Номер 173, страница 29 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

173. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 100 раз меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона: $ F = G \frac{M m}{r^2} $, где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ и $m$ - массы взаимодействующих тел, а $r$ - расстояние между их центрами масс.

Обозначим силу притяжения космического корабля к Земле на ее поверхности как $F_1$. В этом случае расстояние между центром Земли и кораблем равно радиусу Земли $R_З$. $ F_1 = G \frac{M_З m}{R_З^2} $, где $M_З$ - масса Земли, а $m$ - масса корабля.

Обозначим силу притяжения корабля на искомом расстоянии $h$ от поверхности Земли как $F_2$. В этом случае расстояние от центра Земли до корабля будет равно $r = R_З + h$. $ F_2 = G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} $

Согласно условию задачи, сила притяжения на высоте $h$ должна быть в 100 раз меньше силы притяжения на поверхности: $ F_1 = 100 \cdot F_2 $

Подставим в это соотношение выражения для сил $F_1$ и $F_2$: $ G \frac{M_З m}{R_З^2} = 100 \cdot G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} $

Мы можем сократить одинаковые множители ($G$, $M_З$, $m$) в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю: $ \frac{1}{R_З^2} = \frac{100}{(R_З + h)^2} $

Преобразуем уравнение, чтобы выразить $(R_З + h)^2$: $ (R_З + h)^2 = 100 R_З^2 $

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, мы рассматриваем только арифметический корень: $ R_З + h = \sqrt{100 R_З^2} $ $ R_З + h = 10 R_З $

Выразим искомую высоту $h$: $ h = 10 R_З - R_З $ $ h = 9 R_З $

Таким образом, искомое расстояние равно девяти радиусам Земли. Примем средний радиус Земли равным $R_З \approx 6400$ км и вычислим численное значение $h$: $ h = 9 \cdot 6400 \text{ км} = 57600 \text{ км} $

Ответ: сила притяжения космического корабля к Земле станет в 100 раз меньше, чем на поверхности, на расстоянии 57600 км от поверхности Земли.