Номер 177, страница 29 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

177. Средний радиус планеты Меркурий 2420 км, а ускорение свободного падения на планете $3,72 \text{ м/с}^2$. Найти массу Меркурия.

Дано:

Средний радиус Меркурия, $R = 2420 \text{ км}$
Ускорение свободного падения, $g = 3.72 \text{ м/с}^2$

Найти:

Массу Меркурия, $M$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты связано с ее массой $M$ и радиусом $R$ через закон всемирного тяготения. Сила тяжести, действующая на тело массой $m$ на поверхности планеты, равна силе гравитационного притяжения, которую можно выразить через массу планеты.

Сила тяжести по второму закону Ньютона: $F_{тяж} = m \cdot g$.

Сила гравитационного притяжения по закону всемирного тяготения: $F_{грав} = G \frac{M \cdot m}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, равная приблизительно $6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$.

Приравнивая эти два выражения для силы, получаем:

$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Сократив массу тела $m$, получим формулу для ускорения свободного падения на поверхности планеты:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы выразим массу планеты $M$:

$M = \frac{g \cdot R^2}{G}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$M = \frac{3.72 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (2.42 \times 10^6 \text{ м})^2}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

$M = \frac{3.72 \cdot (2.42)^2 \cdot (10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3.72 \cdot 5.8564 \cdot 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \text{ кг}$

$M = \frac{21.785808}{6.67} \times 10^{12 - (-11)} \text{ кг} \approx 3.266 \times 10^{23} \text{ кг}$

Округляя результат до трех значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$M \approx 3.27 \times 10^{23} \text{ кг}$

Ответ: масса Меркурия составляет приблизительно $3.27 \times 10^{23} \text{ кг}$.