Страница 24 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

128. Указать и сравнить силы, действующие на шарик в следующих случаях:

а) шарик лежит на горизонтальном столе;

б) шарик получает толчок от руки;

в) шарик катится по столу;

г) шарик летит со стола.

а) шарик лежит на горизонтальном столе
В этом случае на шарик действуют две силы. Во-первых, это сила тяжести ($F_g$), которая всегда направлена вертикально вниз к центру Земли. Её величина равна $F_g = mg$, где $m$ – масса шарика, а $g$ – ускорение свободного падения. Во-вторых, это сила нормальной реакции опоры ($N$), с которой стол действует на шарик. Эта сила направлена перпендикулярно поверхности стола, то есть вертикально вверх.
Поскольку шарик находится в состоянии покоя, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. Силы, действующие по вертикали, уравновешивают друг друга. Следовательно, сила нормальной реакции опоры равна по модулю силе тяжести и противоположна ей по направлению.
Сравнение сил: $N = F_g$.

Ответ: На шарик действуют две скомпенсированные силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и равная ей по модулю сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вверх.

б) шарик получает толчок от руки
В момент толчка к силам из предыдущего пункта добавляются еще две. По-прежнему действуют сила тяжести ($F_g$) вниз и сила нормальной реакции опоры ($N$) вверх. В горизонтальном направлении появляется толкающая сила руки ($F_{hand}$), направленная в сторону будущего движения, и сила трения ($F_{fr}$), направленная в противоположную сторону. Сила трения возникает из-за взаимодействия шарика с поверхностью стола.
Сравнение сил: В вертикальном направлении шарик не движется, значит, силы по-прежнему скомпенсированы: $N = F_g$. В горизонтальном направлении шарик начинает двигаться с ускорением, а это значит, что силы не скомпенсированы. Согласно второму закону Ньютона, толкающая сила руки должна быть больше силы трения: $F_{hand} > F_{fr}$. Равнодействующая этих сил $F_{net} = F_{hand} - F_{fr}$ сообщает шарику ускорение. Сила толчка, как правило, является значительной по величине, но действует очень короткое время.

Ответ: На шарик действуют четыре силы: сила тяжести $F_g$ и сила нормальной реакции опоры $N$ (равны по модулю и направлены противоположно), а также толкающая сила руки $F_{hand}$ и сила трения $F_{fr}$ (направлены противоположно). Сила толчка больше силы трения: $F_{hand} > F_{fr}$.

в) шарик катится по столу
После того как рука прекратила контакт с шариком, толкающая сила $F_{hand}$ больше не действует. На катящийся шарик действуют: сила тяжести ($F_g$) вниз, сила нормальной реакции опоры ($N$) вверх и сила трения качения ($F_{fr, roll}$) в горизонтальном направлении. Сила трения качения всегда направлена против движения и заставляет шарик замедляться. Также можно учесть силу сопротивления воздуха, которая тоже направлена против движения, но в большинстве случаев она пренебрежимо мала по сравнению с силой трения качения.
Сравнение сил: В вертикальном направлении силы скомпенсированы: $N = F_g$. В горизонтальном направлении действует только сила трения качения (если пренебречь сопротивлением воздуха). Эта сила не скомпенсирована и является причиной отрицательного ускорения (замедления) шарика. Сила трения качения обычно очень мала по сравнению с силой тяжести: $F_{fr, roll} \ll F_g$.

Ответ: На шарик действуют сила тяжести $F_g$ и сила нормальной реакции опоры $N$ (они скомпенсированы), а также сила трения качения $F_{fr, roll}$, направленная против движения и вызывающая замедление шарика.

г) шарик летит со стола
Когда шарик покинул стол, он находится в свободном полете. Сила нормальной реакции опоры и сила трения больше не действуют. Основной силой, действующей на шарик, является сила тяжести ($F_g$), направленная вертикально вниз. Кроме того, на шарик действует сила сопротивления воздуха ($F_{air}$), направленная против вектора его скорости.
Сравнение сил: В задачах по школьной физике силой сопротивления воздуха часто пренебрегают. В этом случае единственной силой, действующей на шарик, является сила тяжести $F_g$. Именно она заставляет шарик двигаться по параболической траектории. Если же учитывать сопротивление воздуха, то на шарик действуют две силы: $F_g$ и $F_{air}$. Сила тяжести постоянна, а сила сопротивления воздуха зависит от скорости шарика и формы его поверхности. В общем случае $F_g$ и $F_{air}$ не равны и не направлены по одной прямой (за исключением вертикального падения), их векторная сумма является равнодействующей силой.

Ответ: Если пренебречь сопротивлением воздуха, на шарик действует только одна сила — сила тяжести $F_g$. Если учесть сопротивление воздуха, то на шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g$ и сила сопротивления воздуха $F_{air}$.

129. Человек стоит в лифте. Указать и сравнить силы, действующие на человека в следующих случаях:

а) лифт неподвижен;

б) лифт начинает движение вверх;

в) лифт движется равномерно;

г) лифт замедляет движение до остановки.

На человека, стоящего в лифте, в любой момент времени действуют две силы:

• Сила тяжести ($\vec{F_т}$) — направлена вертикально вниз. Ее модуль постоянен и равен $F_т = mg$, где $m$ — масса человека, а $g$ — ускорение свободного падения.
• Сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) — сила, с которой пол лифта действует на человека. Она направлена вертикально вверх. Ее модуль (который и называют весом человека) может изменяться.

Для сравнения этих сил воспользуемся вторым законом Ньютона. В векторной форме он записывается как $m\vec{a} = \vec{F_т} + \vec{N}$.

Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Тогда в проекции на эту ось закон Ньютона примет вид: $ma = N - F_т$.

Отсюда можно выразить силу реакции опоры: $N = F_т + ma = mg + ma = m(g + a)$, где $a$ — проекция ускорения лифта на ось OY.

а) лифт неподвижен

Если лифт неподвижен, его скорость и ускорение равны нулю, $a = 0$.

Тогда сила реакции опоры равна:

$N = m(g + 0) = mg$

В этом случае сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести.

Ответ: На человека действуют направленная вниз сила тяжести $\vec{F_т}$ и направленная вверх сила реакции опоры $\vec{N}$. Их модули равны: $N = F_т$.

б) лифт начинает движение вверх

Когда лифт начинает движение вверх, он движется с ускорением, направленным вверх. Следовательно, проекция ускорения на ось OY положительна: $a > 0$.

Сила реакции опоры будет:

$N = m(g + a)$

Так как $a > 0$, то $N > mg$. Человек испытывает перегрузку.

Ответ: На человека действуют сила тяжести $\vec{F_т}$ (вниз) и сила реакции опоры $\vec{N}$ (вверх). Модуль силы реакции опоры больше модуля силы тяжести: $N > F_т$.

в) лифт движется равномерно

Равномерное движение означает, что скорость лифта постоянна, а ускорение равно нулю: $a = 0$. Это справедливо как для движения вверх, так и для движения вниз с постоянной скоростью.

Сила реакции опоры равна:

$N = m(g + 0) = mg$

Ситуация идентична случаю, когда лифт неподвижен.

Ответ: На человека действуют сила тяжести $\vec{F_т}$ (вниз) и сила реакции опоры $\vec{N}$ (вверх). Их модули равны: $N = F_т$.

г) лифт замедляет движение до остановки

Рассмотрим случай, когда лифт двигался вверх и замедляет движение перед остановкой. Вектор скорости направлен вверх, а вектор ускорения — в противоположную сторону, то есть вниз. Следовательно, проекция ускорения на ось OY отрицательна: $a < 0$.

Сила реакции опоры будет:

$N = m(g + a)$

Поскольку $a$ — отрицательная величина, то $N < mg$. Человек испытывает состояние, близкое к невесомости.

Ответ: На человека действуют сила тяжести $\vec{F_т}$ (вниз) и сила реакции опоры $\vec{N}$ (вверх). Модуль силы реакции опоры меньше модуля силы тяжести: $N < F_т$.

130. Указать и сравнить силы, действующие на автомобиль, когда он:

а) стоит неподвижно на горизонтальном участке дороги;

б) трогается с места;

в) движется равномерно и прямолинейно по горизонтальному участку;

г) двигаясь равномерно, проходит середину выпуклого моста;

д) двигаясь равномерно, поворачивает;

е) тормозит на горизонтальной дороге.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на автомобиль в каждом из случаев, и сравним их. Основные силы, которые могут действовать на автомобиль, это: сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$, сила тяги двигателя $\vec{F}_{тяги}$ и сила сопротивления движению $\vec{F}_{сопр}$ (которая включает в себя силу трения качения и сопротивление воздуха) или сила трения покоя $\vec{F}_{тр. покоя}$.

а) стоит неподвижно на горизонтальном участке дороги

Когда автомобиль стоит неподвижно, его ускорение равно нулю ($\vec{a}=0$). Согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, равна нулю.
В вертикальном направлении на автомобиль действуют сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вниз, и сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вверх. Так как нет вертикального движения, эти силы уравновешивают друг друга: $N = mg$
В горизонтальном направлении сила тяги и сила трения покоя равны нулю, так как автомобиль не пытается двигаться.

Ответ: На автомобиль действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению ($N = mg$). Сила тяги и сила трения равны нулю.

б) трогается с места

Когда автомобиль трогается с места, он движется с ускорением $\vec{a}$, направленным в сторону движения. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна $m\vec{a}$.
В вертикальном направлении силы по-прежнему скомпенсированы, так как движение происходит по горизонтальной дороге: $N = mg$
В горизонтальном направлении действует сила тяги двигателя $\vec{F}_{тяги}$ и сила сопротивления $\vec{F}_{сопр}$ (в начальный момент это в основном сила трения качения). Чтобы автомобиль ускорялся, сила тяги должна быть больше силы сопротивления: $F_{тяги} - F_{сопр} = ma$ Следовательно, $F_{тяги} > F_{сопр}$.

Ответ: В вертикальном направлении сила реакции опоры $\vec{N}$ равна силе тяжести $m\vec{g}$. В горизонтальном направлении сила тяги $\vec{F}_{тяги}$ больше силы сопротивления $\vec{F}_{сопр}$.

в) движется равномерно и прямолинейно по горизонтальному участку

При равномерном и прямолинейном движении ускорение автомобиля равно нулю ($\vec{a}=0$). Согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил равна нулю.
В вертикальном направлении: $N = mg$
В горизонтальном направлении сила тяги $\vec{F}_{тяги}$ уравновешивается силой сопротивления $\vec{F}_{сопр}$ (трение качения плюс сопротивление воздуха): $F_{тяги} - F_{сопр} = 0$ Следовательно, $F_{тяги} = F_{сопр}$.

Ответ: В вертикальном направлении сила реакции опоры $\vec{N}$ равна силе тяжести $m\vec{g}$. В горизонтальном направлении сила тяги $\vec{F}_{тяги}$ равна силе сопротивления $\vec{F}_{сопр}$.

г) двигаясь равномерно, проходит середину выпуклого моста

При движении по выпуклому мосту автомобиль движется по дуге окружности. Несмотря на то, что скорость постоянна по модулю ($v = \text{const}$), есть центростремительное ускорение $\vec{a}_{ц}$, направленное к центру кривизны, то есть вертикально вниз. Его модуль равен $a_{ц} = \frac{v^2}{R}$, где $v$ – скорость, а $R$ – радиус кривизны моста.
Запишем второй закон Ньютона для вертикальной оси, направленной вверх: $N - mg = -ma_{ц}$ $N = mg - ma_{ц} = mg - \frac{mv^2}{R}$ Таким образом, сила реакции опоры меньше силы тяжести.
В горизонтальном направлении движение равномерное (скорость по модулю постоянна), поэтому сила тяги равна силе сопротивления: $F_{тяги} = F_{сопр}$.

Ответ: Сила реакции опоры $\vec{N}$ меньше силы тяжести $m\vec{g}$ ($N < mg$). Сила тяги $\vec{F}_{тяги}$ равна силе сопротивления $\vec{F}_{сопр}$.

д) двигаясь равномерно, поворачивает

При повороте с постоянной скоростью на горизонтальной дороге автомобиль движется с центростремительным ускорением $\vec{a}_{ц}$, направленным горизонтально к центру поворота.
В вертикальном направлении силы скомпенсированы: $N = mg$
В направлении движения (тангенциальном) ускорение равно нулю, так как скорость постоянна. Поэтому сила тяги уравновешена силой сопротивления: $F_{тяги} = F_{сопр}$
В радиальном направлении (к центру поворота) равнодействующая сила не равна нулю. Она создается боковой силой трения покоя $\vec{F}_{тр.ц}$ между шинами и дорогой и обеспечивает центростремительное ускорение: $F_{тр.ц} = ma_{ц} = \frac{mv^2}{R}$ Эта сила направлена перпендикулярно скорости автомобиля.

Ответ: В вертикальном направлении $N = mg$. Вдоль направления движения $F_{тяги} = F_{сопр}$. Перпендикулярно направлению движения (к центру поворота) действует сила трения $F_{тр.ц} = \frac{mv^2}{R}$, которая является равнодействующей силой в этом направлении.

е) тормозит на горизонтальной дороге

При торможении автомобиль движется с ускорением $\vec{a}$, направленным против скорости (замедление).
В вертикальном направлении силы скомпенсированы: $N = mg$
В горизонтальном направлении на автомобиль действует сила торможения $\vec{F}_{торм}$ (создаваемая тормозными механизмами) и сила сопротивления $\vec{F}_{сопр}$. Обе направлены против движения. Сила тяги обычно равна нулю ($F_{тяги}=0$). Равнодействующая этих сил создает отрицательное ускорение: $F_{торм} + F_{сопр} = ma$ (где $a$ – модуль ускорения). Равнодействующая всех сил в горизонтальном направлении направлена против движения.

Ответ: В вертикальном направлении $N = mg$. В горизонтальном направлении действует суммарная тормозящая сила (сила, создаваемая тормозами, плюс сила сопротивления), направленная против движения. Сила тяги равна нулю. Равнодействующая всех сил направлена против движения.

131. На рисунке 23 показаны силы, действующие на самолёт, и направление вектора скорости в некоторый момент времени ($ \vec{F} $ — сила тяги, $ \vec{F_c} $ — сила лобового сопротивления, $ \vec{F_T} $ — сила тяжести, $ \vec{F_п} $ — подъёмная сила). Как движется самолёт, если:

а) $ F_T = F_п, F = F_c $;

б) $ F_T = F_п, F > F_c $;

в) $ F_T > F_п, F = F_c $;

г) $ F_T < F_п, F = F_c $?

Рис. 23

а)В данном случае силы, действующие на самолет, попарно скомпенсированы. Сила тяжести $F_т$ уравновешена подъемной силой $F_п$, а сила тяги $F$ уравновешена силой лобового сопротивления $F_c$. Это означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к самолету, равна нулю ($\vec{F}_{равн} = 0$). Согласно первому закону Ньютона, если на тело не действуют силы или их действие скомпенсировано, тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно. Так как по условию самолет уже имеет начальную скорость $\vec{v}$, он будет продолжать движение с этой же постоянной скоростью.

Ответ: Самолет движется горизонтально, прямолинейно и равномерно.

б)В этом случае вертикальные силы скомпенсированы ($F_т = F_п$), поэтому движение в вертикальном направлении отсутствует, самолет летит на постоянной высоте. Однако в горизонтальном направлении сила тяги $F$ больше силы сопротивления $F_c$ ($F > F_c$). Это создает ненулевую равнодействующую силу, направленную в сторону движения самолета. Согласно второму закону Ньютона ($\vec{F} = m\vec{a}$), эта сила сообщает самолету ускорение, сонаправленное с его скоростью. В результате скорость самолета будет увеличиваться.

Ответ: Самолет движется горизонтально, прямолинейно с возрастающей скоростью (равноускоренно).

в)Здесь горизонтальные силы скомпенсированы ($F = F_c$), следовательно, горизонтальная составляющая скорости самолета остается постоянной. В вертикальном направлении сила тяжести $F_т$ больше подъемной силы $F_п$ ($F_т > F_п$). Равнодействующая вертикальных сил направлена вниз, что создает ускорение, направленное вертикально вниз. В результате самолет будет терять высоту, двигаясь по криволинейной траектории.

Ответ: Самолет снижается, двигаясь с постоянной горизонтальной скоростью.

г)В последнем случае горизонтальные силы также скомпенсированы ($F = F_c$), поэтому горизонтальная скорость самолета не изменяется. В вертикальном направлении подъемная сила $F_п$ больше силы тяжести $F_т$ ($F_п > F_т$). Это означает, что равнодействующая вертикальных сил направлена вверх. Эта сила сообщает самолету ускорение, направленное вертикально вверх, в результате чего самолет начинает набирать высоту.

Ответ: Самолет набирает высоту, двигаясь с постоянной горизонтальной скоростью.

132. При каком соотношении сил, действующих на пузырёк воздуха, поднимающийся со дна водоёма, движение пузырька становится равномерным?

Рис. 23

Решение

Рассмотрим силы, действующие на пузырёк воздуха, который поднимается со дна водоёма. На него действуют три основные силы:

1. Сила тяжести ($F_{тяж}$), которая направлена вертикально вниз. Она равна произведению массы воздуха в пузырьке на ускорение свободного падения.

2. Выталкивающая сила (сила Архимеда) ($F_{А}$), которая направлена вертикально вверх. По закону Архимеда, она равна весу воды в объёме пузырька.

3. Сила сопротивления ($F_{сопр}$), которая возникает при движении тела в жидкости или газе. Эта сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению скорости. Так как пузырёк поднимается вверх, сила сопротивления направлена вниз.

Согласно первому закону Ньютона, тело движется равномерно (то есть с постоянной скоростью, $v = \text{const}$), если векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. Это условие равновесия сил.

Запишем это условие в векторной форме:

$\vec{F}_А + \vec{F}_{тяж} + \vec{F}_{сопр} = 0$

Для нахождения соотношения между модулями сил, выберем вертикальную ось OY, направленную вверх. Спроецируем на неё все силы. Сила Архимеда будет иметь положительную проекцию, а сила тяжести и сила сопротивления — отрицательные.

$F_А - F_{тяж} - F_{сопр} = 0$

Из этого уравнения получаем искомое соотношение сил:

$F_А = F_{тяж} + F_{сопр}$

Таким образом, движение пузырька воздуха в воде становится равномерным, когда выталкивающая сила, действующая на него, уравновешивает сумму силы тяжести и силы сопротивления воды.

Ответ: Движение пузырька становится равномерным, когда равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю. Это происходит при условии, что выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вверх, становится равной по модулю сумме силы тяжести и силы сопротивления среды, направленных вниз. Математически это выражается формулой $F_А = F_{тяж} + F_{сопр}$.

133. Может ли равнодействующая двух сил $10 \text{ H}$ и $14 \text{ H}$, приложенных к одной точке, быть равной $2 \text{ H}, 4 \text{ H}, 10 \text{ H}, 24 \text{ H}, 30 \text{ H}$?

Дано:

Найти:

Может ли равнодействующая двух сил быть равной каждому из предложенных значений?

Решение:

Равнодействующая двух сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, приложенных к одной точке, является их векторной суммой $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$. Модуль равнодействующей силы зависит от угла $\alpha$ между векторами сил и находится по теореме косинусов:

$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(\alpha)}$

Модуль равнодействующей силы имеет минимальное и максимальное значения, которые определяют диапазон возможных значений.

1. Максимальное значение равнодействующей $R_{max}$ достигается, когда силы направлены в одну сторону (сонаправлены), то есть угол между ними $\alpha = 0^\circ$, и $\cos(0^\circ) = 1$. В этом случае силы просто складываются:

$R_{max} = F_1 + F_2 = 10 \text{ Н} + 14 \text{ Н} = 24 \text{ Н}$

2. Минимальное значение равнодействующей $R_{min}$ достигается, когда силы направлены в противоположные стороны, то есть угол между ними $\alpha = 180^\circ$, и $\cos(180^\circ) = -1$. В этом случае модуль равнодействующей равен модулю разности сил:

$R_{min} = |F_2 - F_1| = |14 \text{ Н} - 10 \text{ Н}| = 4 \text{ Н}$

Следовательно, модуль равнодействующей силы $R$ может принимать любые значения в диапазоне от $R_{min}$ до $R_{max}$ включительно:

$4 \text{ Н} \leq R \leq 24 \text{ Н}$

Теперь проверим каждое из предложенных значений.

2 Н

Значение 2 Н меньше минимально возможного значения равнодействующей: $2 \text{ Н} < 4 \text{ Н}$.

Ответ: не может.

4 Н

Значение 4 Н равно минимально возможному значению: $4 \text{ Н} = R_{min}$. Это возможно, если силы направлены в противоположные стороны.

Ответ: может.

10 Н

Значение 10 Н находится в допустимом диапазоне: $4 \text{ Н} \leq 10 \text{ Н} \leq 24 \text{ Н}$.

Ответ: может.

24 Н

Значение 24 Н равно максимально возможному значению: $24 \text{ Н} = R_{max}$. Это возможно, если силы сонаправлены.

Ответ: может.

30 Н

Значение 30 Н больше максимально возможного значения равнодействующей: $30 \text{ Н} > 24 \text{ Н}$.

Ответ: не может.

134. Может ли равнодействующая трёх равных по модулю сил, приложенных к одной точке, быть равной нулю?

Решение

Да, может. Равнодействующая нескольких сил, приложенных к одной точке, равна нулю, если векторы этих сил, сложенные по правилу многоугольника (когда начало каждого следующего вектора совмещается с концом предыдущего), образуют замкнутую фигуру.

В случае трёх равных по модулю сил $ |\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = |\vec{F}_3| = F $, их векторы должны образовать замкнутый треугольник. Поскольку длины векторов (модули сил) равны, этот треугольник будет равносторонним.

Для того чтобы три вектора равной длины, отложенные из одной точки, в сумме давали ноль, они должны лежать в одной плоскости, а углы между ними должны составлять 120°.

Проверим это аналитически. Пусть сила $ \vec{F}_1 $ направлена вдоль оси Ox. Тогда её проекции: $ F_{1x} = F $, $ F_{1y} = 0 $.

Сила $ \vec{F}_2 $ направлена под углом $ 120^\circ $ к силе $ \vec{F}_1 $. Её проекции: $ F_{2x} = F \cos(120^\circ) = -F/2 $, $ F_{2y} = F \sin(120^\circ) = F\sqrt{3}/2 $.

Сила $ \vec{F}_3 $ направлена под углом $ 240^\circ $ к силе $ \vec{F}_1 $ (или $ -120^\circ $). Её проекции: $ F_{3x} = F \cos(240^\circ) = -F/2 $, $ F_{3y} = F \sin(240^\circ) = -F\sqrt{3}/2 $.

Найдем проекции равнодействующей силы $ \vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 $:
$ R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = F - F/2 - F/2 = 0 $
$ R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 + F\sqrt{3}/2 - F\sqrt{3}/2 = 0 $

Поскольку обе проекции равнодействующей силы равны нулю, сама равнодействующая сила равна нулю: $ \vec{R} = \vec{0} $.

Ответ: Да, может, если эти три силы лежат в одной плоскости и направлены под углами 120° друг к другу.

135. Найти равнодействующую трёх сил по 200 Н каждая, если углы между первой и второй силами и между второй и третьей силами равны $60^\circ$.

Дано:

$F_1 = F_2 = F_3 = F = 200 \text{ Н}$
Угол между векторами $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, $\alpha_{12} = 60^\circ$
Угол между векторами $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$, $\alpha_{23} = 60^\circ$

Найти:

Модуль равнодействующей силы $R$.

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой трёх сил: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$. Для нахождения суммы векторов воспользуемся методом проекций. Введём прямоугольную систему координат $OXY$. Для удобства расчетов направим вектор $\vec{F_2}$ вдоль оси $OX$. В этом случае вектор $\vec{F_1}$ будет составлять угол $60^\circ$ с осью $OX$, а вектор $\vec{F_3}$ — угол $-60^\circ$ с той же осью.

Определим проекции каждой силы на оси координат $OX$ и $OY$.

Проекции силы $\vec{F_1}$:
$F_{1x} = F \cdot \cos(60^\circ) = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100 \text{ Н}$
$F_{1y} = F \cdot \sin(60^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3} \text{ Н}$

Проекции силы $\vec{F_2}$:
$F_{2x} = F \cdot \cos(0^\circ) = 200 \cdot 1 = 200 \text{ Н}$
$F_{2y} = F \cdot \sin(0^\circ) = 200 \cdot 0 = 0 \text{ Н}$

Проекции силы $\vec{F_3}$:
$F_{3x} = F \cdot \cos(-60^\circ) = F \cdot \cos(60^\circ) = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100 \text{ Н}$
$F_{3y} = F \cdot \sin(-60^\circ) = -F \cdot \sin(60^\circ) = -200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -100\sqrt{3} \text{ Н}$

Теперь найдем проекции равнодействующей силы $\vec{R}$ на оси координат, сложив соответствующие проекции сил $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$:
$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 100 + 200 + 100 = 400 \text{ Н}$
$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 100\sqrt{3} + 0 - 100\sqrt{3} = 0 \text{ Н}$

Модуль (величина) равнодействующей силы $R$ находится по теореме Пифагора для компонент $R_x$ и $R_y$:
$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{400^2 + 0^2} = \sqrt{160000} = 400 \text{ Н}$.

Поскольку проекция на ось $OY$ равна нулю ($R_y=0$), равнодействующая сила направлена вдоль оси $OX$, то есть в том же направлении, что и сила $\vec{F_2}$.

Ответ: Равнодействующая трёх сил равна 400 Н.

136. На парашютиста массой $90 \text{ кг}$ в начале прыжка действует сила сопротивления воздуха, проекции которой на оси координат $X$ и $Y$ равны $300 \text{ Н}$ и $500 \text{ Н}$. (Ось $Y$ направлена вверх.) Найти равнодействующую всех сил, действующих на парашютиста.

Дано:

масса парашютиста $m = 90$ кг
проекция силы сопротивления воздуха на ось X $F_{сx} = 300$ Н
проекция силы сопротивления воздуха на ось Y $F_{сy} = 500$ Н
ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Равнодействующую всех сил $R$.

Решение:

На парашютиста действуют две основные силы: сила тяжести $\vec{F_g}$ и сила сопротивления воздуха $\vec{F_с}$. Равнодействующая сила $\vec{R}$ является их векторной суммой: $\vec{R} = \vec{F_g} + \vec{F_с}$.

Для нахождения равнодействующей воспользуемся методом проекций на оси координат. Согласно условию, ось Y направлена вертикально вверх, а ось X — горизонтально.

Проекции силы сопротивления воздуха на оси координат даны в условии: $F_{сx} = 300$ Н, $F_{сy} = 500$ Н.

Сила тяжести $\vec{F_g}$ направлена вертикально вниз. Ее модуль вычисляется по формуле $F_g = m \cdot g$: $F_g = 90 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 882 \text{ Н}$.

Найдем проекции силы тяжести на оси координат. Так как сила тяжести перпендикулярна горизонтальной оси X, ее проекция на эту ось равна нулю: $F_{gx} = 0$ Н. Сила тяжести направлена в сторону, противоположную направлению оси Y, поэтому ее проекция на эту ось отрицательна: $F_{gy} = -F_g = -882$ Н.

Теперь найдем проекции равнодействующей силы $\vec{R}$ путем сложения проекций составляющих сил: $R_x = F_{сx} + F_{gx} = 300 \text{ Н} + 0 \text{ Н} = 300 \text{ Н}$ $R_y = F_{сy} + F_{gy} = 500 \text{ Н} + (-882 \text{ Н}) = -382 \text{ Н}$

Модуль равнодействующей силы $R$ найдем по теореме Пифагора, как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются проекции $R_x$ и $R_y$: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ $R = \sqrt{(300 \text{ Н})^2 + (-382 \text{ Н})^2} = \sqrt{90000 + 145924} = \sqrt{235924} \approx 486 \text{ Н}$.

Ответ: равнодействующая всех сил, действующих на парашютиста, равна приблизительно $486$ Н.