Страница 12 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

38. Легковой автомобиль движется со скоростью 20 м/с за грузовым, скорость которого 16,5 м/с. В момент начала обгона водитель легкового автомобиля увидел встречный междугородный автобус, движущийся со скоростью 25 м/с. При каком наименьшем расстоянии до автобуса можно начинать обгон, если в начале обгона легковая машина была в 15 м от грузовой, а к концу обгона она должна быть впереди грузовой на 20 м?

Дано:

Скорость легкового автомобиля: $v_1 = 20$ м/с
Скорость грузового автомобиля: $v_2 = 16,5$ м/с
Скорость встречного автобуса: $v_3 = 25$ м/с
Начальное расстояние позади грузовика: $L_1 = 15$ м
Конечное расстояние впереди грузовика: $L_2 = 20$ м
(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Наименьшее расстояние до автобуса $S_{min}$

Решение:

Для решения задачи будем использовать систему отсчета, связанную с землей.

1. Сначала определим, какое относительное расстояние должен преодолеть легковой автомобиль по отношению к грузовому, чтобы завершить маневр обгона. В начале обгона легковой автомобиль находится на 15 м позади грузового, а в конце должен оказаться на 20 м впереди. Таким образом, общее относительное расстояние, которое нужно "отыграть", равно сумме этих двух расстояний:
$S_{отн} = L_1 + L_2 = 15 \text{ м} + 20 \text{ м} = 35 \text{ м}$

2. Теперь найдем скорость сближения (скорость обгона) легкового автомобиля относительно грузового. Так как они движутся в одном направлении, относительная скорость равна разности их скоростей:
$v_{отн} = v_1 - v_2 = 20 \text{ м/с} - 16,5 \text{ м/с} = 3,5 \text{ м/с}$

3. Зная относительное расстояние и относительную скорость, можем вычислить время, необходимое для совершения обгона:
$t_{обгона} = \frac{S_{отн}}{v_{отн}} = \frac{35 \text{ м}}{3,5 \text{ м/с}} = 10 \text{ с}$

4. За это время $t_{обгона}$ легковой автомобиль и встречный автобус движутся навстречу друг другу. Чтобы обгон был безопасным, начальное расстояние между ними должно быть не меньше, чем суммарное расстояние, которое они проедут за время обгона до момента их встречи.

5. Рассчитаем расстояние, которое пройдет легковой автомобиль за время обгона:
$S_1 = v_1 \cdot t_{обгона} = 20 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 200 \text{ м}$

6. Рассчитаем расстояние, которое пройдет встречный автобус за это же время:
$S_3 = v_3 \cdot t_{обгона} = 25 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 250 \text{ м}$

7. Наименьшее безопасное расстояние до автобуса в момент начала обгона равно сумме расстояний, которые проедут легковой автомобиль и автобус за время обгона:
$S_{min} = S_1 + S_3 = 200 \text{ м} + 250 \text{ м} = 450 \text{ м}$

Альтернативный способ расчета: можно найти скорость сближения легкового автомобиля и автобуса и умножить ее на время обгона.
Скорость сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_3 = 20 \text{ м/с} + 25 \text{ м/с} = 45 \text{ м/с}$
Наименьшее расстояние: $S_{min} = v_{сбл} \cdot t_{обгона} = 45 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 450 \text{ м}$

Ответ: наименьшее расстояние до автобуса, при котором можно начинать обгон, составляет 450 м.

39. Рыболов, двигаясь на лодке против течения реки, уронил удочку. Через 1 мин он заметил потерю и сразу же повернул обратно. Через какой промежуток времени после потери он догонит удочку? Скорость течения реки и скорость лодки относительно воды постоянны. На каком расстоянии от места потери он догонит удочку, если скорость течения воды равна 2 м/с?

Через какой промежуток времени после потери он догонит удочку?

Для решения этой части задачи удобнее всего перейти в систему отсчета, связанную с водой. В этой системе отсчета вода и все, что в ней плавает (в данном случае, удочка), неподвижны.

Пусть $v_л$ — скорость лодки относительно воды, а $t_1 = 1 \text{ мин}$ — время, в течение которого рыбак двигался против течения после потери удочки.

В системе отсчета, связанной с водой, удочка неподвижна в точке, где ее уронили. Лодка удаляется от этой точки со скоростью $v_л$ в течение времени $t_1$. Расстояние, на которое лодка удалится от удочки, равно $S_{отн} = v_л \cdot t_1$.

Заметив потерю, рыбак разворачивается и движется обратно к удочке. Его скорость относительно воды остается той же, $v_л$. Время, необходимое для преодоления расстояния $S_{отн}$ и возвращения к удочке, будет $t_2 = \frac{S_{отн}}{v_л} = \frac{v_л \cdot t_1}{v_л} = t_1$.

Следовательно, общее время, прошедшее с момента потери удочки до встречи с ней, равно сумме времени движения от нее и времени движения к ней:

$T = t_1 + t_2 = t_1 + t_1 = 2t_1$

$T = 2 \cdot 1 \text{ мин} = 2 \text{ мин}$.

Этот результат не зависит от скорости лодки или скорости течения реки.

Ответ: рыбак догонит удочку через 2 минуты после ее потери.

На каком расстоянии от места потери он догонит удочку, если скорость течения воды равна 2 м/с?

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин}$
$v_{теч} = 2 \text{ м/с}$

$t_1 = 60 \text{ с}$

Найти:

$S$

Решение:

Расстояние от места потери нужно определять в системе отсчета, связанной с берегом. Место потери — это точка, в которой удочка упала в воду.

С момента падения удочка плывет по течению со скоростью течения $v_{теч}$ относительно берега.

Общее время, которое удочка находилась в движении до того, как ее догнал рыбак, мы нашли в первой части задачи: $T = 2 \cdot t_1$.

Переведем это время в систему СИ:

$T = 2 \cdot 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$.

За это время удочка проплывет расстояние $S$, которое вычисляется по формуле:

$S = v_{теч} \cdot T$

Подставим числовые значения:

$S = 2 \text{ м/с} \cdot 120 \text{ с} = 240 \text{ м}$.

Ответ: рыбак догонит удочку на расстоянии 240 м от места потери.

40*. На рисунке 12 приведены графики движения велосипедиста $I$ и движения мотоциклиста $II$ в системе отсчёта, связанной с землёй. Написать уравнение движения велосипедиста в системе отсчёта, связанной с мотоциклистом, и построить график его движения в этой системе.

Рис. 12

Дано:

Найти:

Решение:

1. Сначала определим уравнения движения для каждого объекта в системе отсчета, связанной с землей. Так как движение равномерное и прямолинейное, общее уравнение движения имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$.

2. Для велосипедиста (I):

Начальная координата из графика $x_{01} = 400 \text{ м}$.

Найдем скорость велосипедиста:

$v_1 = \frac{\Delta x_1}{\Delta t} = \frac{1200 \text{ м} - 400 \text{ м}}{80 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{800 \text{ м}}{80 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Таким образом, уравнение движения велосипедиста в системе отсчета, связанной с землей, имеет вид:

$x_1(t) = 400 + 10t$

3. Для мотоциклиста (II):

Начальная координата из графика $x_{02} = 0 \text{ м}$.

Найдем скорость мотоциклиста:

$v_2 = \frac{\Delta x_2}{\Delta t} = \frac{1200 \text{ м} - 0 \text{ м}}{60 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{1200 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Уравнение движения мотоциклиста в системе отсчета, связанной с землей, имеет вид:

$x_2(t) = 20t$

4. Теперь найдем уравнение движения велосипедиста в системе отсчета, связанной с мотоциклистом. Координата велосипедиста ($x_1$) относительно мотоциклиста ($x_2$) в любой момент времени $t$ равна разности их координат в неподвижной системе отсчета:

$x_{12}(t) = x_1(t) - x_2(t)$

Подставляем полученные ранее уравнения:

$x_{12}(t) = (400 + 10t) - (20t)$

$x_{12}(t) = 400 - 10t$

Это и есть искомое уравнение движения.

5. Для построения графика движения велосипедиста в системе отсчета мотоциклиста, воспользуемся уравнением $x_{12}(t) = 400 - 10t$. Это линейная зависимость, значит, график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

Найдем точки:

• При $t = 0 \text{ с}$: $x_{12} = 400 - 10 \cdot 0 = 400 \text{ м}$. Точка (0; 400).
• Найдем момент времени, когда $x_{12} = 0$: $0 = 400 - 10t \implies 10t = 400 \implies t = 40 \text{ с}$. Точка (40; 0).

График представляет собой прямую, проходящую через эти две точки. По оси ординат откладывается относительная координата $x_{12}$ (м), а по оси абсцисс — время $t$ (с).

Ответ:

Уравнение движения велосипедиста в системе отсчета, связанной с мотоциклистом: $x_{12}(t) = 400 - 10t$, где координата $x_{12}$ измеряется в метрах, а время $t$ — в секундах.

График этого движения представлен ниже. Это прямая линия, которая показывает, что в начальный момент времени велосипедист находился впереди мотоциклиста на 400 м и двигался относительно него в противоположную сторону со скоростью 10 м/с.

41*. На рисунке 13 изображён график движения второго автомобиля в системе отсчёта, связанной с первым автомобилем. Написать уравнения движений и построить графики в системе отсчёта, связанной с землёй (начало координат расположить в месте нахождения первого автомобиля в начальный момент времени), если скорость первого автомобиля относительно земли: а) направлена по оси $X$ и равна $2 \text{ м/с}$; б) направлена по оси $X$ и равна $6 \text{ м/с}$; в) направлена в сторону, противоположную оси $X$, и равна $2 \text{ м/с}$. Описать картину движения в каждом случае. График с осями: вертикальная ось $x, \text{ м}$ и горизонтальная ось $t, \text{ с}$. На графике обозначены линии I и II.

Рис. 13

Дано:

График зависимости координаты второго автомобиля от времени в системе отсчета, связанной с первым автомобилем $x_{21}(t)$.

Из графика: начальное положение второго автомобиля относительно первого $x_{21}(0) = 200$ м.

Время, через которое второй автомобиль поравнялся с первым: $t = 50$ с.

Начало координат в системе отсчета, связанной с землей, совпадает с начальным положением первого автомобиля: $x_{10} = 0$ м.

Скорости первого автомобиля относительно земли:

а) $v_1 = 2$ м/с

б) $v_1 = 6$ м/с

в) $v_1 = -2$ м/с (направлена противоположно оси X)

Найти:

Для каждого случая:

1. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$ в системе отсчета, связанной с землей.

2. Построить графики движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

3. Описать картину движения.

Решение:

1. Сначала определим относительную скорость второго автомобиля относительно первого ($v_{21}$) по заданному графику. Движение равномерное, так как график — прямая линия. Уравнение движения в относительной системе отсчета имеет вид $x_{21}(t) = x_{21}(0) + v_{21}t$.

Скорость $v_{21}$ равна тангенсу угла наклона графика к оси времени:

$v_{21} = \frac{\Delta x_{21}}{\Delta t} = \frac{0 - 200 \text{ м}}{50 \text{ с} - 0 \text{ с}} = -4$ м/с.

2. По закону сложения скоростей, скорость второго автомобиля в системе отсчета, связанной с землей ($v_2$), связана со скоростью первого ($v_1$) и их относительной скоростью ($v_{21}$) соотношением:

$v_{21} = v_2 - v_1$, откуда $v_2 = v_1 + v_{21} = v_1 - 4$ м/с.

3. Начальные координаты автомобилей в системе отсчета, связанной с землей:

Первый автомобиль: $x_{10} = 0$ м (по условию).

Второй автомобиль: $x_{20} = x_{21}(0) = 200$ м.

4. Общий вид уравнений движения для обоих автомобилей (движение равномерное):

$x_1(t) = x_{10} + v_1 t = v_1 t$

$x_2(t) = x_{20} + v_2 t = 200 + v_2 t = 200 + (v_1 - 4)t$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Скорость первого автомобиля $v_1 = 2$ м/с.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = v_1 - 4 = 2 - 4 = -2$ м/с.

Уравнения движения:

$x_1(t) = 2t$

$x_2(t) = 200 - 2t$

Описание движения: Первый автомобиль начинает движение из начала координат и движется в положительном направлении оси Х со скоростью 2 м/с. Второй автомобиль начинает движение из точки с координатой 200 м и движется навстречу первому (в отрицательном направлении оси Х) со скоростью 2 м/с. Автомобили встретятся.

Найдем время и место встречи: $x_1(t) = x_2(t) \implies 2t = 200 - 2t \implies 4t = 200 \implies t = 50$ с. Место встречи: $x(50) = 2 \cdot 50 = 100$ м.

Графики движения:

График $x_1(t)$ — прямая, выходящая из начала координат (0,0) с положительным наклоном.

График $x_2(t)$ — прямая, начинающаяся в точке (0, 200) с отрицательным наклоном.

Графики пересекаются в точке (50, 100).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 2t$, $x_2(t) = 200 - 2t$. Автомобили движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями и встречаются через 50 с в точке с координатой 100 м.

б) Скорость первого автомобиля $v_1 = 6$ м/с.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = v_1 - 4 = 6 - 4 = 2$ м/с.

Уравнения движения:

$x_1(t) = 6t$

$x_2(t) = 200 + 2t$

Описание движения: Оба автомобиля движутся в положительном направлении оси Х. Первый автомобиль стартует из начала координат, второй — из точки 200 м. Так как скорость первого автомобиля больше скорости второго ($6 \text{ м/с} > 2 \text{ м/с}$), первый автомобиль догоняет второй.

Найдем время и место встречи: $x_1(t) = x_2(t) \implies 6t = 200 + 2t \implies 4t = 200 \implies t = 50$ с. Место встречи: $x(50) = 6 \cdot 50 = 300$ м.

Графики движения:

График $x_1(t)$ — прямая, выходящая из начала координат (0,0) с большим положительным наклоном.

График $x_2(t)$ — прямая, начинающаяся в точке (0, 200) с меньшим положительным наклоном.

Графики пересекаются в точке (50, 300).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 6t$, $x_2(t) = 200 + 2t$. Оба автомобиля движутся в одном направлении, первый догоняет второго, и они встречаются через 50 с в точке с координатой 300 м.

в) Скорость первого автомобиля $v_1 = -2$ м/с.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = v_1 - 4 = -2 - 4 = -6$ м/с.

Уравнения движения:

$x_1(t) = -2t$

$x_2(t) = 200 - 6t$

Описание движения: Оба автомобиля движутся в отрицательном направлении оси Х. Первый автомобиль стартует из начала координат, второй — из точки 200 м. Так как скорость второго автомобиля по модулю больше скорости первого ($|-6 \text{ м/с}| > |-2 \text{ м/с}|$), второй автомобиль, находясь впереди, догоняет и перегоняет первый.

Найдем время и место встречи: $x_1(t) = x_2(t) \implies -2t = 200 - 6t \implies 4t = 200 \implies t = 50$ с. Место встречи: $x(50) = -2 \cdot 50 = -100$ м.

Графики движения:

График $x_1(t)$ — прямая, выходящая из начала координат (0,0) с небольшим отрицательным наклоном.

График $x_2(t)$ — прямая, начинающаяся в точке (0, 200) с большим отрицательным наклоном.

Графики пересекаются в точке (50, -100).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = -2t$, $x_2(t) = 200 - 6t$. Оба автомобиля движутся в отрицательном направлении. Второй автомобиль, стартовав из точки $x=200$ м, догоняет и встречается с первым через 50 с в точке с координатой -100 м.