Страница 29 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

166. Жёсткость данного куска проволоки равна $k$. Чему равна жёсткость половины этого куска проволоки? Ответ обосновать.

Дано:

Жесткость целого куска проволоки - $k$

Длина целого куска проволоки - $L_1$

Длина половины куска проволоки - $L_2 = \frac{L_1}{2}$

Найти:

Жесткость половины куска проволоки - $k_2$

Решение:

Жесткость $k$ упругого стержня (проволоки) зависит от его геометрических размеров и материала. Эта зависимость выражается формулой:

$k = \frac{E \cdot S}{L_0}$

где:

• $E$ - модуль Юнга, который характеризует упругие свойства материала проволоки.
• $S$ - площадь поперечного сечения проволоки.
• $L_0$ - начальная длина проволоки.

Для исходного куска проволоки длиной $L_1$ жесткость равна:

$k = \frac{E \cdot S}{L_1}$

Теперь рассмотрим половину этого куска. Его длина $L_2 = \frac{L_1}{2}$. Так как это та же самая проволока, материал (модуль Юнга $E$) и площадь поперечного сечения $S$ остались неизменными. Жесткость этого нового, более короткого куска проволоки $k_2$ будет равна:

$k_2 = \frac{E \cdot S}{L_2}$

Подставим в эту формулу значение $L_2$:

$k_2 = \frac{E \cdot S}{L_1 / 2} = 2 \cdot \frac{E \cdot S}{L_1}$

Поскольку мы знаем, что $\frac{E \cdot S}{L_1} = k$, мы можем заменить это выражение в формуле для $k_2$:

$k_2 = 2k$

Таким образом, жесткость половины куска проволоки в два раза больше жесткости целого куска.

Это можно также обосновать по-другому. Представим исходную проволоку как две одинаковые пружины (половины проволоки) с жесткостью $k_2$ каждая, соединенные последовательно. Общая жесткость $k$ при последовательном соединении находится по формуле:

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_2} = \frac{2}{k_2}$

Из этого соотношения выразим $k_2$:

$k_2 = 2k$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Жесткость половины куска проволоки равна $2k$.

167* Жёсткость одной пружины равна $k_1$, а другой — $k_2$. Какова жёсткость пружины ($k$), составленной из этих пружин, соединённых последовательно?

Дано:

Жесткость первой пружины: $k_1$.

Жесткость второй пружины: $k_2$.

Пружины соединены последовательно.

Найти:

Общую (эквивалентную) жесткость системы пружин: $k$.

Решение:

При последовательном соединении пружин сила упругости, возникающая в каждой пружине, одинакова и равна внешней силе $F$, приложенной ко всей системе. Таким образом, $F_1 = F_2 = F$.

Согласно закону Гука, удлинение каждой пружины связано с действующей на нее силой и ее жесткостью. Для первой и второй пружин удлинения $x_1$ и $x_2$ будут равны:

$x_1 = \frac{F}{k_1}$

$x_2 = \frac{F}{k_2}$

Общее удлинение всей системы $x$ равно сумме удлинений каждой из пружин:

$x = x_1 + x_2$

Подставим выражения для удлинений $x_1$ и $x_2$ в это уравнение:

$x = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2}$

Вынесем общий множитель $F$ за скобки:

$x = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

С другой стороны, для всей системы, которую мы рассматриваем как одну пружину с эквивалентной жесткостью $k$, по закону Гука можно записать:

$F = kx$

Из этого соотношения выразим общее удлинение $x$:

$x = \frac{F}{k}$

Теперь приравняем два полученных выражения для общего удлинения $x$:

$\frac{F}{k} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Поскольку для деформации системы требуется приложить ненулевую силу ($F \neq 0$), мы можем сократить $F$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Эта формула показывает, что при последовательном соединении складываются величины, обратные жесткостям. Чтобы получить явную формулу для $k$, приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{k} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$

Наконец, выразим $k$, "перевернув" обе части равенства:

$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Ответ: общая жесткость пружины, составленной из двух пружин, соединенных последовательно, определяется по формуле $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.

168. Найти удлинение буксирного троса жёсткостью $100 \text{ кН/м}$ при буксировке автомобиля массой $2 \text{ т}$ с ускорением $0,5 \text{ м/с}^2$. Трением пренебречь.

Дано:

Жесткость троса $k = 100 \text{ кН/м}$
Масса автомобиля $m = 2 \text{ т}$
Ускорение $a = 0.5 \text{ м/с²}$

Перевод в систему СИ:
$k = 100 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 10^5 \text{ Н/м}$
$m = 2 \cdot 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$

Найти:

Удлинение троса $\Delta l$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона и законом Гука.

Согласно второму закону Ньютона, сила $F$, которая сообщает автомобилю ускорение $a$, равна:

$F = m \cdot a$

По условию, трением можно пренебречь, поэтому эта сила является силой упругости, возникающей в буксирном тросе. Сила упругости определяется законом Гука:

$F = k \cdot \Delta l$

где $k$ — жесткость троса, а $\Delta l$ — его абсолютное удлинение.

Приравнивая два выражения для силы, получаем:

$m \cdot a = k \cdot \Delta l$

Из этого соотношения выражаем искомое удлинение $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{m \cdot a}{k}$

Подставим значения величин в системе СИ и вычислим результат:

$\Delta l = \frac{2000 \text{ кг} \cdot 0.5 \text{ м/с²}}{10^5 \text{ Н/м}} = \frac{1000 \text{ Н}}{100000 \text{ Н/м}} = 0.01 \text{ м}$

Результат можно также представить в сантиметрах: $0.01 \text{ м} = 1 \text{ см}$.

Ответ: $0.01 \text{ м}$.

169. Космический корабль массой 8 т приблизился к орбитальной космической станции массой 20 т на расстояние 100 м. Найти силу их взаимного притяжения.

Дано:

Масса космического корабля $m_1 = 8$ т

Масса орбитальной станции $m_2 = 20$ т

Расстояние между объектами $r = 100$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Найти:

Силу взаимного притяжения $F$.

Решение:

Для нахождения силы взаимного притяжения между космическим кораблем и станцией используется закон всемирного тяготения Ньютона, который описывается следующей формулой:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $r$ — расстояние между их центрами масс.

Подставим числовые значения в систему СИ в данную формулу:

$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(8 \cdot 10^3 \text{ кг}) \cdot (2 \cdot 10^4 \text{ кг})}{(100 \text{ м})^2}$

Теперь выполним математические вычисления:

$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{16 \cdot 10^7}{(10^2)^2} \, \text{Н}$

$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{16 \cdot 10^7}{10^4} \, \text{Н}$

$F = 6.67 \cdot 16 \cdot 10^{-11} \cdot 10^{7-4} \, \text{Н}$

$F = 106.72 \cdot 10^{-8} \, \text{Н}$

Представим полученное значение в стандартном виде, округлив до трех значащих цифр:

$F \approx 1.07 \cdot 10^2 \cdot 10^{-8} \, \text{Н} = 1.07 \cdot 10^{-6} \, \text{Н}$

Ответ: сила их взаимного притяжения составляет приблизительно $1.07 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$.

170. Оценить порядок значения силы взаимного притяжения двух кораблей, удалённых друг от друга на 100 м, если масса каждого из них 10 000 т.

Дано:

Найти:

Решение:

Для оценки порядка значения силы взаимного притяжения двух кораблей воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $F$ – сила притяжения, $m_1$ и $m_2$ – массы кораблей, $r$ – расстояние между ними, а $G$ – гравитационная постоянная, значение которой составляет примерно $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$.

Подставим данные, переведенные в систему СИ, в формулу:

$F = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{10^7 \text{ кг} \times 10^7 \text{ кг}}{(100 \text{ м})^2}$

Выполним вычисления. Сначала посчитаем степени десяти:

$\frac{10^7 \times 10^7}{(10^2)^2} = \frac{10^{14}}{10^4} = 10^{10}$

Теперь подставим это обратно в выражение для силы:

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 10^{10} \text{ Н}$

$F = 6.67 \times 10^{-1} \text{ Н}$

$F = 0.667 \text{ Н}$

Полученное значение силы составляет примерно $0.67 \text{ Н}$. Так как это число находится в диапазоне от $0.1$ до $1$, порядок значения силы притяжения составляет $10^0$ Н.

Ответ: $F \approx 0.67 \text{ Н}$.

171. Найти силу гравитационного взаимодействия Земли и Луны (см. табл. 14).

Дано:

Для решения задачи воспользуемся справочными данными, так как таблица 14, указанная в условии, недоступна. Все значения представлены в системе СИ.
Масса Земли: $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг
Масса Луны: $M_Л \approx 7.35 \cdot 10^{22}$ кг
Среднее расстояние между центрами Земли и Луны: $R \approx 3.84 \cdot 10^8$ м
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти:

Силу гравитационного взаимодействия $F$.

Решение:

Сила гравитационного взаимодействия между двумя объектами определяется законом всемирного тяготения Ньютона, который выражается следующей формулой:

$F = G \frac{M_З \cdot M_Л}{R^2}$

где $F$ — искомая сила, $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ и $M_Л$ — массы Земли и Луны соответственно, а $R$ — расстояние между их центрами.

Подставим известные значения в формулу:

$F \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{5.97 \cdot 10^{24} \cdot 7.35 \cdot 10^{22}}{(3.84 \cdot 10^8)^2}$

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычислим произведение масс Земли и Луны:

$M_З \cdot M_Л \approx (5.97 \cdot 7.35) \cdot 10^{(24+22)} \approx 43.88 \cdot 10^{46}$ кг²

2. Вычислим квадрат расстояния между ними:

$R^2 \approx (3.84)^2 \cdot (10^8)^2 \approx 14.75 \cdot 10^{16}$ м²

3. Подставим полученные значения обратно в основную формулу:

$F \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{43.88 \cdot 10^{46}}{14.75 \cdot 10^{16}}$

4. Произведем деление и последующее умножение:

$F \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot (2.975 \cdot 10^{30}) \approx 19.84 \cdot 10^{19}$ Н

Представим результат в стандартном виде (одна значащая цифра до запятой):

$F \approx 1.984 \cdot 10^{20}$ Н

Округлим до двух знаков после запятой.

Ответ: $F \approx 1.98 \cdot 10^{20}$ Н.

172. Во сколько раз уменьшится сила притяжения к Земле космического корабля при его удалении от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли; пяти радиусам Земли?

Дано:

$h_1 = R_З$ — высота удаления от поверхности Земли в первом случае, где $R_З$ — радиус Земли.
$h_2 = 5R_З$ — высота удаления от поверхности Земли во втором случае.

Найти:

$\frac{F_0}{F_1}$ — ?
$\frac{F_0}{F_2}$ — ?

Решение:

Сила гравитационного притяжения, действующая на космический корабль, определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_З \cdot m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса космического корабля, а $r$ — расстояние между центром Земли и кораблем.

Когда корабль находится на поверхности Земли, расстояние от его центра до центра Земли равно радиусу Земли $R_З$. Сила притяжения в этом начальном положении ($F_0$) равна:

$F_0 = G \frac{M_З \cdot m}{R_З^2}$

Рассмотрим два случая, описанные в задаче.

на расстояние, равное радиусу Земли

Космический корабль удаляется от поверхности Земли на высоту $h_1 = R_З$. Новое расстояние от центра Земли до корабля $r_1$ составит:

$r_1 = R_З + h_1 = R_З + R_З = 2R_З$

Сила притяжения на этой высоте ($F_1$) будет равна:

$F_1 = G \frac{M_З \cdot m}{r_1^2} = G \frac{M_З \cdot m}{(2R_З)^2} = G \frac{M_З \cdot m}{4R_З^2}$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась сила притяжения, найдем отношение начальной силы $F_0$ к новой силе $F_1$:

$\frac{F_0}{F_1} = \frac{G \frac{M_З \cdot m}{R_З^2}}{G \frac{M_З \cdot m}{4R_З^2}} = \frac{1/R_З^2}{1/(4R_З^2)} = \frac{4R_З^2}{R_З^2} = 4$

Ответ: сила притяжения уменьшится в 4 раза.

пяти радиусам Земли

Космический корабль удаляется от поверхности Земли на высоту $h_2 = 5R_З$. Новое расстояние от центра Земли до корабля $r_2$ составит:

$r_2 = R_З + h_2 = R_З + 5R_З = 6R_З$

Сила притяжения на этой высоте ($F_2$) будет равна:

$F_2 = G \frac{M_З \cdot m}{r_2^2} = G \frac{M_З \cdot m}{(6R_З)^2} = G \frac{M_З \cdot m}{36R_З^2}$

Найдем отношение начальной силы $F_0$ к новой силе $F_2$:

$\frac{F_0}{F_2} = \frac{G \frac{M_З \cdot m}{R_З^2}}{G \frac{M_З \cdot m}{36R_З^2}} = \frac{1/R_З^2}{1/(36R_З^2)} = \frac{36R_З^2}{R_З^2} = 36$

Ответ: сила притяжения уменьшится в 36 раз.

173. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 100 раз меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона: $ F = G \frac{M m}{r^2} $, где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ и $m$ - массы взаимодействующих тел, а $r$ - расстояние между их центрами масс.

Обозначим силу притяжения космического корабля к Земле на ее поверхности как $F_1$. В этом случае расстояние между центром Земли и кораблем равно радиусу Земли $R_З$. $ F_1 = G \frac{M_З m}{R_З^2} $, где $M_З$ - масса Земли, а $m$ - масса корабля.

Обозначим силу притяжения корабля на искомом расстоянии $h$ от поверхности Земли как $F_2$. В этом случае расстояние от центра Земли до корабля будет равно $r = R_З + h$. $ F_2 = G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} $

Согласно условию задачи, сила притяжения на высоте $h$ должна быть в 100 раз меньше силы притяжения на поверхности: $ F_1 = 100 \cdot F_2 $

Подставим в это соотношение выражения для сил $F_1$ и $F_2$: $ G \frac{M_З m}{R_З^2} = 100 \cdot G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} $

Мы можем сократить одинаковые множители ($G$, $M_З$, $m$) в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю: $ \frac{1}{R_З^2} = \frac{100}{(R_З + h)^2} $

Преобразуем уравнение, чтобы выразить $(R_З + h)^2$: $ (R_З + h)^2 = 100 R_З^2 $

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, мы рассматриваем только арифметический корень: $ R_З + h = \sqrt{100 R_З^2} $ $ R_З + h = 10 R_З $

Выразим искомую высоту $h$: $ h = 10 R_З - R_З $ $ h = 9 R_З $

Таким образом, искомое расстояние равно девяти радиусам Земли. Примем средний радиус Земли равным $R_З \approx 6400$ км и вычислим численное значение $h$: $ h = 9 \cdot 6400 \text{ км} = 57600 \text{ км} $

Ответ: сила притяжения космического корабля к Земле станет в 100 раз меньше, чем на поверхности, на расстоянии 57600 км от поверхности Земли.

174. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?

Дано:

Расстояние между центрами Земли и Луны $R = 60 R_З$, где $R_З$ - радиус Земли.
Соотношение масс Земли и Луны $M_З = 81 M_Л$, где $M_З$ - масса Земли, $M_Л$ - масса Луны.
Сила притяжения тела к Земле $F_З$ равна силе притяжения к Луне $F_Л$.

Найти:

Расстояние $x$ от центра Земли до точки, в которой силы притяжения со стороны Земли и Луны равны.

Решение:

Пусть $m$ - масса тела, находящегося на отрезке, соединяющем центры Земли и Луны. Обозначим искомое расстояние от центра Земли до этого тела как $x$. Тогда расстояние от центра Луны до тела будет равно $R - x$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения тела к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) выражаются формулами:

$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{x^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - x)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

По условию задачи, эти силы равны:

$F_З = F_Л$

Подставим выражения для сил в это равенство:

$G \frac{M_З \cdot m}{x^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - x)^2}$

Сократим в уравнении одинаковые множители $G$ и $m$:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R - x)^2}$

Теперь подставим известные из условия соотношения: $M_З = 81 M_Л$ и $R = 60 R_З$.

$\frac{81 M_Л}{x^2} = \frac{M_Л}{(60 R_З - x)^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$:

$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(60 R_З - x)^2}$

Чтобы решить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как расстояния $x$ и $(60 R_З - x)$ по смыслу задачи должны быть положительными, мы рассматриваем только положительные значения корней:

$\sqrt{\frac{81}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{(60 R_З - x)^2}}$

$\frac{9}{x} = \frac{1}{60 R_З - x}$

Решим полученное уравнение относительно $x$ с помощью перекрестного умножения:

$9 \cdot (60 R_З - x) = x$

$540 R_З - 9x = x$

$540 R_З = 10x$

$x = \frac{540 R_З}{10} = 54 R_З$

Таким образом, точка, в которой силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешиваются, находится на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.

Ответ: Тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковой силой в точке на отрезке, соединяющем их центры, на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.

175. Два тела одинаковой массы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, притягиваются с силой $F_1$. Какой станет сила притяжения $F_2$, если, не изменяя расстояния между телами, половину массы первого тела перенести на второе?

Дано:

Масса первого тела (начальная): $m_1 = m$
Масса второго тела (начальная): $m_2 = m$
Расстояние между телами: $r$
Сила притяжения (начальная): $F_1$
Масса первого тела (конечная): $m'_1 = m_1 - \frac{1}{2} m_1 = \frac{1}{2} m$
Масса второго тела (конечная): $m'_2 = m_2 + \frac{1}{2} m_1 = m + \frac{1}{2} m = \frac{3}{2} m$
Расстояние между телами (конечное): $r' = r$

Найти:

$F_2$ - конечная сила притяжения.

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{m_a m_b}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $m_a$ и $m_b$ — массы тел, а $r$ — расстояние между ними.

В начальный момент времени сила притяжения $F_1$ между двумя телами одинаковой массы $m$ на расстоянии $r$ равна: $F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}$.

После того как половину массы первого тела перенесли на второе, массы тел изменились. Расстояние между телами осталось прежним. Новые массы тел: $m'_1 = m - \frac{1}{2}m = \frac{1}{2}m$
$m'_2 = m + \frac{1}{2}m = \frac{3}{2}m$

Теперь найдем новую силу притяжения $F_2$ с новыми массами $m'_1$ и $m'_2$ на том же расстоянии $r$: $F_2 = G \frac{m'_1 m'_2}{r^2} = G \frac{(\frac{1}{2}m) \cdot (\frac{3}{2}m)}{r^2} = G \frac{\frac{3}{4}m^2}{r^2} = \frac{3}{4} G \frac{m^2}{r^2}$.

Чтобы найти, как изменилась сила, выразим $F_2$ через $F_1$. Мы знаем, что $F_1 = G \frac{m^2}{r^2}$. Подставим это выражение в формулу для $F_2$: $F_2 = \frac{3}{4} \left( G \frac{m^2}{r^2} \right) = \frac{3}{4} F_1$.

Таким образом, новая сила притяжения составит $\frac{3}{4}$ или $0.75$ от первоначальной силы.

Ответ: $F_2 = \frac{3}{4} F_1$.

176. Каково ускорение свободного падения на высоте, равной $R_З/2$ от поверхности Земли?

Дано:

Высота над поверхностью Земли: $h = \frac{R_З}{2}$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$
$R_З$ - радиус Земли

Найти:

Ускорение свободного падения на высоте $h$ - $g$.

Решение:

Ускорение свободного падения $g$, создаваемое планетой массой $M$ на расстоянии $r$ от её центра, определяется законом всемирного тяготения: $g = G\frac{M}{r^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли ($r = R_З$), и ускорение свободного падения равно $g_0$: $g_0 = G\frac{M}{R_З^2}$

На высоте $h$ от поверхности Земли расстояние до центра планеты составляет $r = R_З + h$. Согласно условию задачи, высота $h = \frac{R_З}{2}$. Подставим это значение в выражение для $r$: $r = R_З + \frac{R_З}{2} = \frac{3}{2}R_З = 1.5 R_З$

Теперь найдем ускорение свободного падения $g$ на этой высоте, подставив новое расстояние $r$ в основную формулу: $g = G\frac{M}{(1.5 R_З)^2} = G\frac{M}{2.25 R_З^2}$

Для того чтобы выразить $g$ через известное значение $g_0$, сгруппируем множители: $g = \frac{1}{2.25} \left( G\frac{M}{R_З^2} \right)$ Выражение в скобках равно $g_0$, следовательно: $g = \frac{1}{2.25} g_0$

Представим десятичную дробь $2.25$ в виде обыкновенной: $2.25 = \frac{9}{4}$. Тогда соотношение примет вид: $g = \frac{1}{9/4} g_0 = \frac{4}{9} g_0$

Подставим стандартное значение ускорения свободного падения на поверхности Земли $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ и произведем расчет: $g = \frac{4}{9} \times 9.8 \, \text{м/с}^2 \approx 4.355... \, \text{м/с}^2$

Округлим результат до десятых: $g \approx 4.4 \, \text{м/с}^2$

Ответ: $g \approx 4.4 \, \text{м/с}^2$.

177. Средний радиус планеты Меркурий 2420 км, а ускорение свободного падения на планете $3,72 \text{ м/с}^2$. Найти массу Меркурия.

Дано:

Средний радиус Меркурия, $R = 2420 \text{ км}$
Ускорение свободного падения, $g = 3.72 \text{ м/с}^2$

Найти:

Массу Меркурия, $M$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты связано с ее массой $M$ и радиусом $R$ через закон всемирного тяготения. Сила тяжести, действующая на тело массой $m$ на поверхности планеты, равна силе гравитационного притяжения, которую можно выразить через массу планеты.

Сила тяжести по второму закону Ньютона: $F_{тяж} = m \cdot g$.

Сила гравитационного притяжения по закону всемирного тяготения: $F_{грав} = G \frac{M \cdot m}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, равная приблизительно $6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$.

Приравнивая эти два выражения для силы, получаем:

$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Сократив массу тела $m$, получим формулу для ускорения свободного падения на поверхности планеты:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы выразим массу планеты $M$:

$M = \frac{g \cdot R^2}{G}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$M = \frac{3.72 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (2.42 \times 10^6 \text{ м})^2}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

$M = \frac{3.72 \cdot (2.42)^2 \cdot (10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3.72 \cdot 5.8564 \cdot 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}} \text{ кг}$

$M = \frac{21.785808}{6.67} \times 10^{12 - (-11)} \text{ кг} \approx 3.266 \times 10^{23} \text{ кг}$

Округляя результат до трех значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$M \approx 3.27 \times 10^{23} \text{ кг}$

Ответ: масса Меркурия составляет приблизительно $3.27 \times 10^{23} \text{ кг}$.