Номер 175, страница 29 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

175. Два тела одинаковой массы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, притягиваются с силой $F_1$. Какой станет сила притяжения $F_2$, если, не изменяя расстояния между телами, половину массы первого тела перенести на второе?

Дано:

Масса первого тела (начальная): $m_1 = m$
Масса второго тела (начальная): $m_2 = m$
Расстояние между телами: $r$
Сила притяжения (начальная): $F_1$
Масса первого тела (конечная): $m'_1 = m_1 - \frac{1}{2} m_1 = \frac{1}{2} m$
Масса второго тела (конечная): $m'_2 = m_2 + \frac{1}{2} m_1 = m + \frac{1}{2} m = \frac{3}{2} m$
Расстояние между телами (конечное): $r' = r$

Найти:

$F_2$ - конечная сила притяжения.

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{m_a m_b}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $m_a$ и $m_b$ — массы тел, а $r$ — расстояние между ними.

В начальный момент времени сила притяжения $F_1$ между двумя телами одинаковой массы $m$ на расстоянии $r$ равна: $F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}$.

После того как половину массы первого тела перенесли на второе, массы тел изменились. Расстояние между телами осталось прежним. Новые массы тел: $m'_1 = m - \frac{1}{2}m = \frac{1}{2}m$
$m'_2 = m + \frac{1}{2}m = \frac{3}{2}m$

Теперь найдем новую силу притяжения $F_2$ с новыми массами $m'_1$ и $m'_2$ на том же расстоянии $r$: $F_2 = G \frac{m'_1 m'_2}{r^2} = G \frac{(\frac{1}{2}m) \cdot (\frac{3}{2}m)}{r^2} = G \frac{\frac{3}{4}m^2}{r^2} = \frac{3}{4} G \frac{m^2}{r^2}$.

Чтобы найти, как изменилась сила, выразим $F_2$ через $F_1$. Мы знаем, что $F_1 = G \frac{m^2}{r^2}$. Подставим это выражение в формулу для $F_2$: $F_2 = \frac{3}{4} \left( G \frac{m^2}{r^2} \right) = \frac{3}{4} F_1$.

Таким образом, новая сила притяжения составит $\frac{3}{4}$ или $0.75$ от первоначальной силы.

Ответ: $F_2 = \frac{3}{4} F_1$.