text{ с} = 6 \text{ с}$

Найти:

$v_{ср}$ — среднюю скорость за всё время движения.

График зависимости $v_x(t)$.

Решение:

Движение велосипедиста состоит из трех этапов. Для нахождения средней скорости необходимо найти общий путь и общее время движения.

1. Нахождение средней скорости за всё время движения

Средняя скорость определяется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Рассмотрим каждый этап движения отдельно.

Этап 1: Равноускоренное движение.

Велосипедист движется из состояния покоя ($v_{0,1} = 0$) с ускорением $a_1 = 1$ м/с² в течение времени $t_1 = 4$ с.
Скорость в конце первого этапа:
$v_1 = v_{0,1} + a_1 t_1 = 0 + 1 \cdot 4 = 4$ м/с.
Путь, пройденный на первом этапе:
$s_1 = v_{0,1} t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = 0 \cdot 4 + \frac{1 \cdot 4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ м.

Этап 2: Равномерное движение.

Велосипедист движется с постоянной скоростью, равной скорости в конце первого этапа: $v_2 = v_1 = 4$ м/с.
Продолжительность этого этапа $t_2 = 6$ с.
Путь, пройденный на втором этапе:
$s_2 = v_2 t_2 = 4 \cdot 6 = 24$ м.

Этап 3: Равнозамедленное движение.

Велосипедист замедляется до полной остановки ($v_{k,3} = 0$). Начальная скорость на этом этапе равна скорости на втором: $v_{0,3} = v_2 = 4$ м/с. Пройденный путь $s_3 = 20$ м.
Найдем время движения на третьем этапе $t_3$ по формуле пути при равнопеременном движении: $s = \frac{v_{начальная} + v_{конечная}}{2} \cdot t$.
$t_3 = \frac{2 s_3}{v_{0,3} + v_{k,3}} = \frac{2 \cdot 20}{4 + 0} = \frac{40}{4} = 10$ с.

Вычисление средней скорости.

Общий пройденный путь:
$S_{общ} = s_1 + s_2 + s_3 = 8 \text{ м} + 24 \text{ м} + 20 \text{ м} = 52$ м.
Общее время движения:
$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 4 \text{ с} + 6 \text{ с} + 10 \text{ с} = 20$ с.
Средняя скорость за всё время движения:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{52 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 2,6$ м/с.

Ответ: средняя скорость за всё время движения составляет 2,6 м/с.

2. Построение графика зависимости v_x(t)

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ будет состоять из трех отрезков прямых, соответствующих трем этапам движения.

• Для $t \in [0; 4]$ с: равноускоренное движение. График — отрезок прямой, выходящий из начала координат. Скорость изменяется от $v_x(0) = 0$ м/с до $v_x(4) = 4$ м/с. Ключевые точки: (0; 0) и (4; 4).
• Для $t \in (4; 10]$ с: равномерное движение. Этот этап длится 6 с, т.е. до момента времени $4+6=10$ с. Скорость постоянна $v_x(t) = 4$ м/с. График — горизонтальный отрезок. Ключевые точки: (4; 4) и (10; 4).
• Для $t \in (10; 20]$ с: равнозамедленное движение. Этот этап длится 10 с, т.е. до момента времени $10+10=20$ с. Скорость линейно уменьшается от 4 м/с до 0. График — отрезок прямой с отрицательным наклоном. Ключевые точки: (10; 4) и (20; 0).

График представляет собой трапецию с вершинами в точках с координатами $(t, v_x)$: (0, 0), (4, 4), (10, 4) и (20, 0).

Ответ: график зависимости $v_x(t)$ — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки (0; 0), (4; 4), (10; 4) и (20; 0) в системе координат, где по оси абсцисс отложено время $t$ в секундах, а по оси ординат — скорость $v_x$ в м/с.

85*. Расстояние между двумя станциями поезд прошёл со средней скоростью $v_{\text{cp}} = 72$ км/ч за $t = 20$ мин. Разгон и торможение вместе длились $t_1 = 4$ мин, а остальное время поезд двигался равномерно. Какой была скорость $v$ поезда при равномерном движении?

Дано:
Средняя скорость $v_{ср} = 72$ км/ч
Общее время движения $t = 20$ мин
Суммарное время разгона и торможения $t_1 = 4$ мин

$v_{ср} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
$t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$
$t_1 = 4 \text{ мин} = 4 \cdot 60 \text{ с} = 240 \text{ с}$

Найти:
Скорость равномерного движения $v$ - ?

Решение

Весь путь поезда $S$ можно вычислить, зная среднюю скорость $v_{ср}$ и общее время в пути $t$:
$S = v_{ср} \cdot t$

С другой стороны, этот путь состоит из трёх участков: разгон, равномерное движение и торможение. Обозначим искомую скорость равномерного движения как $v$.

Время, в течение которого поезд двигался равномерно ($t_2$), можно найти как разность общего времени и времени, затраченного на разгон и торможение:
$t_2 = t - t_1$

Путь, пройденный поездом во время равномерного движения ($S_2$), равен:
$S_2 = v \cdot t_2 = v \cdot (t - t_1)$

Будем считать, что движение на участках разгона и торможения было равноускоренным. На участке разгона скорость менялась от 0 до $v$, а на участке торможения — от $v$ до 0. В обоих случаях средняя скорость на этих участках равна $\frac{0+v}{2} = \frac{v}{2}$.

Суммарный путь, пройденный за время разгона и торможения ($S_1$), равен произведению средней скорости на этих участках на суммарное время $t_1$:
$S_1 = \frac{v}{2} \cdot t_1$

Общий путь $S$ равен сумме путей на всех участках:
$S = S_1 + S_2 = \frac{v}{2} \cdot t_1 + v \cdot (t - t_1)$

Теперь приравняем два выражения для общего пути $S$:
$v_{ср} \cdot t = \frac{v}{2} \cdot t_1 + v \cdot (t - t_1)$

Вынесем $v$ за скобки в правой части уравнения, чтобы выразить искомую скорость:
$v_{ср} \cdot t = v \left( \frac{t_1}{2} + t - t_1 \right)$
$v_{ср} \cdot t = v \left( t - \frac{t_1}{2} \right)$

Отсюда находим $v$:
$v = \frac{v_{ср} \cdot t}{t - \frac{t_1}{2}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:
$v = \frac{20 \text{ м/с} \cdot 1200 \text{ с}}{1200 \text{ с} - \frac{240 \text{ с}}{2}} = \frac{24000}{1200 - 120} = \frac{24000}{1080} = \frac{200}{9} \text{ м/с}$

Переведем скорость в км/ч, умножив на 3,6:
$v = \frac{200}{9} \cdot 3.6 = \frac{200}{9} \cdot \frac{36}{10} = 20 \cdot 4 = 80 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость поезда при равномерном движении была равна 80 км/ч.

86. Движения двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями $x_1 = 2t + 0,2t^2$ и $x_2 = 80 - 4t$. Описать картину движения. Найти:

а) время и место встречи автомобилей;

б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчёта времени;

в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчёта.

Сначала опишем картину движения. Движение происходит вдоль одной прямой, оси Ox.

Уравнение движения первого автомобиля $x_1(t) = 2t + 0.2t^2$. Это уравнение вида $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$. Сравнивая, получаем: начальная координата $x_{01}=0$ м, начальная скорость $v_{01}=2$ м/с, ускорение $a_1=0.4$ м/с². Таким образом, первый автомобиль начинает движение из начала координат и движется равноускоренно в положительном направлении оси Ox.

Уравнение движения второго автомобиля $x_2(t) = 80 - 4t$. Это уравнение вида $x(t) = x_0 + vt$. Сравнивая, получаем: начальная координата $x_{02}=80$ м, скорость $v_{2}=-4$ м/с. Таким образом, второй автомобиль начинает движение из точки с координатой 80 м и движется равномерно со скоростью 4 м/с в отрицательном направлении оси Ox (навстречу первому автомобилю).

Дано:

Уравнение движения первого автомобиля: $x_1(t) = 2t + 0.2t^2$

Уравнение движения второго автомобиля: $x_2(t) = 80 - 4t$

Время для пункта б): $t_б = 5$ с

Все величины даны в системе СИ (метры, секунды).

Найти:

а) время $t_{вст}$ и место (координату) $x_{вст}$ встречи автомобилей;

б) расстояние $L$ между ними через $t_б = 5$ с;

в) координату первого автомобиля $x_{1в}$ в момент времени, когда второй находился в начале отсчёта ($x_2=0$).

Решение:

а) время и место встречи автомобилей;

В момент встречи координаты автомобилей равны: $x_1(t_{вст}) = x_2(t_{вст})$.

$2t_{вст} + 0.2t_{вст}^2 = 80 - 4t_{вст}$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.2t_{вст}^2 + 6t_{вст} - 80 = 0$

Умножим уравнение на 5 для удобства вычислений:

$t_{вст}^2 + 30t_{вст} - 400 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 900 + 1600 = 2500$

$\sqrt{D} = 50$

$t_{вст} = \frac{-30 \pm 50}{2}$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-30 + 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$ с и $t_2 = \frac{-30 - 50}{2} = \frac{-80}{2} = -40$ с.

Так как время не может быть отрицательным, выбираем $t_{вст} = 10$ с.

Теперь найдем место встречи, подставив найденное время в любое из уравнений движения. Используем уравнение для второго автомобиля, так как оно проще:

$x_{вст} = x_2(10) = 80 - 4 \cdot 10 = 80 - 40 = 40$ м.

Проверим по первому уравнению:

$x_{вст} = x_1(10) = 2 \cdot 10 + 0.2 \cdot 10^2 = 20 + 0.2 \cdot 100 = 20 + 20 = 40$ м.

Ответ: автомобили встретятся через 10 с после начала движения в точке с координатой 40 м.

б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчета времени;

Найдем координаты каждого автомобиля в момент времени $t=5$ с:

$x_1(5) = 2 \cdot 5 + 0.2 \cdot 5^2 = 10 + 0.2 \cdot 25 = 10 + 5 = 15$ м.

$x_2(5) = 80 - 4 \cdot 5 = 80 - 20 = 60$ м.

Расстояние $L$ между ними равно модулю разности их координат:

$L = |x_2(5) - x_1(5)| = |60 - 15| = 45$ м.

Ответ: через 5 с расстояние между автомобилями будет 45 м.

в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчёта.

Сначала найдем момент времени $t_в$, когда второй автомобиль находился в начале отсчета, то есть его координата $x_2=0$:

$0 = 80 - 4t_в$

$4t_в = 80$

$t_в = \frac{80}{4} = 20$ с.

Теперь найдем координату первого автомобиля в этот момент времени $t_в = 20$ с:

$x_{1в} = x_1(20) = 2 \cdot 20 + 0.2 \cdot 20^2 = 40 + 0.2 \cdot 400 = 40 + 80 = 120$ м.

Ответ: координата первого автомобиля будет 120 м.

87. В момент начала наблюдения расстояние между двумя телами равно 6,9 м. Первое тело движется из состояния покоя с ускорением 0,2 м/с². Второе движется вслед за ним, имея начальную скорость 2 м/с и ускорение 0,4 м/с². Написать уравнения $x = x(t)$ в системе отсчёта, в которой при $t = 0$ координаты тел принимают значения, соответственно равные $x_1 = 6,9$ м, $x_2 = 0$. Найти время и место встречи тел.

Дано:

Первое тело:
начальная координата $x_{01} = 6,9$ м
начальная скорость $v_{01} = 0$ м/с (движется из состояния покоя)
ускорение $a_1 = 0,2$ м/с²

Второе тело:
начальная координата $x_{02} = 0$ м
начальная скорость $v_{02} = 2$ м/с
ускорение $a_2 = 0,4$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

2. Время встречи $t_{встр}$.

3. Место встречи $x_{встр}$.

Решение:

Общий вид уравнения для равноускоренного прямолинейного движения:$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$, где $x_0$ — начальная координата, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, $t$ — время.

1. Уравнения движения $x = x(t)$

Подставим данные для первого тела в общее уравнение движения:
$x_1(t) = x_{01} + v_{01}t + \frac{a_1 t^2}{2} = 6,9 + 0 \cdot t + \frac{0,2 \cdot t^2}{2}$
$x_1(t) = 6,9 + 0,1t^2$

Подставим данные для второго тела в общее уравнение движения:
$x_2(t) = x_{02} + v_{02}t + \frac{a_2 t^2}{2} = 0 + 2 \cdot t + \frac{0,4 \cdot t^2}{2}$
$x_2(t) = 2t + 0,2t^2$

Ответ:Уравнения движения тел: $x_1(t) = 6,9 + 0,1t^2$; $x_2(t) = 2t + 0,2t^2$.

2. Время и место встречи тел

В момент встречи координаты тел равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.
Приравняем полученные уравнения:
$6,9 + 0,1t^2 = 2t + 0,2t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$0,2t^2 - 0,1t^2 + 2t - 6,9 = 0$
$0,1t^2 + 2t - 6,9 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 10:
$t^2 + 20t - 69 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-69) = 400 + 276 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ (с)
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-46}{2} = -23$ (с)

Так как время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только первый корень: $t_{встр} = 3$ с.

Теперь найдем координату (место) встречи, подставив найденное время в любое из уравнений движения. Подставим в уравнение для второго тела:
$x_{встр} = x_2(3) = 2 \cdot 3 + 0,2 \cdot 3^2 = 6 + 0,2 \cdot 9 = 6 + 1,8 = 7,8$ м.

Для проверки подставим время в уравнение для первого тела:
$x_{встр} = x_1(3) = 6,9 + 0,1 \cdot 3^2 = 6,9 + 0,1 \cdot 9 = 6,9 + 0,9 = 7,8$ м.
Результаты совпадают.

Ответ:Время встречи тел равно 3 с, место встречи — на координате 7,8 м.