Номер 122, страница 23 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

7. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта. Масса тел. Сила. Равнодействующая нескольких сил. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 122, страница 23.

Условие.

122. Найти отношение модулей ускорений двух стальных шаров во время столкновения, если радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Зависит ли ответ задачи от начальных скоростей шаров?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано

Два стальных шара.

Радиус первого шара: $R_1$

Радиус второго шара: $R_2$

Соотношение радиусов: $R_1 = 2R_2$

Плотность материала шаров: $\rho_1 = \rho_2 = \rho$

Найти:

Отношение модулей ускорений $\frac{a_1}{a_2}$ или $\frac{a_2}{a_1}$ - ?

Зависит ли ответ от начальных скоростей шаров?

Решение

Во время столкновения шары взаимодействуют друг с другом с силами, которые по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим модуль этой силы как $F$.

$F_1 = F_2 = F$

где $F_1$ — модуль силы, действующей на первый шар, а $F_2$ — модуль силы, действующей на второй шар.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает каждому шару ускорение:

$F = m_1 a_1$

$F = m_2 a_2$

где $m_1$ и $a_1$ — масса и модуль ускорения первого шара, а $m_2$ и $a_2$ — масса и модуль ускорения второго шара.

Так как силы, действующие на шары, равны, мы можем приравнять правые части уравнений:

$m_1 a_1 = m_2 a_2$

Из этого соотношения можно выразить отношение модулей ускорений:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{m_1}{m_2}$

Масса шара определяется его объемом $V$ и плотностью материала $\rho$. Так как оба шара стальные, их плотность одинакова. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Масса первого шара: $m_1 = \rho V_1 = \rho \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Масса второго шара: $m_2 = \rho V_2 = \rho \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Теперь найдем отношение масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho \frac{4}{3}\pi R_1^3}{\rho \frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

По условию задачи, радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго, то есть $R_1 = 2R_2$. Подставим это соотношение в формулу для отношения масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{2R_2}{R_2}\right)^3 = 2^3 = 8$

Следовательно, отношение модулей ускорений равно:

$\frac{a_2}{a_1} = 8$

Это означает, что модуль ускорения второго (меньшего) шара в 8 раз больше модуля ускорения первого (большего) шара. Отношение модуля ускорения первого шара к модулю ускорения второго будет, соответственно, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{8}$.

Ответ на второй вопрос: из полученной формулы $\frac{a_2}{a_1} = \frac{m_1}{m_2}$ видно, что отношение ускорений зависит только от отношения масс шаров. Начальные скорости шаров определяют, произойдет ли столкновение и какой будет величина сил взаимодействия (а следовательно, и самих ускорений), но на их отношение они не влияют. Таким образом, ответ задачи не зависит от начальных скоростей шаров.

Ответ: отношение модуля ускорения меньшего шара к модулю ускорения большего шара равно 8. Ответ не зависит от начальных скоростей шаров.