Номер 167, страница 29 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

167* Жёсткость одной пружины равна $k_1$, а другой — $k_2$. Какова жёсткость пружины ($k$), составленной из этих пружин, соединённых последовательно?

Дано:

Жесткость первой пружины: $k_1$.

Жесткость второй пружины: $k_2$.

Пружины соединены последовательно.

Найти:

Общую (эквивалентную) жесткость системы пружин: $k$.

Решение:

При последовательном соединении пружин сила упругости, возникающая в каждой пружине, одинакова и равна внешней силе $F$, приложенной ко всей системе. Таким образом, $F_1 = F_2 = F$.

Согласно закону Гука, удлинение каждой пружины связано с действующей на нее силой и ее жесткостью. Для первой и второй пружин удлинения $x_1$ и $x_2$ будут равны:

$x_1 = \frac{F}{k_1}$

$x_2 = \frac{F}{k_2}$

Общее удлинение всей системы $x$ равно сумме удлинений каждой из пружин:

$x = x_1 + x_2$

Подставим выражения для удлинений $x_1$ и $x_2$ в это уравнение:

$x = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2}$

Вынесем общий множитель $F$ за скобки:

$x = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

С другой стороны, для всей системы, которую мы рассматриваем как одну пружину с эквивалентной жесткостью $k$, по закону Гука можно записать:

$F = kx$

Из этого соотношения выразим общее удлинение $x$:

$x = \frac{F}{k}$

Теперь приравняем два полученных выражения для общего удлинения $x$:

$\frac{F}{k} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Поскольку для деформации системы требуется приложить ненулевую силу ($F \neq 0$), мы можем сократить $F$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Эта формула показывает, что при последовательном соединении складываются величины, обратные жесткостям. Чтобы получить явную формулу для $k$, приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{k} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$

Наконец, выразим $k$, "перевернув" обе части равенства:

$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Ответ: общая жесткость пружины, составленной из двух пружин, соединенных последовательно, определяется по формуле $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.