Номер 188, страница 31 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

188. Определить вес мальчика массой 40 кг в положениях А и В (рис. 30), если $R_1 = 20 \text{ м}$, $v_1 = 10 \text{ м/с}$, $R_2 = 10 \text{ м}$, $v_2 = 5 \text{ м/с}$.

Дано:

Масса мальчика $m = 40$ кг
Радиус вогнутого участка траектории $R_1 = 20$ м
Скорость в точке А $v_1 = 10$ м/с
Радиус выпуклого участка траектории $R_2 = 10$ м
Скорость в точке B $v_2 = 5$ м/с
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Вес мальчика в положении А ($P_A$)
Вес мальчика в положении B ($P_B$)

Решение:

Вес тела ($P$) — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Согласно третьему закону Ньютона, вес тела по модулю равен силе реакции опоры ($N$). Силу реакции опоры можно найти, применив второй закон Ньютона для движения тела по криволинейной траектории.

Вес в положении А

В точке А (нижняя точка вогнутой дуги) на мальчика действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N_A$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает мальчику центростремительное ускорение $a_{c1}$, направленное к центру кривизны траектории, то есть вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_A - mg = m \cdot a_{c1}$

где $a_{c1} = \frac{v_1^2}{R_1}$.

Отсюда выразим силу реакции опоры $N_A$:

$N_A = mg + m \frac{v_1^2}{R_1} = m(g + \frac{v_1^2}{R_1})$

Вес мальчика в точке А $P_A$ равен силе реакции опоры $N_A$:

$P_A = m(g + \frac{v_1^2}{R_1})$

Подставим числовые значения:

$P_A = 40 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + \frac{(10 \text{ м/с})^2}{20 \text{ м}}) = 40 \cdot (10 + \frac{100}{20}) = 40 \cdot (10 + 5) = 40 \cdot 15 = 600$ Н.

Ответ: вес мальчика в положении А равен 600 Н.

Вес в положении B

В точке B (верхняя точка выпуклой дуги) на мальчика действуют те же силы: сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры $N_B$ (вверх). В этом случае центростремительное ускорение $a_{c2}$ направлено к центру кривизны, то есть вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$mg - N_B = m \cdot a_{c2}$

где $a_{c2} = \frac{v_2^2}{R_2}$.

Выразим силу реакции опоры $N_B$:

$N_B = mg - m \frac{v_2^2}{R_2} = m(g - \frac{v_2^2}{R_2})$

Вес мальчика в точке B $P_B$ равен силе реакции опоры $N_B$:

$P_B = m(g - \frac{v_2^2}{R_2})$

Подставим числовые значения:

$P_B = 40 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(5 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м}}) = 40 \cdot (10 - \frac{25}{10}) = 40 \cdot (10 - 2.5) = 40 \cdot 7.5 = 300$ Н.

Ответ: вес мальчика в положении B равен 300 Н.