Страница 23 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

120. На стержне (рис. 22), вращающемся с некоторой частотой, два стальных шарика разных размеров, связанные нерастяжимой нитью, не скользят вдоль стержня при определённом соотношении радиусов $R_1$ и $R_2$. Каково соотношение масс шариков, если $R_2 = 2R_1$?

Рис. 22

Дано

Два стальных шарика на вращающемся стержне, связанные нитью.

Соотношение радиусов вращения: $R_2 = 2R_1$.

Шарики находятся в покое относительно стержня.

Найти:

Соотношение масс шариков $\frac{m_1}{m_2}$.

Решение

Когда стержень вращается с угловой скоростью $\omega$, на каждый из шариков действует центробежная сила инерции, направленная радиально от оси вращения. Обозначим массы шариков, находящихся на расстояниях $R_1$ и $R_2$ от оси вращения, как $m_1$ и $m_2$ соответственно.

Центробежная сила, действующая на первый шарик, равна:

$F_1 = m_1 \omega^2 R_1$

Центробежная сила, действующая на второй шарик, равна:

$F_2 = m_2 \omega^2 R_2$

Согласно условию задачи, шарики связаны нерастяжимой нитью, перекинутой через блок на оси вращения. Шарики не скользят вдоль стержня, что означает, что система находится в равновесии. Равновесие достигается, когда центробежные силы, действующие на шарики, уравновешивают друг друга через натяжение нити. Это возможно только если величины этих сил равны.

$F_1 = F_2$

Подставим выражения для центробежных сил в это равенство:

$m_1 \omega^2 R_1 = m_2 \omega^2 R_2$

Поскольку оба шарика вращаются вместе со стержнем, их угловые скорости $\omega$ одинаковы. Мы можем сократить $\omega^2$ в обеих частях уравнения:

$m_1 R_1 = m_2 R_2$

Из этого соотношения выразим искомое отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_2}{R_1}$

По условию задачи дано, что $R_2 = 2R_1$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2R_1}{R_1}$

Сократив $R_1$, получаем окончательный результат:

$\frac{m_1}{m_2} = 2$

Ответ: соотношение масс шариков равно 2, то есть масса шарика, находящегося на меньшем расстоянии от оси вращения ($R_1$), в два раза больше массы шарика, находящегося на большем расстоянии ($R_2$).

121. Маневровый тепловоз массой 100 т толкнул покоящийся вагон. Во время взаимодействия ускорение вагона было в 5 раз больше ускорения тепловоза. Какова масса вагона?

Дано:

Масса тепловоза $m_т = 100 \text{ т} = 100 \cdot 1000 \text{ кг} = 100000 \text{ кг}$.
Ускорение вагона $a_в$ в 5 раз больше ускорения тепловоза $a_т$, то есть $a_в = 5 \cdot a_т$.

Найти:

$m_в$ — ?

Решение:

Во время взаимодействия (столкновения) тепловоз и вагон действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Это следует из третьего закона Ньютона. Обозначим модуль этой силы как $F$.

$F_т = F_в = F$

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение ($F=ma$). Запишем этот закон для тепловоза и вагона:

Для тепловоза: $F = m_т \cdot a_т$

Для вагона: $F = m_в \cdot a_в$

Поскольку силы, действующие на тела, равны по модулю, мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$m_т \cdot a_т = m_в \cdot a_в$

Из условия задачи нам известно, что $a_в = 5 \cdot a_т$. Подставим это соотношение в наше уравнение:

$m_т \cdot a_т = m_в \cdot (5 \cdot a_т)$

Так как ускорение тепловоза $a_т$ не равно нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $a_т$:

$m_т = 5 \cdot m_в$

Теперь выразим массу вагона $m_в$:

$m_в = \frac{m_т}{5}$

Подставим известное значение массы тепловоза:

$m_в = \frac{100 \text{ т}}{5} = 20 \text{ т}$

Переведем массу в систему СИ (килограммы):

$m_в = 20 \text{ т} = 20 \cdot 1000 \text{ кг} = 20000 \text{ кг}$

Ответ: масса вагона составляет 20 т (или 20000 кг).

122. Найти отношение модулей ускорений двух стальных шаров во время столкновения, если радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Зависит ли ответ задачи от начальных скоростей шаров?

Дано

Два стальных шара.

Радиус первого шара: $R_1$

Радиус второго шара: $R_2$

Соотношение радиусов: $R_1 = 2R_2$

Плотность материала шаров: $\rho_1 = \rho_2 = \rho$

Найти:

Отношение модулей ускорений $\frac{a_1}{a_2}$ или $\frac{a_2}{a_1}$ - ?

Зависит ли ответ от начальных скоростей шаров?

Решение

Во время столкновения шары взаимодействуют друг с другом с силами, которые по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим модуль этой силы как $F$.

$F_1 = F_2 = F$

где $F_1$ — модуль силы, действующей на первый шар, а $F_2$ — модуль силы, действующей на второй шар.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает каждому шару ускорение:

$F = m_1 a_1$

$F = m_2 a_2$

где $m_1$ и $a_1$ — масса и модуль ускорения первого шара, а $m_2$ и $a_2$ — масса и модуль ускорения второго шара.

Так как силы, действующие на шары, равны, мы можем приравнять правые части уравнений:

$m_1 a_1 = m_2 a_2$

Из этого соотношения можно выразить отношение модулей ускорений:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{m_1}{m_2}$

Масса шара определяется его объемом $V$ и плотностью материала $\rho$. Так как оба шара стальные, их плотность одинакова. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Масса первого шара: $m_1 = \rho V_1 = \rho \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Масса второго шара: $m_2 = \rho V_2 = \rho \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Теперь найдем отношение масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho \frac{4}{3}\pi R_1^3}{\rho \frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

По условию задачи, радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго, то есть $R_1 = 2R_2$. Подставим это соотношение в формулу для отношения масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{2R_2}{R_2}\right)^3 = 2^3 = 8$

Следовательно, отношение модулей ускорений равно:

$\frac{a_2}{a_1} = 8$

Это означает, что модуль ускорения второго (меньшего) шара в 8 раз больше модуля ускорения первого (большего) шара. Отношение модуля ускорения первого шара к модулю ускорения второго будет, соответственно, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{8}$.

Ответ на второй вопрос: из полученной формулы $\frac{a_2}{a_1} = \frac{m_1}{m_2}$ видно, что отношение ускорений зависит только от отношения масс шаров. Начальные скорости шаров определяют, произойдет ли столкновение и какой будет величина сил взаимодействия (а следовательно, и самих ускорений), но на их отношение они не влияют. Таким образом, ответ задачи не зависит от начальных скоростей шаров.

Ответ: отношение модуля ускорения меньшего шара к модулю ускорения большего шара равно 8. Ответ не зависит от начальных скоростей шаров.

123. Найти отношение модулей ускорений двух шаров одинакового радиуса во время взаимодействия, если первый шар сделан из стали, а второй из свинца.

Дано:

Первый шар (1): сталь
Второй шар (2): свинец
Радиусы шаров: $R_1 = R_2 = R$
Плотность стали: $\rho_{ст} = 7800 \text{ кг/м³}$
Плотность свинца: $\rho_{св} = 11300 \text{ кг/м³}$

Найти:

Отношение модулей ускорений шаров $\frac{a_1}{a_2}$.

Решение:

Во время взаимодействия двух шаров, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие на каждый из шаров, равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим модуль этой силы как $F$.

$| \vec{F_1} | = | \vec{F_2} | = F$

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Запишем этот закон для каждого шара:

Для стального шара (1): $F = m_1 a_1$
Для свинцового шара (2): $F = m_2 a_2$

Приравнивая правые части этих уравнений, получаем:

$m_1 a_1 = m_2 a_2$

Из этого соотношения выразим искомое отношение модулей ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Как видно, отношение ускорений обратно пропорционально отношению масс. Массу каждого шара можно выразить через его плотность ($\rho$) и объем ($V$): $m = \rho V$.

Масса стального шара: $m_1 = \rho_{ст} V_1$
Масса свинцового шара: $m_2 = \rho_{св} V_2$

Поскольку по условию задачи радиусы шаров одинаковы ($R_1 = R_2 = R$), то их объемы также равны: $V_1 = V_2 = V$, где $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим выражения для масс в формулу для отношения ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\rho_{св} V}{\rho_{ст} V}$

Сократив объемы $V$, получим:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\rho_{св}}{\rho_{ст}}$

Теперь подставим числовые значения плотностей стали и свинца:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{11300 \text{ кг/м³}}{7800 \text{ кг/м³}} = \frac{113}{78} \approx 1.45$

Ответ: отношение модуля ускорения стального шара к модулю ускорения свинцового шара составляет примерно 1.45.

124. При столкновении двух тележек, движущихся по горизонтальной плоскости, проекция вектора скорости первой тележки на ось X изменилась от 3 до 1 м/с, а проекция вектора скорости второй тележки на ту же ось изменилась от –1 до +1 м/с. Ось X связана с землёй, расположена горизонтально, и её положительное направление совпадает с направлением вектора начальной скорости первой тележки. Описать движения тележек до и после взаимодействия. Сравнить массы тележек.

Описать движения тележек до и после взаимодействия.

Для описания движения воспользуемся данными из условия. Ось X направлена горизонтально, и ее положительное направление совпадает с начальным направлением движения первой тележки.

Движение до взаимодействия:
Проекция скорости первой тележки на ось X положительна ($v_{1x, нач} = 3$ м/с), значит, она движется в положительном направлении оси X со скоростью 3 м/с.
Проекция скорости второй тележки на ось X отрицательна ($v_{2x, нач} = -1$ м/с), значит, она движется в отрицательном направлении оси X (то есть навстречу первой тележке) со скоростью 1 м/с.

Движение после взаимодействия:
Проекция скорости первой тележки на ось X остается положительной, но уменьшается ($v_{1x, кон} = 1$ м/с). Это значит, что первая тележка продолжает двигаться в том же направлении, но с меньшей скоростью 1 м/с.
Проекция скорости второй тележки на ось X становится положительной ($v_{2x, кон} = 1$ м/с). Это значит, что вторая тележка изменила направление своего движения на противоположное и теперь движется в положительном направлении оси X со скоростью 1 м/с.

Так как после столкновения скорости обеих тележек одинаковы по модулю и направлению, они движутся вместе как одно целое. Такое столкновение является абсолютно неупругим.

Ответ: До столкновения тележки двигались навстречу друг другу: первая в положительном направлении оси X со скоростью 3 м/с, а вторая — в отрицательном направлении со скоростью 1 м/с. После столкновения обе тележки стали двигаться вместе в положительном направлении оси X со скоростью 1 м/с.

Сравнить массы тележек.

Дано:
Проекция начальной скорости первой тележки: $v_{1i} = 3$ м/с
Проекция конечной скорости первой тележки: $v_{1f} = 1$ м/с
Проекция начальной скорости второй тележки: $v_{2i} = -1$ м/с
Проекция конечной скорости второй тележки: $v_{2f} = 1$ м/с
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
Сравнить массы тележек $m_1$ и $m_2$.

Решение:
Рассмотрим систему, состоящую из двух тележек. Так как они движутся по горизонтальной плоскости, а силы трения и сопротивления воздуха не учитываются, систему можно считать замкнутой. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса. Запишем закон сохранения импульса для проекций на ось X: сумма проекций импульсов тележек до взаимодействия равна сумме проекций импульсов после взаимодействия.

$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$

Подставим в уравнение числовые значения проекций скоростей из условия задачи:

$m_1 \cdot 3 + m_2 \cdot (-1) = m_1 \cdot 1 + m_2 \cdot 1$

Упростим полученное выражение:

$3m_1 - m_2 = m_1 + m_2$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $m_1$, в левой части уравнения, а слагаемые, содержащие $m_2$, — в правой:

$3m_1 - m_1 = m_2 + m_2$

$2m_1 = 2m_2$

Разделив обе части равенства на 2, получим:

$m_1 = m_2$

Ответ: Массы тележек равны.

125. Два тела массами 400 и 600 г двигались навстречу друг другу и после удара остановились. Какова скорость второго тела, если первое двигалось со скоростью 3 м/с?

Дано:

Масса первого тела, $m_1 = 400 \text{ г}$
Масса второго тела, $m_2 = 600 \text{ г}$
Скорость первого тела до удара, $v_1 = 3 \text{ м/с}$
Скорость тел после удара, $u = 0 \text{ м/с}$

Переведем массы в систему СИ:
$m_1 = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$
$m_2 = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$

Найти:

Скорость второго тела до удара, $v_2$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Система, состоящая из двух тел, является замкнутой, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) уравновешивают друг друга, а во время удара внутренние силы значительно превосходят любые внешние неуравновешенные силы (например, трение).

Закон сохранения импульса гласит, что суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным. Запишем это утверждение для нашей системы до и после столкновения: $p_{до} = p_{после}$

Импульс системы до столкновения равен векторной сумме импульсов двух тел: $\vec{p}_{до} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$

По условию, после удара оба тела остановились. Это значит, что их конечная скорость равна нулю, и, следовательно, суммарный импульс системы после столкновения также равен нулю: $\vec{p}_{после} = (m_1 + m_2)\vec{u} = 0$

Приравнивая импульсы до и после столкновения, получаем: $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = 0$

Для решения выберем ось координат ОХ, направленную в сторону движения первого тела. Тогда проекция скорости первого тела на эту ось будет положительной: $v_{1x} = v_1$. Так как второе тело двигалось навстречу первому, проекция его скорости будет отрицательной: $v_{2x} = -v_2$, где $v_2$ — искомый модуль скорости второго тела.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось ОХ: $m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $v_2$: $m_2 v_2 = m_1 v_1$ $v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу: $v_2 = \frac{0.4 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с}}{0.6 \text{ кг}} = \frac{1.2}{0.6} \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: скорость второго тела была равна 2 м/с.

126. Вагон массой 60 т подходит к неподвижной платформе со скоростью 0,3 м/с и ударяет её буферами, после чего платформа получает скорость 0,4 м/с. Какова масса платформы, если после удара скорость вагона уменьшилась до 0,2 м/с?

Дано:

$m_1 = 60 \text{ т}$
$v_1 = 0,3 \text{ м/с}$
$v_2 = 0 \text{ м/с}$
$v'_1 = 0,2 \text{ м/с}$
$v'_2 = 0,4 \text{ м/с}$

$m_1 = 60 \text{ т} = 60 \cdot 1000 \text{ кг} = 60000 \text{ кг}$

Найти:

$m_2$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Система, состоящая из вагона и платформы, является замкнутой, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, а силой трения можно пренебречь по сравнению с силами удара.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме: $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v'_1} + m_2\vec{v'_2}$

Выберем ось $OX$, направленную по начальному движению вагона. Так как все скорости направлены в одну сторону, проекции векторов на эту ось будут равны их модулям: $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2$

Поскольку платформа до удара была неподвижна, её начальная скорость $v_2 = 0$. Уравнение принимает вид: $m_1v_1 = m_1v'_1 + m_2v'_2$

Выразим из этого уравнения массу платформы $m_2$: $m_2v'_2 = m_1v_1 - m_1v'_1$ $m_2v'_2 = m_1(v_1 - v'_1)$ $m_2 = \frac{m_1(v_1 - v'_1)}{v'_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $m_2 = \frac{60000 \text{ кг} \cdot (0,3 \text{ м/с} - 0,2 \text{ м/с})}{0,4 \text{ м/с}} = \frac{60000 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с}}{0,4 \text{ м/с}} = \frac{6000}{0,4} \text{ кг} = 15000 \text{ кг}$

Переведем массу в тонны: $15000 \text{ кг} = 15 \text{ т}$.

Ответ: масса платформы равна $15000 \text{ кг}$ (или $15 \text{ т}$).

127. Мяч после удара футболиста летит вертикально вверх. Указать и сравнить силы, действующие на мяч:

а) в момент удара;

б) во время полёта мяча вверх;

в) во время полёта мяча вниз;

г) при ударе о землю.

Решение

Проанализируем силы, действующие на мяч на каждом этапе его движения. Во всех случаях мы будем учитывать силу тяжести и, при необходимости, силу сопротивления воздуха и силы, возникающие при контакте (удар). Сила тяжести $F_{тяж}$ всегда направлена вертикально вниз и по модулю равна $mg$, где $m$ — масса мяча, а $g$ — ускорение свободного падения.

а) в момент удара

В момент удара ногой футболиста на мяч действуют две основные силы:

1. Сила удара $F_{удар}$ со стороны ноги, направленная вертикально вверх. Эта сила очень велика по модулю, но действует очень короткое время.

2. Сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз.

Для того чтобы мяч полетел вверх, то есть приобрел начальную скорость, направленную вверх, равнодействующая этих сил должна быть направлена вверх. Это означает, что сила удара должна быть значительно больше силы тяжести: $F_{удар} > F_{тяж}$. Силой сопротивления воздуха в этот краткий момент можно пренебречь, так как скорость мяча только начинает возрастать, и эта сила значительно меньше силы удара.

Ответ: На мяч действуют сила удара $F_{удар}$ (вверх) и сила тяжести $F_{тяж}$ (вниз). По модулю $F_{удар} \gg F_{тяж}$.

б) во время полета мяча вверх

После того как мяч оторвался от ноги, сила удара на него больше не действует. На мяч, движущийся вверх, действуют:

1. Сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, которая всегда направлена против скорости движения. Так как мяч летит вверх, сила сопротивления направлена вниз.

Обе силы, сила тяжести и сила сопротивления воздуха, направлены в одну сторону — вниз. Их равнодействующая $F_{равн} = F_{тяж} + F_{сопр}$ также направлена вниз и вызывает замедление движения мяча. Сила тяжести постоянна, а сила сопротивления воздуха уменьшается по мере подъема мяча, так как его скорость падает.

Ответ: На мяч действуют сила тяжести $F_{тяж}$ и сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$. Обе силы направлены вертикально вниз.

в) во время полета мяча вниз

Когда мяч достиг максимальной высоты и начал падать, на него действуют:

1. Сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, направленная против скорости движения. Так как мяч летит вниз, сила сопротивления направлена вверх.

Силы направлены в противоположные стороны. Равнодействующая сила $F_{равн} = F_{тяж} - F_{сопр}$ направлена вниз (пока мяч не достигнет предельной скорости, при которой $F_{тяж} = F_{сопр}$) и сообщает мячу ускорение. По мере падения скорость мяча растет, а значит, растет и сила сопротивления воздуха.

Ответ: На мяч действуют сила тяжести $F_{тяж}$ (вниз) и сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$ (вверх). По модулю $F_{тяж} \ge F_{сопр}$.

г) при ударе о землю

В момент удара о землю на мяч действуют:

1. Сила реакции опоры $N$ со стороны земли, направленная вертикально вверх. Эта сила очень велика по модулю и действует короткое время, приводя к остановке мяча (или его отскоку).

2. Сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз.

Чтобы погасить скорость мяча, направленную вниз, равнодействующая сил должна быть направлена вверх. Следовательно, сила реакции опоры должна быть значительно больше силы тяжести: $N > F_{тяж}$. Силой сопротивления воздуха в этот момент можно пренебречь по сравнению с огромной силой реакции опоры.

Ответ: На мяч действуют сила реакции опоры $N$ (вверх) и сила тяжести $F_{тяж}$ (вниз). По модулю $N \gg F_{тяж}$.