Страница 25 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

137. На реактивный самолёт действуют в вертикальном направлении сила тяжести 550 кН и подъёмная сила 555 кН, а в горизонтальном направлении — сила тяги 162 кН и сила сопротивления воздуха 150 кН. Найти модуль и направление равнодействующей.

Дано:

Сила тяжести, $F_{тяж} = 550$ кН

Подъёмная сила, $F_{под} = 555$ кН

Сила тяги, $F_{тяги} = 162$ кН

Сила сопротивления воздуха, $F_{сопр} = 150$ кН

$F_{тяж} = 550 \times 10^3 \text{ Н}$

$F_{под} = 555 \times 10^3 \text{ Н}$

$F_{тяги} = 162 \times 10^3 \text{ Н}$

$F_{сопр} = 150 \times 10^3 \text{ Н}$

Найти:

Модуль равнодействующей силы $R$ - ?

Направление равнодействующей силы $\alpha$ - ?

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ — это векторная сумма всех сил, действующих на самолёт. Для нахождения её модуля и направления воспользуемся методом проекций. Введём прямоугольную систему координат: ось $OX$ направим горизонтально по направлению движения самолёта, а ось $OY$ — вертикально вверх.

Найдём проекцию равнодействующей силы на горизонтальную ось $OX$. Сила тяги направлена по оси $OX$, а сила сопротивления — в противоположную сторону.

$R_x = F_{тяги} - F_{сопр} = 162 \text{ кН} - 150 \text{ кН} = 12 \text{ кН}$

Найдём проекцию равнодействующей силы на вертикальную ось $OY$. Подъёмная сила направлена по оси $OY$, а сила тяжести — в противоположную сторону.

$R_y = F_{под} - F_{тяж} = 555 \text{ кН} - 550 \text{ кН} = 5 \text{ кН}$

Модуль равнодействующей силы $R$ найдём по теореме Пифагора, так как её проекции $R_x$ и $R_y$ являются катетами прямоугольного треугольника, а сам модуль $R$ — гипотенузой.

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$

$R = \sqrt{(12 \text{ кН})^2 + (5 \text{ кН})^2} = \sqrt{144 \text{ кН}^2 + 25 \text{ кН}^2} = \sqrt{169 \text{ кН}^2} = 13 \text{ кН}$

Направление равнодействующей силы определим как угол $\alpha$, который вектор $\vec{R}$ образует с горизонтальной осью $OX$.

$\tan(\alpha) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{5}{12}$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{5}{12}\right) \approx \arctan(0.4167) \approx 22.62^\circ$

Поскольку обе проекции, $R_x$ и $R_y$, положительны, вектор равнодействующей направлен вперёд и вверх под углом к горизонту.

Ответ: модуль равнодействующей силы равен 13 кН; направление — под углом примерно $22.6^\circ$ к горизонту в сторону движения.

138. Нить, на которой висит груз массой 1,6 кг, отводится в новое положение силой 12 Н, действующей в горизонтальном направлении. Найти силу натяжения нити.

Дано:

Масса груза: $m = 1,6$ кг

Горизонтальная сила: $F = 12$ Н

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ Н/кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу натяжения нити: $T$ - ?

Решение:

Когда нить с грузом отводят в новое положение, система приходит в равновесие. Это означает, что груз находится в покое под действием трех сил:

1. Сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз.
2. Горизонтальная сила $\vec{F}$, приложенная к грузу.
3. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.

Согласно первому закону Ньютона, условие равновесия тела означает, что векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F} = 0$

Это векторное уравнение можно спроецировать на оси координат или представить в виде замкнутого треугольника сил. Так как сила тяжести $\vec{F_g}$ и горизонтальная сила $\vec{F}$ взаимно перпендикулярны, они образуют катеты прямоугольного треугольника, а сила натяжения нити $\vec{T}$ является его гипотенузой.

Сначала найдем модуль силы тяжести, действующей на груз:

$F_g = m \cdot g$

$F_g = 1,6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 16 \text{ Н}$

Теперь, по теореме Пифагора, можем найти модуль силы натяжения нити $T$:

$T^2 = F^2 + F_g^2$

$T = \sqrt{F^2 + F_g^2}$

Подставим числовые значения в формулу:

$T = \sqrt{(12 \text{ Н})^2 + (16 \text{ Н})^2} = \sqrt{144 \text{ Н}^2 + 256 \text{ Н}^2} = \sqrt{400 \text{ Н}^2} = 20 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения нити равна 20 Н.

139. Трактор, сила тяги которого на крюке $15 \text{ кН}$, сообщает прицепу ускорение $0,5 \text{ м/с}^2$. Какое ускорение сообщит тому же прицепу трактор, развивающий тяговое усилие $60 \text{ кН}$?

Дано:

$F_1 = 15 \text{ кН} = 15 \cdot 10^3 \text{ Н}$

$a_1 = 0,5 \text{ м/с²}$

$F_2 = 60 \text{ кН} = 60 \cdot 10^3 \text{ Н}$

Найти:

$a_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, сообщаемое этой силой. Формула второго закона Ньютона:

$F = m \cdot a$

В условии задачи сказано, что оба раза трактор тянет один и тот же прицеп, следовательно, масса прицепа ($m$) в обоих случаях одинакова. Будем считать, что сила тяги на крюке — это и есть равнодействующая сила, сообщающая ускорение прицепу (пренебрегаем силами сопротивления).

Запишем уравнения для двух случаев:

1. Для первого случая, когда сила тяги равна $F_1$, а ускорение $a_1$:

$F_1 = m \cdot a_1$

2. Для второго случая, когда сила тяги равна $F_2$, а ускорение $a_2$:

$F_2 = m \cdot a_2$

Поскольку масса прицепа $m$ не изменяется, мы можем выразить ее из первого уравнения и подставить во второе. Из первого уравнения получаем:

$m = \frac{F_1}{a_1}$

Теперь подставим это выражение для массы во второе уравнение:

$F_2 = \left( \frac{F_1}{a_1} \right) \cdot a_2$

Из полученного соотношения выразим искомое ускорение $a_2$:

$a_2 = \frac{F_2 \cdot a_1}{F_1}$

Теперь подставим известные числовые значения в формулу:

$a_2 = \frac{60 \text{ кН} \cdot 0,5 \text{ м/с²}}{15 \text{ кН}}$

Поскольку единицы силы (кН) в числителе и знаменателе сокращаются, можно не переводить их в ньютоны.

$a_2 = \frac{60}{15} \cdot 0,5 \text{ м/с²} = 4 \cdot 0,5 \text{ м/с²} = 2 \text{ м/с²}$

Ответ: ускорение, которое сообщит прицепу второй трактор, равно $2 \text{ м/с²}$.

140. Сила 60 Н сообщает телу ускорение $0.8 \text{ м/с}^2$. Какая сила сообщит этому телу ускорение $2 \text{ м/с}^2$?

Дано:

$F_1 = 60$ Н

$a_1 = 0,8$ м/с²

$a_2 = 2$ м/с²

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

$F_2$ - ?

Решение:

Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона, который гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, сообщаемое этой силой. Математически это выражается формулой:

$F = m \cdot a$

В задаче речь идет об одном и том же теле, следовательно, его масса ($m$) в обоих случаях одинакова.
Сначала найдем массу тела, используя данные для первого случая ($F_1$ и $a_1$).

$m = \frac{F_1}{a_1}$

Подставим числовые значения:

$m = \frac{60 \text{ Н}}{0,8 \text{ м/с²}} = 75$ кг

Теперь, зная массу тела, мы можем вычислить, какая сила ($F_2$) потребуется для сообщения этому телу ускорения $a_2$.

$F_2 = m \cdot a_2$

Подставим найденную массу и значение второго ускорения:

$F_2 = 75 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с²} = 150$ Н

Ответ: 150 Н.

141. Тело массой 4 кг под действием некоторой силы приобрело ускорение $2 \text{ м/с}^2$. Какое ускорение приобретает тело массой 10 кг под действием такой же силы?

Дано:

Масса первого тела: $m_1 = 4$ кг
Ускорение первого тела: $a_1 = 2$ м/с²
Масса второго тела: $m_2 = 10$ кг

Данные величины представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Ускорение второго тела: $a_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона. Он устанавливает, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, сообщаемое этой силой.

$F = m \cdot a$

По условию задачи на оба тела действует одна и та же сила. Обозначим эту силу как $F$.

Для первого тела можно записать:

$F = m_1 \cdot a_1$

Для второго тела:

$F = m_2 \cdot a_2$

Так как левые части этих уравнений равны (сила одна и та же), мы можем приравнять их правые части:

$m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2$

Из этого равенства выразим искомое ускорение второго тела $a_2$:

$a_2 = \frac{m_1 \cdot a_1}{m_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$a_2 = \frac{4 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с²}}{10 \text{ кг}}$

$a_2 = \frac{8}{10} \text{ м/с²} = 0.8 \text{ м/с²}$

Ответ: ускорение, которое приобретает тело массой 10 кг, равно $0.8$ м/с².

142. Порожний грузовой автомобиль массой 4 т начал движение с ускорением $0,3 \text{ м/с}^2$. Какова масса груза, принятого автомобилем, если при той же силе тяги он трогается с места с ускорением $0,2 \text{ м/с}^2$?

Дано:

Масса порожнего автомобиля, $m_{авт} = 4 \text{ т}$

Ускорение порожнего автомобиля, $a_1 = 0,3 \text{ м/с}^2$

Ускорение груженого автомобиля, $a_2 = 0,2 \text{ м/с}^2$

Сила тяги, $F = \text{const}$

Перевод в систему СИ:
$m_{авт} = 4 \text{ т} = 4 \cdot 1000 \text{ кг} = 4000 \text{ кг}$

Найти:

Массу груза, $m_{гр}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который устанавливает связь между силой ($F$), массой ($m$) и ускорением ($a$) по формуле $F = ma$. По условию, сила тяги автомобиля в обоих случаях одинакова. Мы можем пренебречь силами сопротивления, считая силу тяги равнодействующей силой.

1. Запишем второй закон Ньютона для движения порожнего автомобиля. Его масса равна $m_{авт}$, а ускорение $a_1$. Сила тяги $F$ в этом случае равна:

$F = m_{авт} \cdot a_1$

2. Теперь запишем второй закон Ньютона для движения груженого автомобиля. Его общая масса равна сумме массы самого автомобиля и массы груза: $m_{общ} = m_{авт} + m_{гр}$. Ускорение груженого автомобиля равно $a_2$. Сила тяги $F$ равна:

$F = (m_{авт} + m_{гр}) \cdot a_2$

3. Поскольку сила тяги $F$ в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части двух полученных уравнений:

$m_{авт} \cdot a_1 = (m_{авт} + m_{гр}) \cdot a_2$

4. Наша цель — найти массу груза $m_{гр}$. Выразим ее из полученного равенства. Для этого сначала можно выразить сумму масс $(m_{авт} + m_{гр})$:

$m_{авт} + m_{гр} = \frac{m_{авт} \cdot a_1}{a_2}$

Далее выразим искомую массу груза $m_{гр}$:

$m_{гр} = \frac{m_{авт} \cdot a_1}{a_2} - m_{авт}$

Можно вынести $m_{авт}$ за скобки для упрощения вычислений:

$m_{гр} = m_{авт} \left( \frac{a_1}{a_2} - 1 \right)$

5. Подставим числовые значения из условия задачи в итоговую формулу:

$m_{гр} = 4000 \text{ кг} \cdot \left( \frac{0,3 \text{ м/с}^2}{0,2 \text{ м/с}^2} - 1 \right) = 4000 \text{ кг} \cdot (1,5 - 1) = 4000 \text{ кг} \cdot 0,5 = 2000 \text{ кг}$

Полученную массу груза можно также выразить в тоннах: $2000 \text{ кг} = 2 \text{ т}$.

Ответ: масса груза равна 2000 кг (или 2 т).

143. Заполнить таблицу, где $a$ ускорение, которое приобретает тело массой $m$ под действием силы $F$.

$a$: ?, ?, $0,4 \text{ м/с}^2$, $2 \text{ км/с}^2$, $0,1 \text{ м/с}^2$, $5 \text{ см/с}^2$

$m$: $8 \text{ кг}$, $3 \text{ г}$, $200 \text{ кг}$, $10 \text{ г}$, ?, ?

$F$: $2 \text{ Н}$, $6 \text{ мН}$, ?, ?, $20 \text{ Н}$, $1 \text{ кН}$

Для заполнения таблицы во всех случаях используется второй закон Ньютона, который связывает силу ($F$), массу ($m$) и ускорение ($a$) следующей формулой:

$F = m \cdot a$

Из этой формулы можно выразить любую из величин, зная две другие:

$a = \frac{F}{m}$

$m = \frac{F}{a}$

Перед расчетом все величины необходимо перевести в Международную систему единиц (СИ): сила в ньютонах (Н), масса в килограммах (кг), ускорение в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

Расчет для столбца 1

Дано:

Найти: $a$

Решение:

Для нахождения ускорения воспользуемся вторым законом Ньютона, выразив из него ускорение:

$a = \frac{F}{m}$

Подставим известные значения:

$a = \frac{2 \text{ Н}}{8 \text{ кг}} = 0,25 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a = 0,25 \text{ м/с}^2$.

Расчет для столбца 2

Дано:

Найти: $a$

Решение:

Используем формулу для ускорения из второго закона Ньютона:

$a = \frac{F}{m}$

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$a = \frac{0,006 \text{ Н}}{0,003 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a = 2 \text{ м/с}^2$.

Расчет для столбца 3

Дано:

Найти: $F$

Решение:

Для нахождения силы воспользуемся вторым законом Ньютона:

$F = m \cdot a$

Подставим известные значения:

$F = 200 \text{ кг} \cdot 0,4 \text{ м/с}^2 = 80 \text{ Н}$

Ответ: $F = 80 \text{ Н}$.

Расчет для столбца 4

Дано:

Найти: $F$

Решение:

Используем второй закон Ньютона:

$F = m \cdot a$

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$F = 0,01 \text{ кг} \cdot 2000 \text{ м/с}^2 = 20 \text{ Н}$

Ответ: $F = 20 \text{ Н}$.

Расчет для столбца 5

Дано:

Найти: $m$

Решение:

Из второго закона Ньютона $F = m \cdot a$ выразим массу:

$m = \frac{F}{a}$

Подставим известные значения:

$m = \frac{20 \text{ Н}}{0,1 \text{ м/с}^2} = 200 \text{ кг}$

Ответ: $m = 200 \text{ кг}$.

Расчет для столбца 6

Дано:

Найти: $m$

Решение:

Из второго закона Ньютона $F = m \cdot a$ выразим массу:

$m = \frac{F}{a}$

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$m = \frac{1000 \text{ Н}}{0,05 \text{ м/с}^2} = 20000 \text{ кг}$

Ответ: $m = 20000 \text{ кг}$ (или $20 \text{ т}$).

144. С каким ускорением двигался при разбеге реактивный самолёт массой 60 т, если сила тяги двигателей 90 кН?

Дано:

Масса самолёта, $m = 60 \text{ т} = 60 \cdot 10^3 \text{ кг} = 60000 \text{ кг}$
Сила тяги двигателей, $F = 90 \text{ кН} = 90 \cdot 10^3 \text{ Н} = 90000 \text{ Н}$

Найти:

Ускорение самолёта, $a - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который связывает силу, массу и ускорение тела. Закон гласит, что ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе.

Математически это выражается формулой:

$F_{равн} = m \cdot a$

В данной задаче мы пренебрегаем силами сопротивления (трения и сопротивления воздуха), поэтому равнодействующая сила, сообщающая самолёту ускорение, равна силе тяги его двигателей: $F_{равн} = F$.

Таким образом, формула принимает вид:

$F = m \cdot a$

Выразим из этой формулы искомое ускорение $a$:

$a = \frac{F}{m}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведём вычисления:

$a = \frac{90000 \text{ Н}}{60000 \text{ кг}} = 1.5 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 1.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение реактивного самолёта при разбеге составляло $1.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

145. Масса легкового автомобиля равна 2 т, а грузового 8 т. Сравнить ускорения автомобилей, если сила тяги грузового автомобиля в 2 раза больше, чем легкового.

Дано:

Масса легкового автомобиля: $m_л = 2 \text{ т}$

Масса грузового автомобиля: $m_г = 8 \text{ т}$

Соотношение сил тяги: $F_г = 2 F_л$

Перевод в систему СИ:

$m_л = 2 \cdot 1000 = 2000 \text{ кг}$

$m_г = 8 \cdot 1000 = 8000 \text{ кг}$

Найти:

Сравнить ускорения $a_л$ и $a_г$, то есть найти их отношение $\frac{a_л}{a_г}$.

Решение:

Для решения задачи используем второй закон Ньютона, который связывает силу ($F$), массу ($m$) и ускорение ($a$) тела формулой $F = ma$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого автомобиля. Для легкового автомобиля (с индексом "л"):

$F_л = m_л a_л$

Для грузового автомобиля (с индексом "г"):

$F_г = m_г a_г$

Из этих уравнений выразим ускорения автомобилей:

$a_л = \frac{F_л}{m_л}$

$a_г = \frac{F_г}{m_г}$

Из условия задачи известно, что сила тяги грузового автомобиля в 2 раза больше, чем легкового, то есть $F_г = 2 F_л$. Подставим это соотношение в формулу для ускорения грузовика:

$a_г = \frac{2 F_л}{m_г}$

Чтобы сравнить ускорения, найдем их отношение, разделив ускорение легкового автомобиля на ускорение грузового:

$\frac{a_л}{a_г} = \frac{\frac{F_л}{m_л}}{\frac{2 F_л}{m_г}}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{a_л}{a_г} = \frac{F_л}{m_л} \cdot \frac{m_г}{2 F_л} = \frac{m_г}{2 m_л}$

Теперь подставим числовые значения масс, выраженные в килограммах:

$\frac{a_л}{a_г} = \frac{8000 \text{ кг}}{2 \cdot 2000 \text{ кг}} = \frac{8000}{4000} = 2$

Полученное отношение показывает, что ускорение легкового автомобиля в 2 раза больше ускорения грузового.

Ответ: ускорение легкового автомобиля в 2 раза больше, чем ускорение грузового.