Номер 180, страница 30 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

180. Средняя плотность Венеры 5200 $\text{кг}/\text{м}^3$, а радиус планеты 6100 км. Найти ускорение свободного падения на поверхности Венеры.

Дано:

Средняя плотность Венеры, $\rho = 5200 \text{ кг/м}^3$
Радиус Венеры, $R_{в} = 6100 \text{ км}$
Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Переведем радиус в систему СИ:
$R_{в} = 6100 \text{ км} = 6100 \times 10^3 \text{ м} = 6.1 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения на поверхности Венеры, $g_{в}$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения: $g = \frac{GM}{R^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $R$ — ее радиус.

В условии задачи масса Венеры ($M_{в}$) не указана, но даны ее средняя плотность $\rho$ и радиус $R_{в}$. Массу можно выразить через эти величины. Масса тела равна произведению его плотности на объем: $M = \rho V$

Принимая форму Венеры за шар, ее объем $V_{в}$ можно вычислить по формуле: $V_{в} = \frac{4}{3}\pi R_{в}^3$

Теперь выразим массу Венеры: $M_{в} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_{в}^3$

Подставим это выражение для массы в исходную формулу для ускорения свободного падения: $g_{в} = \frac{G \cdot (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_{в}^3)}{R_{в}^2}$

После сокращения $R_{в}^2$ в числителе и знаменателе, получаем рабочую формулу: $g_{в} = \frac{4}{3}\pi G \rho R_{в}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчет: $g_{в} = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (5200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot (6.1 \cdot 10^6 \text{ м})$

$g_{в} \approx 1.333 \cdot 3.14 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5200 \cdot 6.1 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$g_{в} \approx (1.333 \cdot 3.14 \cdot 6.67 \cdot 5200 \cdot 6.1) \cdot 10^{-11+6} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$g_{в} \approx 885611 \cdot 10^{-5} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 8.86 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Венеры составляет примерно $8.86 \text{ м/с}^2$.