Страница 31 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

186. С каким ускорением $a_1$ надо поднимать гирю, чтобы её вес увеличился вдвое? С каким ускорением $a_2$ надо её опускать, чтобы вес уменьшился вдвое?

Дано:

Найти:

Решение:

С каким ускорением a₁ надо поднимать гирю, чтобы её вес увеличился вдвое?

Вес тела $P$ — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. В состоянии покоя вес тела равен по модулю силе тяжести: $P_0 = mg$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

При движении с ускорением $a$, направленным вертикально вверх, на гирю действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$ (направлена вниз) и сила реакции опоры или натяжения подвеса $N$ (направлена вверх). Согласно второму закону Ньютона, в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - mg = ma_1$

Вес тела $P_1$ по определению равен силе реакции опоры $N$. Таким образом, $P_1 = N$. Подставляя это в уравнение, получаем:

$P_1 - mg = ma_1$

Отсюда выражение для веса тела, движущегося с ускорением вверх:

$P_1 = mg + ma_1 = m(g + a_1)$

По условию задачи, вес должен увеличиться вдвое, то есть $P_1 = 2P_0 = 2mg$. Приравняем полученные выражения для $P_1$:

$m(g + a_1) = 2mg$

Сократив на массу $m$ (которая не равна нулю), получим:

$g + a_1 = 2g$

Из этого уравнения находим ускорение $a_1$:

$a_1 = 2g - g = g$

Ответ: чтобы вес гири увеличился вдвое, ее необходимо поднимать с ускорением $a_1 = g$, равным ускорению свободного падения.

С каким ускорением a₂ надо её опускать, чтобы вес уменьшился вдвое?

Когда гиря опускается с ускорением $a_2$, направленным вертикально вниз, уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, будет выглядеть так (ускорение будет со знаком минус):

$N - mg = -ma_2$

Вес тела $P_2$ снова равен силе реакции опоры $N$, то есть $P_2 = N$.

$P_2 - mg = -ma_2$

Выразим вес тела $P_2$:

$P_2 = mg - ma_2 = m(g - a_2)$

По условию, вес должен уменьшиться вдвое, то есть $P_2 = \frac{1}{2}P_0 = \frac{1}{2}mg$. Приравниваем выражения для $P_2$:

$m(g - a_2) = \frac{1}{2}mg$

Сокращаем на массу $m$:

$g - a_2 = \frac{1}{2}g$

Из этого уравнения находим ускорение $a_2$:

$a_2 = g - \frac{1}{2}g = \frac{1}{2}g = 0.5g$

Ответ: чтобы вес гири уменьшился вдвое, ее необходимо опускать с ускорением $a_2 = 0.5g$, равным половине ускорения свободного падения.

187. Космический корабль совершает мягкую посадку на Луну, двигаясь замедленно в вертикальном направлении (относительно Луны) с постоянным ускорением $8,38 \text{ м/с}^2$. Каков вес космонавта массой 70 кг, находящегося в этом корабле?

Дано:

Масса космонавта, $m = 70$ кг
Ускорение корабля, $a = 8,38 \text{ м/с}^2$
Ускорение свободного падения на Луне, $g_Л \approx 1,62 \text{ м/с}^2$ (стандартное справочное значение)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Вес космонавта, $P$ - ?

Решение:

Вес тела $P$ — это сила, с которой тело вследствие притяжения к небесному телу (в данном случае к Луне) действует на опору. По третьему закону Ньютона, вес космонавта будет по модулю равен силе реакции опоры $N$, действующей на него со стороны пола корабля: $P = N$.

Рассмотрим силы, которые действуют на космонавта в инерциальной системе отсчета, связанной с Луной. На него действуют две силы по вертикали:
1. Сила тяжести $F_т$, направленная вниз: $F_т = m g_Л$.
2. Сила реакции опоры $N$, направленная вверх.

Согласно условию, космический корабль движется замедленно в вертикальном направлении при посадке. Это значит, что вектор скорости направлен вниз (к поверхности Луны), а вектор ускорения $a$ направлен в противоположную сторону — вверх.

Запишем второй закон Ньютона для космонавта в векторной форме:
$m\vec{a} = \vec{F}_т + \vec{N}$

Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Спроецируем на нее уравнение второго закона Ньютона. Проекция ускорения $a_y = a$, проекция силы реакции опоры $N_y = N$, а проекция силы тяжести $(F_т)_y = -mg_Л$.
$ma = N - mg_Л$

Из этого уравнения выразим силу реакции опоры $N$:
$N = ma + mg_Л = m(a + g_Л)$

Так как вес космонавта $P$ равен силе реакции опоры $N$, то:
$P = m(a + g_Л)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$P = 70 \text{ кг} \cdot (8,38 \text{ м/с}^2 + 1,62 \text{ м/с}^2) = 70 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 700 \text{ Н}$

Ответ: вес космонавта равен 700 Н.

188. Определить вес мальчика массой 40 кг в положениях А и В (рис. 30), если $R_1 = 20 \text{ м}$, $v_1 = 10 \text{ м/с}$, $R_2 = 10 \text{ м}$, $v_2 = 5 \text{ м/с}$.

Дано:

Масса мальчика $m = 40$ кг
Радиус вогнутого участка траектории $R_1 = 20$ м
Скорость в точке А $v_1 = 10$ м/с
Радиус выпуклого участка траектории $R_2 = 10$ м
Скорость в точке B $v_2 = 5$ м/с
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Вес мальчика в положении А ($P_A$)
Вес мальчика в положении B ($P_B$)

Решение:

Вес тела ($P$) — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Согласно третьему закону Ньютона, вес тела по модулю равен силе реакции опоры ($N$). Силу реакции опоры можно найти, применив второй закон Ньютона для движения тела по криволинейной траектории.

Вес в положении А

В точке А (нижняя точка вогнутой дуги) на мальчика действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N_A$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает мальчику центростремительное ускорение $a_{c1}$, направленное к центру кривизны траектории, то есть вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_A - mg = m \cdot a_{c1}$

где $a_{c1} = \frac{v_1^2}{R_1}$.

Отсюда выразим силу реакции опоры $N_A$:

$N_A = mg + m \frac{v_1^2}{R_1} = m(g + \frac{v_1^2}{R_1})$

Вес мальчика в точке А $P_A$ равен силе реакции опоры $N_A$:

$P_A = m(g + \frac{v_1^2}{R_1})$

Подставим числовые значения:

$P_A = 40 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + \frac{(10 \text{ м/с})^2}{20 \text{ м}}) = 40 \cdot (10 + \frac{100}{20}) = 40 \cdot (10 + 5) = 40 \cdot 15 = 600$ Н.

Ответ: вес мальчика в положении А равен 600 Н.

Вес в положении B

В точке B (верхняя точка выпуклой дуги) на мальчика действуют те же силы: сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры $N_B$ (вверх). В этом случае центростремительное ускорение $a_{c2}$ направлено к центру кривизны, то есть вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$mg - N_B = m \cdot a_{c2}$

где $a_{c2} = \frac{v_2^2}{R_2}$.

Выразим силу реакции опоры $N_B$:

$N_B = mg - m \frac{v_2^2}{R_2} = m(g - \frac{v_2^2}{R_2})$

Вес мальчика в точке B $P_B$ равен силе реакции опоры $N_B$:

$P_B = m(g - \frac{v_2^2}{R_2})$

Подставим числовые значения:

$P_B = 40 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(5 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м}}) = 40 \cdot (10 - \frac{25}{10}) = 40 \cdot (10 - 2.5) = 40 \cdot 7.5 = 300$ Н.

Ответ: вес мальчика в положении B равен 300 Н.

189. Ракета-носитель вместе с космическим кораблём серии «Союз» имеет стартовую массу 300 т. При старте запускаются одновременно четыре двигателя первой ступени ракеты (боковые блоки), сила тяги каждого из которых 1 МН, и один двигатель второй ступени, сила тяги которого 940 кН. Какую перегрузку испытывают космонавты в начале старта?

Рис. 30

Дано:

стартовая масса ракеты-носителя с кораблем, $m = 300$ т = $300 \cdot 10^3$ кг = $3 \cdot 10^5$ кг
количество двигателей первой ступени, $n_1 = 4$
сила тяги одного двигателя первой ступени, $F_1 = 1$ МН = $1 \cdot 10^6$ Н
количество двигателей второй ступени, $n_2 = 1$
сила тяги двигателя второй ступени, $F_2 = 940$ кН = $940 \cdot 10^3$ Н = $9.4 \cdot 10^5$ Н
ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

перегрузку $n$.

Решение:

В начале старта на ракету действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и суммарная сила тяги двигателей $F_{тяг}$, направленная вертикально вверх.

Найдем суммарную силу тяги всех работающих двигателей. Согласно условию, при старте запускаются четыре двигателя первой ступени и один двигатель второй ступени.
$F_{тяг} = n_1 \cdot F_1 + n_2 \cdot F_2 = 4 \cdot 1 \cdot 10^6 \text{ Н} + 1 \cdot 9.4 \cdot 10^5 \text{ Н} = 4 \cdot 10^6 \text{ Н} + 0.94 \cdot 10^6 \text{ Н} = 4.94 \cdot 10^6 \text{ Н}$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, действующих на ракету, сообщает ей ускорение $a$:
$F_{тяг} - mg = ma$.
Отсюда можем найти ускорение ракеты в начале старта:
$a = \frac{F_{тяг} - mg}{m} = \frac{F_{тяг}}{m} - g$.

Перегрузкой $n$ называют отношение веса тела $P$ (силы, с которой тело давит на опору) к силе тяжести $mg$, действующей на это тело. Вес космонавта в движущейся с ускорением $a$ ракете равен $P = m_к(g+a)$, где $m_к$ - масса космонавта.
$n = \frac{P}{m_к g} = \frac{m_к(g+a)}{m_к g} = \frac{g+a}{g} = 1 + \frac{a}{g}$.
Подставим в эту формулу выражение для ускорения $a$:
$n = 1 + \frac{\frac{F_{тяг}}{m} - g}{g} = 1 + \frac{F_{тяг}}{mg} - \frac{g}{g} = \frac{F_{тяг}}{mg}$.

Теперь вычислим значение перегрузки:
$n = \frac{4.94 \cdot 10^6 \text{ Н}}{3 \cdot 10^5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{4.94 \cdot 10^6}{2.94 \cdot 10^6} \approx 1.68$.

Ответ: космонавты в начале старта испытывают перегрузку, примерно равную 1.68.

190. При раскрытии парашюта скорость парашютиста уменьшается с 50 до 10 $м/с$ за 1 с. Какую перегрузку испытывает парашютист?

Дано:

Начальная скорость парашютиста, $v_0 = 50 \text{ м/с}$
Конечная скорость парашютиста, $v = 10 \text{ м/с}$
Время уменьшения скорости, $t = 1 \text{ с}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Перегрузку $n$

Решение:

При раскрытии парашюта скорость парашютиста уменьшается, то есть он движется с отрицательным ускорением (замедлением). Движение является равноускоренным (в данном случае равнозамедленным). Модуль ускорения $a$ можно найти по формуле:

$a = \frac{|v - v_0|}{t} = \frac{v_0 - v}{t}$

Подставим данные из условия задачи:

$a = \frac{50 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{1 \text{ с}} = \frac{40 \text{ м/с}}{1 \text{ с}} = 40 \text{ м/с}^2$

Это ускорение направлено вертикально вверх, против направления движения (падения) и против силы тяжести.

На парашютиста в момент торможения действуют две основные силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вниз, и сила натяжения строп парашюта $T$, направленная вверх. По второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу ускорение:

$T - F_{тяж} = ma$

Сила натяжения строп $T$ и есть вес парашютиста $P$ в данный момент.

$P - mg = ma$

Отсюда можем выразить вес парашютиста:

$P = mg + ma = m(g + a)$

Перегрузка $n$ определяется как отношение веса тела $P$ во время ускоренного движения к его весу в состоянии покоя, то есть к силе тяжести $mg$:

$n = \frac{P}{mg} = \frac{m(g + a)}{mg} = 1 + \frac{a}{g}$

Теперь подставим числовые значения $a$ и $g$:

$n = 1 + \frac{40 \text{ м/с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = 1 + 4 = 5$

Ответ: парашютист испытывает перегрузку, равную 5.

191. Самолет выходит из пикирования, описывая в вертикальной плоскости дугу окружности радиусом 800 м. Скорость самолета в нижней точке траектории 200 м/с. Какую перегрузку испытывает летчик в этой точке?

Дано:

$R = 800$ м
$v = 200$ м/с

Найти:

$n$ - ?

Решение:

Когда самолёт находится в нижней точке траектории, на летчика действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $\vec{N}$ со стороны кресла, направленная вертикально вверх.

Движение самолёта происходит по дуге окружности, поэтому лётчик испытывает центростремительное ускорение $\vec{a_c}$. В нижней точке траектории это ускорение направлено вертикально вверх, к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона для лётчика в векторной форме: $m\vec{a_c} = \vec{N} + m\vec{g}$

Для решения выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Спроецируем силы и ускорение на эту ось: $ma_c = N - mg$

Отсюда можно выразить силу реакции опоры $N$, которая и определяет вес лётчика: $N = mg + ma_c$

Величина центростремительного ускорения вычисляется по формуле: $a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставив это выражение в формулу для силы $N$, получаем: $N = mg + m\frac{v^2}{R} = m(g + \frac{v^2}{R})$

Перегрузка $n$ по определению — это отношение веса тела (в данном случае силы реакции опоры $N$) к силе тяжести, действующей на него: $n = \frac{N}{mg}$

Подставим в эту формулу выражение для силы $N$: $n = \frac{m(g + \frac{v^2}{R})}{mg} = \frac{g + \frac{v^2}{R}}{g} = 1 + \frac{v^2}{gR}$

Выполним расчёт, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$: $n = 1 + \frac{(200 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 800 \text{ м}} = 1 + \frac{40000}{8000} = 1 + 5 = 6$

Ответ: лётчик в нижней точке траектории испытывает перегрузку, равную 6.

192. Испытывает ли бегущий человек состояния перегрузки и невесомости?

Да, бегущий человек испытывает как состояние перегрузки, так и состояние невесомости. Эти состояния циклически сменяют друг друга во время бега.

Движение бегуна можно представить как последовательность прыжков, каждый из которых включает фазу опоры и фазу полета.

Перегрузка – это состояние, при котором вес тела $P$ превышает силу тяжести $F_g = mg$. Это происходит, когда тело движется с ускорением $a$, направленным против силы тяжести (в данном случае, вверх). Вес в этом случае определяется формулой $P = m(g+a)$. Во время бега перегрузка возникает в фазе опоры. Когда бегун отталкивается ногой от земли, он придает своему телу ускорение, направленное вверх, чтобы совершить прыжок. В этот момент сила реакции опоры, действующая на стопу, становится больше силы тяжести. Так как вес тела по третьему закону Ньютона равен силе реакции опоры, вес бегуна в этот момент превышает его вес в состоянии покоя. Аналогично, в момент приземления, происходит замедление вертикального движения, что также соответствует ускорению, направленному вверх. Следовательно, в моменты отталкивания и приземления человек испытывает перегрузку.

Невесомость – это состояние, при котором вес тела равен нулю. Оно наступает, когда тело движется только под действием силы тяжести, то есть находится в свободном падении. В этом случае ускорение тела $a$ равно ускорению свободного падения $g$, и вес $P = m(g-a) = m(g-g) = 0$. В процессе бега между отталкиванием и приземлением существует фаза полета, когда обе ноги человека оторваны от земли. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то в этой фазе на центр масс человека действует только сила тяжести. Такое движение является свободным падением, а значит, в фазе полета бегун находится в состоянии невесомости.

Таким образом, бег представляет собой циклический процесс, в котором постоянно чередуются моменты перегрузки и невесомости.

Ответ: Да, бегущий человек циклически испытывает состояние перегрузки (в моменты отталкивания от земли и приземления) и состояние невесомости (в фазе полета).

193. Тело брошено вертикально вверх. В каком из перечисленных ниже случаев тело находится в состоянии невесомости:

а) только в верхней точке полёта;

б) только при движении вниз;

в) только при движении вверх;

г) всё время полёта?

Решение

Состояние невесомости — это состояние, при котором вес тела равен нулю. Вес тела, $P$, это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Вес может отличаться от силы тяжести, $mg$, если тело или опора движутся с ускорением.

Состояние невесомости наступает, когда на тело действует только сила тяжести. В этом случае тело движется с ускорением свободного падения, $\vec{a} = \vec{g}$. Такое движение называется свободным падением.

Рассмотрим тело, брошенное вертикально вверх. С момента, когда тело покинуло руку бросающего, и до момента его падения на землю (или пока его не поймали), единственной силой, действующей на него, является сила тяжести, направленная вертикально вниз (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела определяется равнодействующей всех сил: $m\vec{a} = \vec{F}_{рез}$. В данном случае $\vec{F}_{рез} = m\vec{g}$. Следовательно, $m\vec{a} = m\vec{g}$, откуда $\vec{a} = \vec{g}$.

Это означает, что на протяжении всего полёта — и при движении вверх, и в верхней точке траектории (где его скорость на мгновение равна нулю), и при движении вниз — тело движется с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения $\vec{g}$.

Вес тела, движущегося с ускорением $\vec{a}$, определяется по формуле $P = m(g - a)$, если ускорение направлено вниз, и $P = m(g + a)$, если ускорение направлено вверх. В нашем случае ускорение $\vec{a}$ всё время равно $\vec{g}$ и направлено вниз. Таким образом, вес тела на протяжении всего полета равен $P = m(g - g) = 0$.

Следовательно, тело находится в состоянии невесомости всё время полёта.

Ответ: г) всё время полёта

194. Наибольшее удаление от поверхности Земли космического корабля «Восток», запущенного 12 апреля 1961 г. с первым в мире лётчиком-космонавтом Ю. А. Гагариным, было 327 км. На сколько процентов сила тяжести, действовавшая на космонавта на орбите, была меньше силы тяжести, действовавшей на него на Земле? Почему космонавт находился в состоянии невесомости?

На сколько процентов сила тяжести, действовавшая на космонавта на орбите, была меньше силы тяжести, действовавшей на него на Земле?

Дано:

Высота орбиты над поверхностью Земли: $h = 327 \text{ км}$
Средний радиус Земли: $R_З \approx 6371 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$h = 327 \cdot 10^3 \text{ м}$
$R_З \approx 6371 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

Процентное уменьшение силы тяжести $\Delta F_{\%} = \frac{F_З - F_о}{F_З} \cdot 100\%$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, описывается законом всемирного тяготения: $F = G \frac{M m}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса космонавта, $r$ — расстояние от центра Земли до космонавта.

На поверхности Земли сила тяжести ($F_З$) равна: $F_З = G \frac{M m}{R_З^2}$

На орбите на высоте $h$ сила тяжести ($F_о$) равна: $F_о = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Найдем отношение силы тяжести на орбите к силе тяжести на поверхности Земли: $\frac{F_о}{F_З} = \frac{G \frac{M m}{(R_З + h)^2}}{G \frac{M m}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$

Подставим значения (для нахождения отношения можно использовать километры, так как единицы измерения сократятся): $\frac{F_о}{F_З} = \left(\frac{6371}{6371 + 327}\right)^2 = \left(\frac{6371}{6698}\right)^2 \approx (0.9512)^2 \approx 0.9048$

Сила тяжести на орбите составляет примерно $90.5\%$ от силы тяжести на Земле. Следовательно, уменьшение силы тяжести в процентах составляет: $\Delta F_{\%} = \left(1 - \frac{F_о}{F_З}\right) \cdot 100\% \approx (1 - 0.9048) \cdot 100\% = 0.0952 \cdot 100\% \approx 9.5\%$

Ответ: Сила тяжести, действовавшая на космонавта на орбите, была меньше силы тяжести на Земле примерно на $9.5\%$.

Почему космонавт находился в состоянии невесомости?

Состояние невесомости не является следствием отсутствия гравитации. Как показывают расчеты, на орбите сила тяжести лишь ненамного слабее, чем на Земле. Невесомость — это состояние, при котором отсутствует вес тела.

Вес тела — это сила, с которой тело воздействует на опору или подвес из-за гравитационного притяжения. Космический корабль, движущийся по орбите, и все, что находится внутри него (включая космонавта), находятся в состоянии непрерывного свободного падения. Сила притяжения Земли сообщает одинаковое ускорение как кораблю, так и космонавту.

Поскольку и космонавт, и его опора (например, кресло или пол корабля) «падают» вместе с одинаковым ускорением, они не давят друг на друга. Космонавт как бы парит внутри корабля. Из-за отсутствия силы реакции опоры вес космонавта равен нулю, что и создает ощущение и состояние невесомости.

Ответ: Космонавт находился в состоянии невесомости, потому что он и космический корабль двигались вокруг Земли под действием только силы тяжести, то есть находились в состоянии свободного падения. В результате этого движения и космонавт, и корабль имели одинаковое ускорение, поэтому космонавт не оказывал давления на опору и его вес был равен нулю.