Страница 19 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

88*. Движения двух мотоциклистов заданы уравнениями $x_1 = 15 + t^2$ и $x_2 = 8t$. Описать движение каждого мотоциклиста; найти время и место их встречи.

Дано:

Уравнение движения первого мотоциклиста: $x_1(t) = 15 + t^2$

Уравнение движения второго мотоциклиста: $x_2(t) = 8t$

Все величины представлены в единицах СИ: координата $x$ в метрах (м), время $t$ в секундах (с).

Найти:

Описать движение каждого мотоциклиста; найти время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ их встречи.

Решение:

Описать движение каждого мотоциклиста

Для описания движения необходимо проанализировать каждое уравнение, сравнив его с общим видом уравнения равноускоренного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_{0}t + \frac{at^2}{2}$, где $x_0$ — начальная координата, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение.

Первый мотоциклист:

Уравнение движения $x_1(t) = 15 + t^2$. Сравнивая его с общей формулой, определяем параметры движения: начальная координата $x_{01} = 15$ м; начальная скорость $v_{01} = 0$ м/с (поскольку в уравнении отсутствует член, содержащий $t$ в первой степени); ускорение $a_1$ находим из соотношения $\frac{a_1t^2}{2} = t^2$, откуда $\frac{a_1}{2} = 1$, следовательно, $a_1 = 2$ м/с². Это означает, что первый мотоциклист начинает движение из точки с координатой 15 м из состояния покоя и движется равноускоренно с постоянным ускорением 2 м/с² в положительном направлении оси $x$.

Второй мотоциклист:

Уравнение движения $x_2(t) = 8t$. Сравнивая его с общей формулой, определяем: начальная координата $x_{02} = 0$ м (свободный член в уравнении отсутствует); начальная скорость $v_{02} = 8$ м/с; ускорение $a_2 = 0$ м/с² (член с $t^2$ отсутствует). Это означает, что второй мотоциклист начинает движение из начала координат и движется равномерно и прямолинейно (с постоянной скоростью) 8 м/с в положительном направлении оси $x$.

Ответ: Первый мотоциклист движется из точки с координатой $x_{01} = 15$ м равноускоренно без начальной скорости ($v_{01} = 0$ м/с) с ускорением $a_1 = 2$ м/с². Второй мотоциклист движется из начала координат ($x_{02} = 0$ м) равномерно и прямолинейно со скоростью $v_2 = 8$ м/с.

найти время и место их встречи

Встреча мотоциклистов произойдет в тот момент времени $t$, когда их координаты будут одинаковы, то есть $x_1(t) = x_2(t)$.

Приравняем правые части уравнений движения:

$15 + t^2 = 8t$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 8t + 15 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 5. Таким образом, мы имеем два момента времени встречи:

$t_1 = 3$ с

$t_2 = 5$ с

Оба корня положительны, что означает, что мотоциклисты встретятся дважды. Первая встреча произойдет, когда второй мотоциклист догонит первого. Вторая — когда первый мотоциклист, двигаясь с ускорением, догонит и перегонит второго.

Теперь найдем координаты, в которых произойдут встречи. Для этого подставим полученные значения времени в любое из уравнений движения. Проще использовать уравнение второго мотоциклиста $x_2 = 8t$.

При $t_1 = 3$ с, место встречи:

$x_{встр1} = 8 \cdot 3 = 24$ м

При $t_2 = 5$ с, место встречи:

$x_{встр2} = 8 \cdot 5 = 40$ м

Для проверки можно подставить эти же значения времени в уравнение первого мотоциклиста:

$x_1(3) = 15 + 3^2 = 15 + 9 = 24$ м

$x_1(5) = 15 + 5^2 = 15 + 25 = 40$ м

Результаты совпадают.

Ответ: Мотоциклисты встретятся дважды: первый раз через 3 с после начала движения в точке с координатой 24 м, второй раз — через 5 с в точке с координатой 40 м.

89. Частота обращения ветроколеса ветродвигателя 30 об/мин, якоря электродвигателя — 1500 об/мин, барабана сепаратора — 8400 об/мин, шпинделя шлифовального станка — 96 000 об/мин. Вычислить их периоды.

Дано:

Частота обращения ветроколеса ветродвигателя $n_1 = 30$ об/мин
Частота обращения якоря электродвигателя $n_2 = 1500$ об/мин
Частота обращения барабана сепаратора $n_3 = 8400$ об/мин
Частота обращения шпинделя шлифовального станка $n_4 = 96000$ об/мин

Перевод данных в систему СИ:
Частоту необходимо выразить в оборотах в секунду (Гц). Для этого значения в об/мин делим на 60.
$\nu_1 = \frac{30}{60} = 0.5$ Гц
$\nu_2 = \frac{1500}{60} = 25$ Гц
$\nu_3 = \frac{8400}{60} = 140$ Гц
$\nu_4 = \frac{96000}{60} = 1600$ Гц

Найти:

Периоды обращения $T_1, T_2, T_3, T_4$.

Решение:

Период обращения $T$ — это время, за которое совершается один полный оборот. Он связан с частотой обращения $\nu$ (количество оборотов в секунду) следующей формулой:

$T = \frac{1}{\nu}$

Вычислим периоды для каждого объекта, используя их частоты в Гц.

Ветроколесо ветродвигателя
Частота вращения $\nu_1 = 0.5$ Гц.
$T_1 = \frac{1}{\nu_1} = \frac{1}{0.5 \text{ Гц}} = 2$ с.

Ответ: 2 с.

Якорь электродвигателя
Частота вращения $\nu_2 = 25$ Гц.
$T_2 = \frac{1}{\nu_2} = \frac{1}{25 \text{ Гц}} = 0.04$ с.

Ответ: 0.04 с.

Барабан сепаратора
Частота вращения $\nu_3 = 140$ Гц.
$T_3 = \frac{1}{\nu_3} = \frac{1}{140 \text{ Гц}} \approx 0.00714$ с.

Ответ: $\approx 0.00714$ с.

Шпиндель шлифовального станка
Частота вращения $\nu_4 = 1600$ Гц.
$T_4 = \frac{1}{\nu_4} = \frac{1}{1600 \text{ Гц}} = 0.000625$ с.

Ответ: 0.000625 с.

90. Найти частоту обращения Луны вокруг Земли (см. табл. 14).

Дано:

В задаче указано обратиться к табличным данным (табл. 14). Используем стандартное справочное значение для сидерического периода обращения Луны вокруг Земли:

$T = 27.3 \text{ суток}$

Найти:

$\nu$ — частоту обращения Луны вокруг Земли.

Решение:

Частота обращения $\nu$ — это физическая величина, которая показывает, сколько полных оборотов совершает тело за единицу времени. Она связана с периодом обращения $T$ (временем одного полного оборота) обратной зависимостью.

Формула для нахождения частоты через период:

$\nu = \frac{1}{T}$

Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является Герц (Гц), где $1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$. Поэтому для расчета необходимо использовать значение периода, выраженное в секундах.

Из раздела "Дано" мы имеем период в секундах:

$T = 2358720 \text{ с}$

Подставим это значение в формулу для расчета частоты:

$\nu = \frac{1}{2358720 \text{ с}} \approx 4.2395 \times 10^{-7} \text{ Гц}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как исходное значение периода дано с тремя значащими цифрами (27.3):

$\nu \approx 4.24 \times 10^{-7} \text{ Гц}$

Ответ: частота обращения Луны вокруг Земли составляет $\nu \approx 4.24 \cdot 10^{-7} \text{ Гц}$.

91. Скорость точек рабочей поверхности наждачного круга диаметром 300 мм не должна превышать 35 м/с. Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя, совершающего 1400 об/мин; 2800 об/мин?

Дано:

Диаметр наждачного круга $D = 300$ мм
Максимально допустимая скорость $v_{max} = 35$ м/с
Частота вращения вала 1: $n_1 = 1400$ об/мин
Частота вращения вала 2: $n_2 = 2800$ об/мин

Переведем единицы в систему СИ:
$D = 300 \text{ мм} = 0.3 \text{ м}$
$n_1 = 1400 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{1400}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} \approx 23.33 \text{ об/с (Гц)}$
$n_2 = 2800 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{2800}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} \approx 46.67 \text{ об/с (Гц)}$

Найти:

Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя для каждой из заданных частот вращения.

Решение:

Чтобы определить, допустима ли установка круга, нужно вычислить линейную скорость точек на его рабочей поверхности (окружности) и сравнить её с максимально допустимым значением $v_{max}$. Линейная скорость $v$ связана с диаметром круга $D$ и частотой его вращения $n$ (в оборотах в секунду) следующей формулой:

$v = \pi \cdot D \cdot n$

Проверим оба случая, заданные в условии задачи.

1400 об/мин

Рассчитаем линейную скорость $v_1$ для частоты вращения $n_1$:

$v_1 = \pi \cdot D \cdot n_1 = \pi \cdot 0.3 \text{ м} \cdot \frac{1400}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 7\pi \text{ м/с} \approx 21.99 \text{ м/с}$

Теперь сравним полученную скорость с максимально допустимой:

$21.99 \text{ м/с} < 35 \text{ м/с}$

Поскольку фактическая скорость точек на поверхности круга меньше предельно допустимой, такая установка является безопасной.

Ответ: посадка круга на вал с частотой вращения 1400 об/мин допустима.

2800 об/мин

Рассчитаем линейную скорость $v_2$ для частоты вращения $n_2$:

$v_2 = \pi \cdot D \cdot n_2 = \pi \cdot 0.3 \text{ м} \cdot \frac{2800}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 14\pi \text{ м/с} \approx 43.98 \text{ м/с}$

Теперь сравним полученную скорость с максимально допустимой:

$43.98 \text{ м/с} > 35 \text{ м/с}$

Поскольку фактическая скорость точек на поверхности круга превышает предельно допустимую, такая установка опасна и может привести к разрушению наждачного круга.

Ответ: посадка круга на вал с частотой вращения 2800 об/мин недопустима.

92. Частота обращения воздушного винта самолёта 1500 об/мин. Сколько оборотов делает винт на пути 90 км при скорости полёта 180 км/ч?

Дано:

Частота обращения винта, $n = 1500$ об/мин
Путь, $S = 90$ км
Скорость полета, $v = 180$ км/ч

$n = 1500 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{1500}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 25 \text{ с}^{-1}$
$S = 90 \text{ км} = 90 \cdot 1000 \text{ м} = 90000 \text{ м}$
$v = 180 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{180 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 50 \text{ м/с}$

Найти:

$N$

Решение:

Для решения задачи необходимо сначала найти время, которое самолет затратил на преодоление указанного пути. Зная путь $S$ и скорость $v$, время полета $t$ можно рассчитать по формуле:

$t = \frac{S}{v}$

Подставим в формулу значения, переведенные в систему СИ. Скорость самолета составляет 50 м/с, а расстояние — 90000 м.

$t = \frac{90000 \text{ м}}{50 \text{ м/с}} = 1800 \text{ с}$

Таким образом, полет длился 1800 секунд.

Теперь, зная общее время полета $t$ и частоту обращения винта $n$ (количество оборотов в секунду), мы можем найти общее количество оборотов $N$. Для этого нужно умножить частоту на время полета:

$N = n \cdot t$

Частота обращения винта в СИ составляет 25 оборотов в секунду ( $25 \text{ с}^{-1}$ ). Подставим вычисленное время и заданную частоту в формулу:

$N = 25 \text{ с}^{-1} \cdot 1800 \text{ с} = 45000$

Следовательно, воздушный винт самолета совершит 45000 оборотов на пути в 90 км.

Ответ: винт сделает 45000 оборотов.

93. Период обращения платформы карусельного станка 4 с. Найти скорость крайних точек платформы, удаленных от оси вращения на 2 м.

Дано:

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Решение:

Линейная скорость точки, равномерно движущейся по окружности, определяется как отношение пути, пройденного точкой, ко времени движения. За время, равное одному периоду обращения $T$, точка проходит путь, равный длине окружности $L$.

Длина окружности вычисляется по формуле: $L = 2\pi R$

Таким образом, формула для вычисления линейной скорости $v$ имеет вид: $v = \frac{L}{T} = \frac{2\pi R}{T}$

Подставим в формулу значения из условия задачи: $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot 2 \text{ м}}{4 \text{ с}} = \frac{4\pi}{4} \text{ м/с} = \pi \text{ м/с}$

Для получения численного ответа, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$: $v \approx 3,14 \text{ м/с}$

Ответ: скорость крайних точек платформы равна $\pi$ м/с, что приблизительно составляет 3,14 м/с.

94. Диаметр передних колёс трактора в 2 раза меньше, чем задних. Сравнить частоты обращения колёс при движении трактора.

Дано:

Пусть $d_1$ — диаметр передних колёс, а $d_2$ — диаметр задних колёс.
Из условия задачи: $d_2 = 2d_1$.

Найти:

Сравнить частоты обращения передних ($ \nu_1 $) и задних ($ \nu_2 $) колёс, то есть найти отношение $ \frac{\nu_1}{\nu_2} $.

Решение:

Когда трактор движется, его передние и задние колёса проходят одинаковый путь за одинаковое время. Это означает, что их линейные скорости одинаковы. Обозначим эту скорость как $v$.

Линейная скорость точки на ободе колеса (и, следовательно, скорость центра колеса при движении без проскальзывания) связана с частотой его вращения $ \nu $ и диаметром $d$ по формуле:

$v = \pi \nu d$

Эту формулу можно получить из связи линейной и угловой скорости $v = \omega R$, где угловая скорость $ \omega = 2\pi\nu $, а радиус $R = d/2$. Тогда $v = (2\pi\nu) \cdot \frac{d}{2} = \pi \nu d$.

Запишем уравнения для линейной скорости передних и задних колёс:

Для передних колёс: $v_1 = \pi \nu_1 d_1$

Для задних колёс: $v_2 = \pi \nu_2 d_2$

Так как линейные скорости равны ($v_1 = v_2 = v$), мы можем приравнять правые части этих выражений:

$\pi \nu_1 d_1 = \pi \nu_2 d_2$

Сократив на $ \pi $, получим:

$\nu_1 d_1 = \nu_2 d_2$

Теперь мы можем найти отношение частот:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{d_2}{d_1}$

Подставим в это соотношение условие из дано ($d_2 = 2d_1$):

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{2d_1}{d_1} = 2$

Таким образом, $\nu_1 = 2\nu_2$. Это означает, что за то время, пока заднее колесо совершает один оборот, переднее колесо успевает совершить два оборота.

Ответ: частота обращения передних колёс в 2 раза больше, чем частота обращения задних колёс.

95. Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше
радиуса вала, на который наматывается трос. Какова линей-
ная скорость конца рукоятки при поднятии ведра с глубины
10 м за 20 с?

Дано:

Соотношение радиусов $R = 3r$, где $R$ - радиус рукоятки, $r$ - радиус вала.
Глубина (путь) $h = 10$ м.
Время $t = 20$ с.

Найти:

Линейная скорость конца рукоятки $v_R$ - ?

Решение:

При поднятии ведра трос наматывается на вал. Линейная скорость движения троса (и ведра) равна линейной скорости точек на поверхности вала. Найдем эту скорость, обозначив ее $v_r$:

$v_r = \frac{h}{t} = \frac{10 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 0.5$ м/с.

Рукоятка и вал вращаются как единое целое, поэтому их угловая скорость $\omega$ одинакова. Связь между линейной и угловой скоростью для точек на валу:

$v_r = \omega \cdot r$

Связь между линейной и угловой скоростью для конца рукоятки:

$v_R = \omega \cdot R$

Выразим угловую скорость из первого уравнения и подставим во второе:

$\omega = \frac{v_r}{r}$

$v_R = \frac{v_r}{r} \cdot R$

По условию задачи, радиус рукоятки в 3 раза больше радиуса вала, то есть $R = 3r$. Подставим это соотношение в формулу:

$v_R = \frac{v_r}{r} \cdot (3r) = 3 \cdot v_r$

Теперь вычислим искомую скорость:

$v_R = 3 \cdot 0.5 \text{ м/с} = 1.5$ м/с.

Ответ: линейная скорость конца рукоятки равна 1,5 м/с.

96. С какой скоростью и в каком направлении должен лететь самолёт по шестидесятой параллели, чтобы прибыть в пункт назначения раньше (по местному времени), чем он вылетел из пункта отправления? Возможно ли это для современных пассажирских самолётов?

С какой скоростью и в каком направлении должен лететь самолёт по шестидесятой параллели, чтобы прибыть в пункт назначения раньше (по местному времени), чем он вылетел из пункта отправления?

Чтобы местное время в пункте прибытия было раньше, чем в пункте отправления, самолёт должен "обгонять" суточное вращение Земли. Поскольку Земля вращается с запада на восток, самолёт должен лететь в противоположном направлении, то есть на запад.

Скорость самолёта относительно Земли должна быть больше линейной скорости вращения самой Земли на данной широте. Рассчитаем эту пороговую скорость.

Широта $\phi = 60^\circ$
Средний радиус Земли $R_З \approx 6371$ км
Период вращения Земли $T = 24$ ч

Минимальную скорость самолёта $v_{сам}$ относительно Земли.

Радиус вращения для точки на 60-й параллели равен $r = R_З \cos\phi$.

Линейная скорость вращения точки на этой параллели $v_З$ определяется по формуле: $$ v_З = \frac{2 \pi r}{T} = \frac{2 \pi R_З \cos\phi}{T} $$

Подставим числовые значения, зная, что $\cos(60^\circ) = 0.5$: $$ v_З = \frac{2 \pi \cdot (6.371 \times 10^6 \text{ м}) \cdot 0.5}{86400 \text{ с}} \approx 231.7 \text{ м/с} $$

Переведём эту скорость в километры в час: $$ v_З \approx 231.7 \text{ м/с} \cdot 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} \approx 834 \text{ км/ч} $$

Чтобы прибыть "раньше", скорость самолёта $v_{сам}$ относительно земли должна быть больше этой величины: $v_{сам} > v_З$.

Ответ: Самолёт должен лететь на запад со скоростью более 834 км/ч.

Возможно ли это для современных пассажирских самолётов?

Да, это возможно. Крейсерская скорость современных пассажирских самолётов (например, Boeing 787, Airbus A350) составляет около 900–950 км/ч. Эта скорость превышает рассчитанную пороговую скорость в 834 км/ч.

Таким образом, при полёте в западном направлении вдоль 60-й параллели современный лайнер будет "обгонять" смену часовых поясов и приземлится в пункте назначения в более раннее местное время, чем то, в которое он вылетел. Ярким историческим примером был сверхзвуковой "Конкорд", который, летая на запад со скоростью свыше 2000 км/ч, позволял прибыть из Европы в Америку за несколько часов до времени вылета по местным часам.

Ответ: Да, это возможно.

97. Первая в мире орбитальная космическая станция, образованная в результате стыковки космических кораблей «Союз-4» и «Союз-5» 16 января 1969 г., имела период обращения 88,85 мин и среднюю высоту над поверхностью Земли 230 км (считая орбиту круговой). Найти среднюю скорость движения станции.

97. Дано:

Период обращения $T = 88.85 \text{ мин}$

Средняя высота над поверхностью Земли $h = 230 \text{ км}$

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$ (справочное значение)

Перевод всех данных в систему СИ:

$T = 88.85 \cdot 60 \text{ с} = 5331 \text{ с}$

$h = 230 \text{ км} = 230 \cdot 10^3 \text{ м} = 2.3 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R_З \approx 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Среднюю скорость движения станции $v$.

Решение:

Движение космической станции по орбите можно считать равномерным движением по окружности. Средняя скорость при таком движении определяется как отношение длины орбиты $L$ ко времени одного полного оборота, то есть к периоду обращения $T$.

Формула для вычисления скорости:

$v = \frac{L}{T}$

Длина круговой орбиты $L$ — это длина окружности, которая вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ — радиус орбиты.

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты станции над поверхностью Земли $h$:

$r = R_З + h$

Объединив формулы, получим выражение для расчета средней скорости станции:

$v = \frac{2\pi(R_З + h)}{T}$

Вычислим радиус орбиты станции в метрах:

$r = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.23 \cdot 10^6 \text{ м} = 6.63 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь подставим все известные значения в итоговую формулу и вычислим скорость (примем $\pi \approx 3.14159$):

$v = \frac{2 \cdot 3.14159 \cdot 6.63 \cdot 10^6 \text{ м}}{5331 \text{ с}} \approx \frac{41657306 \text{ м}}{5331 \text{ с}} \approx 7814 \text{ м/с}$

Для удобства восприятия переведем результат в километры в секунду:

$7814 \text{ м/с} = 7.814 \text{ км/с}$

Округлим значение до сотых.

Ответ: средняя скорость движения станции составляет примерно $7.81 \text{ км/с}$.