Страница 28 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

159. Два мальчика растягивают резиновый жгут, прикрепив к его концам динамометры. Когда жгут удлинился на $2 \text{ см}$, динамометры показывали силы по $20 \text{ Н}$ каждый. Какова жёсткость жгута? Каковы показания динамометров при растяжении жгута на $6 \text{ см}$?

Дано:

Начальное удлинение жгута, $\Delta l_1 = 2 \, \text{см}$
Сила, измеряемая динамометрами, $F_1 = 20 \, \text{Н}$
Конечное удлинение жгута, $\Delta l_2 = 6 \, \text{см}$

Перевод в систему СИ:
$\Delta l_1 = 2 \, \text{см} = 0.02 \, \text{м}$
$\Delta l_2 = 6 \, \text{см} = 0.06 \, \text{м}$

Найти:

Жесткость жгута $k - ?$
Показания динамометров при растяжении на 6 см $F_2 - ?$

Решение:

Какова жёсткость жгута?

Для упругой деформации, какой является растяжение резинового жгута, справедлив закон Гука. Он гласит, что сила упругости, возникающая в теле при деформации, пропорциональна его удлинению:

$F_{упр} = k \cdot \Delta l$

где $F_{упр}$ — сила упругости, $k$ — коэффициент жесткости материала, а $\Delta l$ — абсолютное удлинение.

Динамометры, прикрепленные к концам жгута, измеряют силу натяжения. Когда жгут находится в равновесии, сила натяжения, приложенная к нему, равна по модулю силе упругости, возникающей в жгуте. Важно понимать, что каждый динамометр показывает одну и ту же силу натяжения, которая действует вдоль всего жгута. Таким образом, сила, растягивающая жгут, равна $F_1 = 20 \, \text{Н}$.

Из закона Гука мы можем выразить коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{\Delta l_1}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$k = \frac{20 \, \text{Н}}{0.02 \, \text{м}} = 1000 \, \text{Н/м}$

Ответ: Жесткость жгута составляет 1000 Н/м.

Каковы показания динамометров при растяжении жгута на 6 см?

Жесткость жгута $k$ является его постоянной характеристикой (пока деформация остается упругой). Мы можем использовать найденное значение $k$ для определения силы натяжения $F_2$ при новом удлинении $\Delta l_2 = 6 \, \text{см} = 0.06 \, \text{м}$.

Снова применяем закон Гука:

$F_2 = k \cdot \Delta l_2$

Подставим значения:

$F_2 = 1000 \, \text{Н/м} \cdot 0.06 \, \text{м} = 60 \, \text{Н}$

Полученное значение силы $F_2$ — это сила натяжения жгута при его растяжении на 6 см. Следовательно, каждый из динамометров будет показывать эту силу.

Ответ: При растяжении жгута на 6 см показания динамометров будут равны 60 Н.

160. Какие силы надо приложить к концам проволоки, жёсткость которой 100 кН/м, чтобы растянуть её на 1 мм?

160. Дано:

Жёсткость проволоки, $k = 100 \text{ кН/м}$
Растяжение (удлинение), $\Delta x = 1 \text{ мм}$

$k = 100 \text{ кН/м} = 100 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 100000 \text{ Н/м}$
$\Delta x = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.001 \text{ м}$

Найти:

Сила $F$ — ?

Решение:

Для определения силы, необходимой для растяжения проволоки, используется закон Гука. Этот закон устанавливает прямую пропорциональность между силой упругости, возникающей в деформированном теле, и величиной его деформации (растяжения или сжатия). Сила, которую нужно приложить к телу, чтобы вызвать деформацию, по модулю равна силе упругости.

Формула закона Гука:

$F = k \cdot \Delta x$

где:

• $F$ — приложенная сила (в Ньютонах, Н)
• $k$ — коэффициент жёсткости проволоки (в Ньютонах на метр, Н/м)
• $\Delta x$ — абсолютное удлинение проволоки (в метрах, м)

Все данные уже переведены в систему СИ, поэтому можно подставить их в формулу и произвести вычисление.

$F = 100000 \text{ Н/м} \cdot 0.001 \text{ м} = 100 \text{ Н}$

Это означает, что к каждому концу проволоки нужно приложить силу в 100 Н, направленную во внешнюю сторону вдоль оси проволоки.

Ответ: чтобы растянуть проволоку на 1 мм, необходимо приложить к её концам силы по 100 Н.

161. На сколько удлинится рыболовная леска жёсткостью $0,5 \text{ кН/м}$ при поднятии вертикально вверх рыбы массой $200 \text{ г}$?

Дано:

$k = 0,5 \text{ кН/м}$

$m = 200 \text{ г}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Перевод в систему СИ:

$k = 0,5 \text{ кН/м} = 0,5 \cdot 1000 \text{ Н/м} = 500 \text{ Н/м}$

$m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

$\Delta l$ — ?

Решение:

При поднятии рыбы на леске возникает сила упругости, которая уравновешивает силу тяжести, действующую на рыбу. Сила тяжести (вес рыбы) рассчитывается по формуле:

$P = m \cdot g$

где $m$ — масса рыбы, $g$ — ускорение свободного падения.

Согласно закону Гука, сила упругости $F_{упр}$, возникающая в леске при её растяжении, прямо пропорциональна удлинению $\Delta l$:

$F_{упр} = k \cdot \Delta l$

где $k$ — жёсткость лески.

Поскольку рыба поднимается вертикально (будем считать, что равномерно или удерживается в неподвижном состоянии), сила упругости равна по модулю силе тяжести:

$F_{упр} = P$

Приравнивая правые части выражений для сил, получаем:

$k \cdot \Delta l = m \cdot g$

Отсюда можем выразить искомое удлинение лески $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{m \cdot g}{k}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta l = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{500 \text{ Н/м}} = \frac{2 \text{ Н}}{500 \text{ Н/м}} = 0,004 \text{ м}$

Результат можно выразить в миллиметрах для наглядности:

$0,004 \text{ м} = 4 \text{ мм}$

Ответ: рыболовная леска удлинится на $4 \text{ мм}$.

162.Спиральная цилиндрическая пружина передней подвески колёс автомобиля «Жигули» имеет длину в свободном состоянии 360 мм и под действием силы 4,35 кН должна сжиматься до 230 мм. Пружина задней подвески колёс имеет длину 442 мм и под действием силы 4,4 кН сжимается до 273 мм. Найти жёсткость пружин.

Дано:

Для пружины передней подвески:
Длина в свободном состоянии $l_{01} = 360 \text{ мм}$
Длина в сжатом состоянии $l_1 = 230 \text{ мм}$
Сила сжатия $F_1 = 4,35 \text{ кН}$

Для пружины задней подвески:
Длина в свободном состоянии $l_{02} = 442 \text{ мм}$
Длина в сжатом состоянии $l_2 = 273 \text{ мм}$
Сила сжатия $F_2 = 4,4 \text{ кН}$

$l_{01} = 0,360 \text{ м}$
$l_1 = 0,230 \text{ м}$
$F_1 = 4350 \text{ Н}$
$l_{02} = 0,442 \text{ м}$
$l_2 = 0,273 \text{ м}$
$F_2 = 4400 \text{ Н}$

Найти:

$k_1$ — жесткость пружины передней подвески,
$k_2$ — жесткость пружины задней подвески.

Решение:

Жесткость пружины определяется на основе закона Гука. Закон Гука гласит, что сила упругости $F_{упр}$, возникающая в пружине при деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации $|\Delta l|$. Внешняя сила $F$, вызывающая деформацию, по модулю равна силе упругости.

$F = F_{упр} = k \cdot |\Delta l|$

Из этой формулы можно выразить коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F}{|\Delta l|}$

Деформация (сжатие) пружины $|\Delta l|$ вычисляется как разность между её длиной в свободном состоянии $l_0$ и длиной в сжатом состоянии $l$:

$|\Delta l| = l_0 - l$

Рассчитаем жесткость для каждой пружины.

Жесткость пружины передней подвески

1. Вычислим величину сжатия передней пружины:

$|\Delta l_1| = l_{01} - l_1 = 0,360 \text{ м} - 0,230 \text{ м} = 0,130 \text{ м}$

2. Рассчитаем коэффициент жесткости $k_1$:

$k_1 = \frac{F_1}{|\Delta l_1|} = \frac{4350 \text{ Н}}{0,130 \text{ м}} \approx 33461,5 \text{ Н/м}$

Округляя результат до трех значащих цифр (согласно данным задачи), получаем $k_1 \approx 33500 \text{ Н/м}$.

Ответ: жесткость пружины передней подвески составляет $33500 \text{ Н/м}$ или $33,5 \text{ кН/м}$.

Жесткость пружины задней подвески

1. Вычислим величину сжатия задней пружины:

$|\Delta l_2| = l_{02} - l_2 = 0,442 \text{ м} - 0,273 \text{ м} = 0,169 \text{ м}$

2. Рассчитаем коэффициент жесткости $k_2$:

$k_2 = \frac{F_2}{|\Delta l_2|} = \frac{4400 \text{ Н}}{0,169 \text{ м}} \approx 26035,5 \text{ Н/м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (по наименьшей точности исходных данных, $F_2 = 4,4 \text{ кН}$), получаем $k_2 \approx 26000 \text{ Н/м}$.

Ответ: жесткость пружины задней подвески составляет $26000 \text{ Н/м}$ или $26 \text{ кН/м}$.

163. Две пружины разной длины, скреплённые одними концами, растягивают за свободные концы руками. Пружина жёсткостью 100 Н/м удлинилась на 5 см. Какова жёсткость второй пружины, если её удлинение равно 1 см?

Дано:

Жёсткость первой пружины, $k_1 = 100$ Н/м
Удлинение первой пружины, $\Delta x_1 = 5$ см
Удлинение второй пружины, $\Delta x_2 = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$\Delta x_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$\Delta x_2 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Жёсткость второй пружины, $k_2$

Решение:

Две пружины, скреплённые одними концами и растягиваемые за свободные, представляют собой систему последовательно соединённых пружин. При последовательном соединении сила упругости, возникающая в каждой пружине, одинакова и равна силе, растягивающей всю систему. Обозначим эту силу как $F$.

Согласно закону Гука, сила упругости $F$ пропорциональна удлинению пружины $\Delta x$ и её жёсткости $k$: $F = k \cdot \Delta x$

Для первой пружины сила упругости равна: $F_1 = k_1 \cdot \Delta x_1$

Для второй пружины сила упругости равна: $F_2 = k_2 \cdot \Delta x_2$

Так как пружины соединены последовательно, силы, действующие на них, равны: $F_1 = F_2$

Приравнивая выражения для сил, получаем: $k_1 \cdot \Delta x_1 = k_2 \cdot \Delta x_2$

Из этого равенства выразим искомую жёсткость второй пружины $k_2$: $k_2 = \frac{k_1 \cdot \Delta x_1}{\Delta x_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $k_2 = \frac{100 \text{ Н/м} \cdot 0.05 \text{ м}}{0.01 \text{ м}} = \frac{5 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 500 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость второй пружины равна 500 Н/м.

164. На рисунке 28 представлены графики зависимости удлинения от модуля приложенной силы для стальной 1 и медной 2 проволок равной длины и диаметра. Сравнить жёсткости проволок.

Рис. 28

Дано:

График зависимости удлинения $x$ от модуля приложенной силы $F$ для стальной проволоки (1) и медной проволоки (2).
Длины проволок равны: $L_1 = L_2$.
Диаметры проволок равны: $d_1 = d_2$.

Найти:

Сравнить жёсткости проволок $k_1$ (стальной) и $k_2$ (медной).

Решение:

Жёсткость тела $k$ связывает приложенную к нему силу $F$ и вызванное этой силой удлинение $x$ через закон Гука:

$F = k \cdot x$

Из этой формулы можно выразить коэффициент жёсткости:

$k = \frac{F}{x}$

Чтобы сравнить жёсткости двух проволок, воспользуемся представленным графиком. Выберем на оси сил (горизонтальная ось) произвольное значение силы $F_0$ и посмотрим, какие удлинения будут у каждой из проволок при приложении этой силы.

Проведя вертикальную линию от значения $F_0$ до пересечения с графиками 1 и 2, мы найдем соответствующие удлинения $x_1$ и $x_2$ на вертикальной оси.

Из графика видно, что для одной и той же силы $F_0$ удлинение медной проволоки (график 2) больше удлинения стальной проволоки (график 1):

$x_2 > x_1$

Теперь запишем выражения для жёсткости каждой проволоки при силе $F_0$:

Жёсткость стальной проволоки: $k_1 = \frac{F_0}{x_1}$

Жёсткость медной проволоки: $k_2 = \frac{F_0}{x_2}$

Сравним полученные выражения. Поскольку числители ($F_0$) в обеих дробях одинаковы, а знаменатель $x_2$ больше знаменателя $x_1$, то значение дроби для $k_1$ будет больше, чем значение дроби для $k_2$.

$\frac{F_0}{x_1} > \frac{F_0}{x_2}$, следовательно, $k_1 > k_2$.

Это означает, что стальная проволока является более жёсткой, так как для её растяжения на такую же величину, как и медную, требуется приложить большую силу.

Ответ: Жёсткость стальной проволоки больше жёсткости медной проволоки: $k_1 > k_2$.

165. На рисунке 29 приведён график зависимости длины резинового жгута от модуля приложенной к нему силы. Найти жёсткость жгута.

Рис. 29

Дано:

На рисунке 29 представлен график зависимости длины резинового жгута $l$ от модуля приложенной к нему силы $F$.

Все величины на графике указаны в единицах системы СИ: длина $l$ в метрах (м), сила $F$ в Ньютонах (Н).

Найти:

Жёсткость жгута $k$.

Решение:

Для упругой деформации справедлив закон Гука, который связывает силу упругости $F_{упр}$ и абсолютное удлинение тела $\Delta l$:

$F_{упр} = k \cdot |\Delta l|$

где $k$ — это коэффициент жёсткости.

В нашем случае модуль приложенной внешней силы $F$ равен модулю силы упругости $F_{упр}$. Удлинение жгута $\Delta l$ — это разница между его текущей длиной $l$ и начальной (в недеформированном состоянии) длиной $l_0$.

$\Delta l = l - l_0$

Таким образом, закон Гука можно записать в виде:

$F = k \cdot (l - l_0)$

Выразим из этого уравнения зависимость длины $l$ от силы $F$:

$l - l_0 = \frac{F}{k}$

$l(F) = l_0 + \frac{1}{k}F$

Это уравнение представляет собой линейную функцию вида $y = b + mx$, где $y=l$, $x=F$, $b = l_0$ (начальная длина), а угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $m = \frac{1}{k}$.

Следовательно, жёсткость $k$ можно вычислить как величину, обратную тангенсу угла наклона графика $l(F)$:

$k = \frac{1}{m} = \frac{\Delta F}{\Delta l} = \frac{F_2 - F_1}{l_2 - l_1}$

Для расчёта возьмём две любые точки на графике. Удобно выбирать точки на пересечении линий сетки.

Из графика находим первую точку: при силе $F_1 = 0$ Н, длина жгута $l_1 = 1$ м. Это начальная длина жгута $l_0$.

Найдём вторую точку. По оси абсцисс (силы) цена одного деления составляет 1 Н. По оси ординат (длины) цена деления не указана, но мы видим, что при $F=4$ Н график поднимается на 2 деления. Примем, что при $F_2 = 4$ Н длина стала $l_2 = 1.2$ м. Тогда одно деление по вертикали соответствует $0.1$ м. Проверим: при $F=2$ Н длина должна быть $l=1.1$ м, что соответствует графику. Следовательно, вторая точка имеет координаты: $F_2 = 4$ Н, $l_2 = 1.2$ м.

Теперь подставим значения в формулу для жёсткости:

$k = \frac{4 \text{ Н} - 0 \text{ Н}}{1.2 \text{ м} - 1.0 \text{ м}} = \frac{4 \text{ Н}}{0.2 \text{ м}} = 20 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость жгута равна 20 Н/м.