Страница 30 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

178. Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса — 0,11 массы Земли. Зная ускорение свободного падения на Земле, найти ускорение свободного падения на Марсе.

Дано:

Радиус Марса $R_М = 0.53 R_З$

Масса Марса $M_М = 0.11 M_З$

Ускорение свободного падения на Земле $g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Ускорение свободного падения на Марсе $g_М$

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, а $R$ — её радиус.

Запишем эту формулу для Земли и для Марса:

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

Ускорение свободного падения на Марсе: $g_М = G \frac{M_М}{R_М^2}$

Чтобы найти ускорение свободного падения на Марсе, выразим его через ускорение свободного падения на Земле. Для этого составим отношение ускорений:

$\frac{g_М}{g_З} = \frac{G \frac{M_М}{R_М^2}}{G \frac{M_З}{R_З^2}} = \frac{M_М}{M_З} \cdot \frac{R_З^2}{R_М^2} = \frac{M_М}{M_З} \cdot (\frac{R_З}{R_М})^2$

Из условия задачи нам известны отношения масс и радиусов:

$\frac{M_М}{M_З} = 0.11$

$\frac{R_М}{R_З} = 0.53$, следовательно, $\frac{R_З}{R_М} = \frac{1}{0.53}$

Подставим эти значения в формулу отношения ускорений:

$\frac{g_М}{g_З} = 0.11 \cdot (\frac{1}{0.53})^2 = \frac{0.11}{0.53^2} = \frac{0.11}{0.2809} \approx 0.3916$

Теперь выразим и вычислим $g_М$:

$g_М = g_З \cdot 0.3916 \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.3916 \approx 3.83768 \text{ м/с}^2$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$g_М \approx 3.8 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на Марсе составляет примерно $3.8 \text{ м/с}^2$.

179*. Сверхгигант Антарес (α Скорпиона) имеет массу, в 50 раз большую массы Солнца, а диаметр этой звезды превосходит диаметр Солнца в 328 раз. Белый карлик «40 Эридана А» имеет массу, составляющую 0,31 массы Солнца, и диаметр, равный 0,016 диаметра Солнца. Найти ускорение свободного падения на этих звёздах.

Дано:

Для сверхгиганта Антарес (Ант):
Масса: $M_{Ант} = 50 M_☉$
Диаметр: $D_{Ант} = 328 D_☉$

Для белого карлика «40 Эридана А» (Эри):
Масса: $M_{Эри} = 0,31 M_☉$
Диаметр: $D_{Эри} = 0,016 D_☉$

Справочные данные в системе СИ:
Гравитационная постоянная: $G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$
Масса Солнца: $M_☉ \approx 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг}$
Радиус Солнца: $R_☉ \approx 6,96 \times 10^8 \, \text{м}$

Найти:

$g_{Ант} - ?$
$g_{Эри} - ?$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности сферического небесного тела определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения: $g = G \frac{M}{R^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса звезды, $R$ — её радиус.

Сверхгигант Антарес

Сначала вычислим массу и радиус Антареса в системе СИ.
Масса Антареса: $M_{Ант} = 50 \times M_☉ = 50 \times 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг} = 9,945 \times 10^{31} \, \text{кг}$.
Поскольку отношение диаметров равно отношению радиусов, радиус Антареса: $R_{Ант} = 328 \times R_☉ = 328 \times 6,96 \times 10^8 \, \text{м} \approx 2,283 \times 10^{11} \, \text{м}$.

Теперь рассчитаем ускорение свободного падения на поверхности Антареса: $g_{Ант} = G \frac{M_{Ант}}{R_{Ант}^2} = 6,674 \times 10^{-11} \, \frac{\text{Н·м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{9,945 \times 10^{31} \, \text{кг}}{(2,283 \times 10^{11} \, \text{м})^2}$ $g_{Ант} \approx \frac{6,636 \times 10^{21}}{5,212 \times 10^{22}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0,127 \, \text{м/с}^2$.

Ответ: $g_{Ант} \approx 0,13 \, \text{м/с}^2$.

Белый карлик «40 Эридана А»

Аналогично вычислим массу и радиус белого карлика в системе СИ.
Масса «40 Эридана А»: $M_{Эри} = 0,31 \times M_☉ = 0,31 \times 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг} \approx 6,166 \times 10^{29} \, \text{кг}$.
Радиус «40 Эридана А»: $R_{Эри} = 0,016 \times R_☉ = 0,016 \times 6,96 \times 10^8 \, \text{м} \approx 1,114 \times 10^7 \, \text{м}$.

Рассчитаем ускорение свободного падения на поверхности белого карлика: $g_{Эри} = G \frac{M_{Эри}}{R_{Эри}^2} = 6,674 \times 10^{-11} \, \frac{\text{Н·м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{6,166 \times 10^{29} \, \text{кг}}{(1,114 \times 10^7 \, \text{м})^2}$ $g_{Эри} \approx \frac{4,115 \times 10^{19}}{1,241 \times 10^{14}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 3,316 \times 10^5 \, \text{м/с}^2$.

Ответ: $g_{Эри} \approx 3,32 \times 10^5 \, \text{м/с}^2$.

180. Средняя плотность Венеры 5200 $\text{кг}/\text{м}^3$, а радиус планеты 6100 км. Найти ускорение свободного падения на поверхности Венеры.

Дано:

Средняя плотность Венеры, $\rho = 5200 \text{ кг/м}^3$
Радиус Венеры, $R_{в} = 6100 \text{ км}$
Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Переведем радиус в систему СИ:
$R_{в} = 6100 \text{ км} = 6100 \times 10^3 \text{ м} = 6.1 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения на поверхности Венеры, $g_{в}$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения: $g = \frac{GM}{R^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $R$ — ее радиус.

В условии задачи масса Венеры ($M_{в}$) не указана, но даны ее средняя плотность $\rho$ и радиус $R_{в}$. Массу можно выразить через эти величины. Масса тела равна произведению его плотности на объем: $M = \rho V$

Принимая форму Венеры за шар, ее объем $V_{в}$ можно вычислить по формуле: $V_{в} = \frac{4}{3}\pi R_{в}^3$

Теперь выразим массу Венеры: $M_{в} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_{в}^3$

Подставим это выражение для массы в исходную формулу для ускорения свободного падения: $g_{в} = \frac{G \cdot (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_{в}^3)}{R_{в}^2}$

После сокращения $R_{в}^2$ в числителе и знаменателе, получаем рабочую формулу: $g_{в} = \frac{4}{3}\pi G \rho R_{в}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчет: $g_{в} = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (5200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot (6.1 \cdot 10^6 \text{ м})$

$g_{в} \approx 1.333 \cdot 3.14 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5200 \cdot 6.1 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$g_{в} \approx (1.333 \cdot 3.14 \cdot 6.67 \cdot 5200 \cdot 6.1) \cdot 10^{-11+6} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$g_{в} \approx 885611 \cdot 10^{-5} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 8.86 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Венеры составляет примерно $8.86 \text{ м/с}^2$.

181. В 1970 г. советский космический аппарат «Луно-ход-1» массой 750 кг достиг поверхности Луны. Найти силу тяжести, действующую на аппарат на поверхности Земли и на поверхности Луны.

Дано:

Масса аппарата «Луноход-1», $m = 750 \text{ кг}$

Для расчетов примем стандартные значения ускорения свободного падения:

На поверхности Земли, $g_{Земля} \approx 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

На поверхности Луны, $g_{Луна} \approx 1,62 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

Силу тяжести на поверхности Земли — $F_{Земля}$

Силу тяжести на поверхности Луны — $F_{Луна}$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, определяется по формуле: $F_{тяж} = m \cdot g$, где $m$ — это масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения в месте нахождения тела. Масса аппарата является постоянной величиной и не зависит от того, находится он на Земле или на Луне.

Сила тяжести на поверхности Земли

Для вычисления силы тяжести, действующей на аппарат на Земле, используем значение земного ускорения свободного падения:

$F_{Земля} = m \cdot g_{Земля} = 750 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 7350 \text{ Н}$

Ответ: сила тяжести, действующая на аппарат на поверхности Земли, равна $7350 \text{ Н}$ (или $7,35 \text{ кН}$).

Сила тяжести на поверхности Луны

Для вычисления силы тяжести, действующей на аппарат на Луне, используем значение лунного ускорения свободного падения:

$F_{Луна} = m \cdot g_{Луна} = 750 \text{ кг} \cdot 1,62 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 1215 \text{ Н}$

Ответ: сила тяжести, действующая на аппарат на поверхности Луны, равна $1215 \text{ Н}$ (или $1,215 \text{ кН}$).

182. На верхней смотровой площадке Останкинской телевизионной башни ускорение свободного падения на $0,1 \text{ см/с}^2$ меньше, чем у её основания. На сколько уменьшается сила тяжести, действующая на человека массой 80 кг, при подъёме его на верхнюю смотровую площадку?

Дано:

Масса человека, $m = 80$ кг
Уменьшение ускорения свободного падения, $Δg = 0,1 \text{ см/с}^2$

Найти:

Уменьшение силы тяжести, $ΔF$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, определяется по формуле $F = m \cdot g$, где $m$ — это масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Пусть $F_1$ — это сила тяжести, действующая на человека у основания башни, а $F_2$ — на верхней смотровой площадке. Тогда уменьшение силы тяжести $ΔF$ будет равно их разности:

$ΔF = F_1 - F_2$

Если $g_1$ — ускорение свободного падения у основания, а $g_2$ — на смотровой площадке, то $F_1 = m \cdot g_1$ и $F_2 = m \cdot g_2$. Подставим эти выражения в формулу для $ΔF$:

$ΔF = m \cdot g_1 - m \cdot g_2 = m \cdot (g_1 - g_2)$

По условию задачи, разница в ускорениях свободного падения $(g_1 - g_2)$ равна $Δg$. Следовательно, формула для нахождения уменьшения силы тяжести принимает вид:

$ΔF = m \cdot Δg$

Подставим числовые значения, предварительно переведя $Δg$ в систему СИ, как показано в блоке "Дано":

$ΔF = 80 \text{ кг} \cdot 0,001 \text{ м/с}^2 = 0,08 \text{ Н}$

Ответ: сила тяжести, действующая на человека, уменьшается на $0,08$ Н.

183. На сколько уменьшается сила тяжести, действующая на самолёт Ту-154 массой $90 \text{ т}$, при полёте на высоте $11 \text{ км}$, где ускорение свободного падения равно $9,77 \text{ м/с}^2$? Ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным $9,81 \text{ м/с}^2$.

Дано:

масса самолёта $m = 90 \text{ т} = 90000 \text{ кг}$

ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0 = 9,81 \text{ м/с}^2$

ускорение свободного падения на высоте полёта $g_h = 9,77 \text{ м/с}^2$

Найти:

Уменьшение силы тяжести $ΔF$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, вычисляется по формуле $F = m \cdot g$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Сила тяжести, действующая на самолёт на поверхности Земли, равна $F_0 = m \cdot g_0$.

Сила тяжести, действующая на самолёт на высоте полёта, равна $F_h = m \cdot g_h$.

Уменьшение силы тяжести $ΔF$ — это разница между силой тяжести на поверхности и силой тяжести на высоте:

$ΔF = F_0 - F_h = m \cdot g_0 - m \cdot g_h = m \cdot (g_0 - g_h)$

Подставим числовые значения в формулу:

$ΔF = 90000 \text{ кг} \cdot (9,81 \text{ м/с}^2 - 9,77 \text{ м/с}^2)$

$ΔF = 90000 \text{ кг} \cdot 0,04 \text{ м/с}^2 = 3600 \text{ Н}$

Полученное значение можно выразить в килоньютонах (кН):

$3600 \text{ Н} = 3,6 \text{ кН}$

Ответ: сила тяжести уменьшается на 3600 Н (или 3,6 кН).

184. Космическая ракета при старте с поверхности Земли движется вертикально с ускорением $20 \, \text{м}/\text{с}^2$. Найти вес лётчика-космонавта массой 80 кг в кабине при старте ракеты.

Дано:

Масса летчика-космонавта, $m = 80$ кг
Ускорение ракеты, $a = 20$ м/с²
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Вес летчика-космонавта, $P - ?$

Решение:

Вес тела ($P$) – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда тело и его опора движутся с ускорением, направленным вертикально вверх, возникает состояние перегрузки, и вес тела увеличивается по сравнению с весом в состоянии покоя.

В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на космонавта действуют две силы:
1. Сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры $N$ со стороны кресла, направленная вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает космонавту ускорение $a$:
$m\vec{a} = \vec{N} + \vec{F}_{тяж}$

Выберем ось OY, направленную вертикально вверх (по направлению ускорения ракеты). Спроецируем на нее векторное уравнение:
$ma = N - F_{тяж}$

Из этого уравнения выразим силу реакции опоры $N$:
$N = ma + F_{тяж}$
Подставляя $F_{тяж} = mg$, получаем:
$N = ma + mg = m(a + g)$

По третьему закону Ньютона, вес космонавта $P$ (сила, с которой он давит на кресло) по модулю равен силе реакции опоры $N$. Таким образом, формула для расчета веса:
$P = m(a + g)$

Подставим числовые значения в полученную формулу, приняв ускорение свободного падения $g$ равным $10$ м/с²:
$P = 80 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с}^2 + 10 \text{ м/с}^2) = 80 \text{ кг} \cdot 30 \text{ м/с}^2 = 2400 \text{ Н}$

Ответ: вес летчика-космонавта при старте ракеты равен $2400$ Н.

185. Лифт Останкинской телевизионной башни разгоняется до скорости $7 \text{ м/с}$ в течение $15 \text{ с}$. Столько же времени занимает и остановка лифта. На сколько изменяется вес человека массой $80 \text{ кг}$ в начале и конце движения лифта?

Дано:

Конечная скорость при разгоне: $v = 7 \text{ м/с}$
Начальная скорость при разгоне: $v_0 = 0 \text{ м/с}$
Время разгона: $t_1 = 15 \text{ с}$
Время остановки: $t_2 = 15 \text{ с}$
Масса человека: $m = 80 \text{ кг}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\Delta P_1$ — изменение веса в начале движения
$\Delta P_2$ — изменение веса в конце движения

Решение:

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору. Когда лифт движется с ускорением, вес человека (сила, с которой он давит на пол лифта) изменяется. Вес человека в состоянии покоя или при равномерном движении равен силе тяжести $P_0 = mg$. Изменение веса равно разности между весом в движении с ускорением и весом в покое: $\Delta P = P - P_0$.

Сначала найдем модуль ускорения лифта. Поскольку время разгона до скорости $v$ и время остановки с этой же скорости одинаковы, модуль ускорения в обоих случаях будет одним и тем же: $a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{7 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{15 \text{ с}} = \frac{7}{15} \text{ м/с}^2$.

В начале движения:
Примем, что лифт движется вверх. При разгоне ускорение $a$ направлено вверх. Согласно второму закону Ньютона, сила реакции опоры $N_1$, действующая на человека, связана с силой тяжести $mg$ и ускорением $a$ соотношением $N_1 - mg = ma$. Вес человека $P_1$ по модулю равен силе реакции опоры $N_1$. Изменение веса составит: $\Delta P_1 = P_1 - P_0 = (mg + ma) - mg = ma$.
Подставим числовые значения: $\Delta P_1 = 80 \text{ кг} \cdot \frac{7}{15} \text{ м/с}^2 = \frac{560}{15} \text{ Н} = \frac{112}{3} \text{ Н} \approx 37,33 \text{ Н}$.
Так как изменение веса положительно, в начале движения вес человека увеличивается.

В конце движения:
При остановке лифта, движущегося вверх, его ускорение направлено вниз (противоположно скорости). Уравнение второго закона Ньютона для этого случая: $N_2 - mg = m(-a)$. Сила реакции опоры $N_2$ равна $N_2 = mg - ma$. Изменение веса составит: $\Delta P_2 = P_2 - P_0 = (mg - ma) - mg = -ma$.
Подставим числовые значения: $\Delta P_2 = -80 \text{ кг} \cdot \frac{7}{15} \text{ м/с}^2 = -\frac{560}{15} \text{ Н} = -\frac{112}{3} \text{ Н} \approx -37,33 \text{ Н}$.
Знак "минус" указывает на то, что вес человека уменьшается.

Таким образом, модуль изменения веса в начале и в конце движения одинаков.

Ответ: в начале движения вес человека увеличивается на $\approx 37,3 \text{ Н}$, а в конце движения уменьшается на $\approx 37,3 \text{ Н}$.