Номер 179, страница 30 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

179*. Сверхгигант Антарес (α Скорпиона) имеет массу, в 50 раз большую массы Солнца, а диаметр этой звезды превосходит диаметр Солнца в 328 раз. Белый карлик «40 Эридана А» имеет массу, составляющую 0,31 массы Солнца, и диаметр, равный 0,016 диаметра Солнца. Найти ускорение свободного падения на этих звёздах.

Дано:

Для сверхгиганта Антарес (Ант):
Масса: $M_{Ант} = 50 M_☉$
Диаметр: $D_{Ант} = 328 D_☉$

Для белого карлика «40 Эридана А» (Эри):
Масса: $M_{Эри} = 0,31 M_☉$
Диаметр: $D_{Эри} = 0,016 D_☉$

Справочные данные в системе СИ:
Гравитационная постоянная: $G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$
Масса Солнца: $M_☉ \approx 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг}$
Радиус Солнца: $R_☉ \approx 6,96 \times 10^8 \, \text{м}$

Найти:

$g_{Ант} - ?$
$g_{Эри} - ?$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности сферического небесного тела определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения: $g = G \frac{M}{R^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса звезды, $R$ — её радиус.

Сверхгигант Антарес

Сначала вычислим массу и радиус Антареса в системе СИ.
Масса Антареса: $M_{Ант} = 50 \times M_☉ = 50 \times 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг} = 9,945 \times 10^{31} \, \text{кг}$.
Поскольку отношение диаметров равно отношению радиусов, радиус Антареса: $R_{Ант} = 328 \times R_☉ = 328 \times 6,96 \times 10^8 \, \text{м} \approx 2,283 \times 10^{11} \, \text{м}$.

Теперь рассчитаем ускорение свободного падения на поверхности Антареса: $g_{Ант} = G \frac{M_{Ант}}{R_{Ант}^2} = 6,674 \times 10^{-11} \, \frac{\text{Н·м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{9,945 \times 10^{31} \, \text{кг}}{(2,283 \times 10^{11} \, \text{м})^2}$ $g_{Ант} \approx \frac{6,636 \times 10^{21}}{5,212 \times 10^{22}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0,127 \, \text{м/с}^2$.

Ответ: $g_{Ант} \approx 0,13 \, \text{м/с}^2$.

Белый карлик «40 Эридана А»

Аналогично вычислим массу и радиус белого карлика в системе СИ.
Масса «40 Эридана А»: $M_{Эри} = 0,31 \times M_☉ = 0,31 \times 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг} \approx 6,166 \times 10^{29} \, \text{кг}$.
Радиус «40 Эридана А»: $R_{Эри} = 0,016 \times R_☉ = 0,016 \times 6,96 \times 10^8 \, \text{м} \approx 1,114 \times 10^7 \, \text{м}$.

Рассчитаем ускорение свободного падения на поверхности белого карлика: $g_{Эри} = G \frac{M_{Эри}}{R_{Эри}^2} = 6,674 \times 10^{-11} \, \frac{\text{Н·м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{6,166 \times 10^{29} \, \text{кг}}{(1,114 \times 10^7 \, \text{м})^2}$ $g_{Эри} \approx \frac{4,115 \times 10^{19}}{1,241 \times 10^{14}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 3,316 \times 10^5 \, \text{м/с}^2$.

Ответ: $g_{Эри} \approx 3,32 \times 10^5 \, \text{м/с}^2$.