Страница 26 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

146. Мяч массой $0,5 \text{ кг}$ после удара, длящегося $0,02 \text{ с}$, приобретает скорость $10 \text{ м/с}$. Найти среднюю силу удара.

Дано:

Масса мяча, $m = 0,5$ кг
Длительность удара, $\Delta t = 0,02$ с
Начальная скорость мяча, $v_0 = 0$ м/с
Конечная скорость мяча, $v = 10$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Среднюю силу удара, $F$ — ?

Решение:

Для нахождения средней силы удара воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме. Этот закон гласит, что импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса этого тела.

Формула импульса силы: $F \cdot \Delta t$

Формула изменения импульса тела: $\Delta p = p - p_0 = m \cdot v - m \cdot v_0$

Приравняем эти два выражения:

$F \cdot \Delta t = m \cdot v - m \cdot v_0$

По условию задачи, мяч до удара покоился, следовательно, его начальная скорость $v_0 = 0$ м/с. Тогда формула упрощается:

$F \cdot \Delta t = m \cdot v$

Теперь выразим среднюю силу удара $F$ из этого уравнения:

$F = \frac{m \cdot v}{\Delta t}$

Подставим в формулу числовые значения из условия и выполним расчет:

$F = \frac{0,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{0,02 \text{ с}} = \frac{5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,02 \text{ с}} = 250 \text{ Н}$

Ответ: средняя сила удара равна 250 Н.

147. Боевая реактивная установка БМ-13 («катюша») имела длину направляющих балок 5 м, массу каждого снаряда 42,5 кг и силу реактивной тяги 19,6 кН. Найти скорость схода снаряда с направляющей балки.

Дано

Длина направляющих балок (путь): $S = 5 \text{ м}$
Масса снаряда: $m = 42,5 \text{ кг}$
Сила реактивной тяги: $F = 19,6 \text{ кН} = 19,6 \cdot 10^3 \text{ Н} = 19600 \text{ Н}$
Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость схода снаряда с направляющей балки: $v$

Решение

Движение снаряда по направляющим балкам можно рассматривать как равноускоренное движение под действием постоянной силы тяги. Для нахождения конечной скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Эта теорема гласит, что работа $A$, совершённая равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению его кинетической энергии $\Delta E_k$.

Мы пренебрегаем силой трения и сопротивлением воздуха, поэтому единственной силой, совершающей работу в направлении движения, является сила реактивной тяги $F$. Работа этой силы на пути $S$ вычисляется по формуле:

$A = F \cdot S$

Изменение кинетической энергии равно разности конечной и начальной кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k} - E_{k0} = \frac{m v^2}{2} - \frac{m v_0^2}{2}$

Поскольку снаряд начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$, следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$. Тогда изменение кинетической энергии равно:

$\Delta E_k = \frac{m v^2}{2}$

Согласно теореме, приравниваем работу и изменение кинетической энергии:

$A = \Delta E_k$

$F \cdot S = \frac{m v^2}{2}$

Из этого соотношения выразим искомую скорость $v$:

$v^2 = \frac{2 F S}{m}$

$v = \sqrt{\frac{2 F S}{m}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 19600 \text{ Н} \cdot 5 \text{ м}}{42,5 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{196000 \text{ Дж}}{42,5 \text{ кг}}} \approx \sqrt{4611,76 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 67,9 \text{ м/с}$

Ответ: скорость схода снаряда с направляющей балки равна примерно $67,9 \text{ м/с}$.

148. Порожнему прицепу тягач сообщает ускорение $a_1 = 0,4 \text{ м/с}^2$, а гружёному — $a_2 = 0,1 \text{ м/с}^2$. Какое ускорение сообщит тягач обоим прицепам, соединённым вместе? Силу тяги тягача считать во всех случаях одинаковой.

Дано:

Ускорение порожнего прицепа $a_1 = 0,4 \text{ м/с}^2$

Ускорение гружёного прицепа $a_2 = 0,1 \text{ м/с}^2$

Сила тяги $F$ во всех случаях одинакова.

Все предоставленные данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

Ускорение $a_3$ двух прицепов, соединённых вместе.

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона, который гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение: $F = ma$.

Пусть $m_1$ — это масса порожнего прицепа, а $m_2$ — масса гружёного прицепа. Сила тяги тягача $F$ по условию является постоянной величиной.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из трех случаев.

1. Движение порожнего прицепа:

$F = m_1 a_1$

2. Движение гружёного прицепа:

$F = m_2 a_2$

Из этих уравнений мы можем выразить массы каждого прицепа через силу тяги и соответствующие ускорения:

$m_1 = \frac{F}{a_1}$

$m_2 = \frac{F}{a_2}$

3. Движение двух прицепов, соединённых вместе. Их общая масса будет равна сумме масс $M = m_1 + m_2$. На эту систему действует та же сила тяги $F$, сообщая ей искомое ускорение $a_3$:

$F = (m_1 + m_2)a_3$

Теперь подставим выражения для масс $m_1$ и $m_2$ в последнее уравнение:

$F = \left(\frac{F}{a_1} + \frac{F}{a_2}\right) a_3$

Так как сила тяги $F$ не равна нулю, мы можем сократить на нее обе части уравнения:

$1 = \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}\right) a_3$

Из этого соотношения выразим искомое ускорение $a_3$:

$a_3 = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}}$

Для удобства вычислений преобразуем выражение, приведя дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$a_3 = \frac{1}{\frac{a_2 + a_1}{a_1 a_2}} = \frac{a_1 a_2}{a_1 + a_2}$

Подставим числовые значения, данные в условии задачи:

$a_3 = \frac{0,4 \cdot 0,1}{0,4 + 0,1} = \frac{0,04}{0,5} = 0,08 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение, которое тягач сообщит обоим прицепам, соединённым вместе, равно $0,08 \text{ м/с}^2$.

149. Под действием некоторой силы тележка, двигаясь из состояния покоя, прошла путь 40 см. Когда на тележку положили груз массой 200 г, то под действием той же силы за то же время тележка прошла из состояния покоя путь 20 см. Какова масса тележки?

Дано:

$s_1 = 0.4 \text{ м}$

$s_2 = 0.2 \text{ м}$

$m_{гр} = 0.2 \text{ кг}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

$m_{т}$

Решение:

Запишем уравнения движения для двух случаев. Поскольку тележка начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) под действием постоянной силы $F$, ее движение будет равноускоренным. Путь при равноускоренном движении без начальной скорости вычисляется по формуле:

$s = \frac{at^2}{2}$

где $a$ — ускорение, а $t$ — время движения.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение связано с силой $F$ и массой $m$ следующим образом:

$a = \frac{F}{m}$

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

В первом случае движется только тележка массой $m_т$. Ее ускорение $a_1 = \frac{F}{m_т}$. За время $t$ она проходит путь $s_1$:

$s_1 = \frac{a_1 t^2}{2} = \frac{F t^2}{2 m_т}$ (1)

Во втором случае движется тележка с грузом, общая масса системы составляет $m_т + m_{гр}$. Ускорение системы $a_2 = \frac{F}{m_т + m_{гр}}$. За то же время $t$ система проходит путь $s_2$:

$s_2 = \frac{a_2 t^2}{2} = \frac{F t^2}{2 (m_т + m_{гр})}$ (2)

В обоих случаях сила $F$ и время движения $t$ одинаковы. Разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить неизвестные $F$ и $t$:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{\frac{F t^2}{2 m_т}}{\frac{F t^2}{2 (m_т + m_{гр})}}$

Сократив дробь, получим:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{m_т + m_{гр}}{m_т}$

Это соотношение показывает, что при постоянной силе и времени движения пройденный путь обратно пропорционален массе. Теперь выразим из этого уравнения искомую массу тележки $m_т$:

$s_1 \cdot m_т = s_2 \cdot (m_т + m_{гр})$

$s_1 m_т = s_2 m_т + s_2 m_{гр}$

$s_1 m_т - s_2 m_т = s_2 m_{гр}$

$m_т (s_1 - s_2) = s_2 m_{гр}$

$m_т = \frac{s_2 \cdot m_{гр}}{s_1 - s_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$m_т = \frac{0.2 \text{ м} \cdot 0.2 \text{ кг}}{0.4 \text{ м} - 0.2 \text{ м}} = \frac{0.04}{0.2} \text{ кг} = 0.2 \text{ кг}$

Масса тележки составляет 0.2 кг, что равно 200 г.

Ответ: масса тележки равна 200 г.

150. На рисунке 24 представлен график зависимости проекции скорости от времени тела массой 2 кг. Найти проекцию силы $F_x$, действующей на тело на каждом этапе движения.

Дано:

Найти:

Решение:

Для нахождения проекции силы, действующей на тело, воспользуемся вторым законом Ньютона в проекции на ось X:

$F_x = m \cdot a_x$

Проекцию ускорения $a_x$ на каждом этапе движения можно найти по графику как изменение скорости за промежуток времени:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_{kx} - v_{0x}}{t_k - t_0}$

Разобьем движение на три этапа, согласно графику.

1. Этап движения на интервале времени от 0 с до 5 с.

На этом участке тело движется равноускоренно. Начальная скорость $v_{0x} = 0$ м/с, конечная скорость $v_{kx} = 10$ м/с.

Найдем проекцию ускорения:

$a_{x1} = \frac{10 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{5 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем проекцию силы, действующей на тело:

$F_{x1} = m \cdot a_{x1} = 2 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}^2 = 4 \text{ Н}$

Ответ: на первом этапе проекция силы равна $4$ Н.

2. Этап движения на интервале времени от 5 с до 10 с.

На этом участке скорость тела постоянна ($v_x = 10$ м/с), следовательно, движение равномерное.

Ускорение тела равно нулю:

$a_{x2} = 0 \text{ м/с}^2$

Найдем проекцию силы:

$F_{x2} = m \cdot a_{x2} = 2 \text{ кг} \cdot 0 \text{ м/с}^2 = 0 \text{ Н}$

Ответ: на втором этапе проекция силы равна $0$ Н.

3. Этап движения на интервале времени от 10 с до 20 с.

На этом участке тело движется равнозамедленно. Начальная скорость $v_{0x} = 10$ м/с, конечная скорость $v_{kx} = 0$ м/с.

Найдем проекцию ускорения:

$a_{x3} = \frac{0 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{20 \text{ с} - 10 \text{ с}} = \frac{-10 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = -1 \text{ м/с}^2$

Найдем проекцию силы:

$F_{x3} = m \cdot a_{x3} = 2 \text{ кг} \cdot (-1 \text{ м/с}^2) = -2 \text{ Н}$

Ответ: на третьем этапе проекция силы равна $-2$ Н.

151. В известном опыте О. Герике (1654 г.) с магдебургскими полушариями по изучению атмосферного давления, чтобы разнять два полушария, из которых был выкачан воздух, впрягали шестнадцать лошадей (по восемь к каждому полушарию). Можно ли обойтись в таком опыте меньшим количеством лошадей?

Решение

В знаменитом опыте Отто фон Герике два медных полушария были сложены вместе, и из образовавшейся сферы был откачан воздух. В результате на полушария стала действовать сила, обусловленная атмосферным давлением, которая прижимает их друг к другу.

Сила, с которой атмосфера сжимает полушария, направлена перпендикулярно их поверхности. Однако результирующая сила, которую необходимо преодолеть для их разъединения, равна произведению атмосферного давления $p_{атм}$ на площадь большого круга сферы (площадь сечения) $S$. Эта сила равна $F_{атм} = p_{атм} \cdot S$.

В эксперименте для разъединения полушарий использовали две упряжки по восемь лошадей, тянущих в противоположные стороны. Рассмотрим силы, действующие на одно из полушарий (например, правое). На него действует сила тяги восьми лошадей $F_{8\;лошадей}$, направленная вправо. Влево на него действует сила, с которой его удерживает левое полушарие. Эта удерживающая сила как раз и равна силе атмосферного давления $F_{атм}$. В момент разрыва полушарий сила тяги лошадей становится равной силе атмосферного давления: $F_{8\;лошадей} = F_{атм}$.

Вторая упряжка из восьми лошадей, тянущая левое полушарие, по сути, создает силу противодействия. Согласно третьему закону Ньютона, действие равно противодействию. Роль второй упряжки заключается в том, чтобы служить опорой для первой. То есть, восемь лошадей, тянущих влево, выполняют ту же функцию, что и неподвижная опора (например, стена).

Если бы одно из полушарий было прикреплено к неподвижному объекту (например, к прочной стене), то для разъединения полушарий понадобилась бы только одна упряжка из восьми лошадей, тянущая второе полушарие. Стена в этом случае обеспечила бы необходимую силу реакции, которую в оригинальном опыте создавала вторая упряжка лошадей.

Таким образом, для проведения опыта можно было обойтись вдвое меньшим общим количеством лошадей.

Ответ: Да, можно. Если одно из полушарий закрепить неподвижно (например, привязать к стене), то для разъединения будет достаточно силы тяги восьми лошадей, приложенной ко второму полушарию. Вторая упряжка из восьми лошадей в опыте Герике выполняла роль такой же неподвижной опоры.

152. О ветровое стекло движущегося автомобиля ударился комар. Сравнить силы, действующие на комара и автомобиль во время удара.

Решение

Данная задача описывает взаимодействие двух тел: комара и автомобиля. Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и противоположны по направлению.

Пусть сила, с которой автомобиль действует на комара, равна $ \vec{F}_1 $, а сила, с которой комар действует на автомобиль, равна $ \vec{F}_2 $. Третий закон Ньютона для этого случая записывается в виде векторного равенства:

$ \vec{F}_1 = - \vec{F}_2 $

Из этого равенства следует, что модули (величины) этих сил равны:

$ | \vec{F}_1 | = | \vec{F}_2 | $

Таким образом, во время удара сила, действующая со стороны автомобиля на комара, равна по величине силе, действующей со стороны комара на автомобиль.

Может возникнуть вопрос, почему последствия удара для комара и автомобиля настолько разные. Ответ на него дает второй закон Ньютона: $ \vec{F} = m\vec{a} $. Поскольку силы, действующие на тела, равны, а массы тел ($ m_{комара} $ и $ m_{авто} $) кардинально различаются ($ m_{комара} \ll m_{авто} $), то и ускорения, которые они получают, будут сильно отличаться.

Ускорение комара $ a_{комара} = \frac{F}{m_{комара}} $ будет огромным, что приводит к его разрушению. Ускорение автомобиля $ a_{авто} = \frac{F}{m_{авто}} $ будет ничтожно малым, поэтому изменение его скорости практически незаметно.

Ответ: Во время удара силы, действующие на комара и автомобиль, равны по модулю и противоположны по направлению.

153. Что произойдёт с космонавтом при свободном полёте космического корабля, если он выпустит (без толчка) из рук массивный предмет; если он бросит его?

Рассмотрим два случая, описанных в задаче, с точки зрения законов физики, действующих в условиях свободного полёта (невесомости).

если он выпустит (без толчка) из рук массивный предмет

В состоянии свободного полёта и космонавт, и космический корабль, и все находящиеся в нём предметы движутся с одинаковой скоростью и ускорением. Относительно корабля они находятся в состоянии покоя (если не было приложено дополнительных сил).

Если космонавт просто выпускает предмет из рук, не придавая ему начальной скорости (без толчка), то на предмет не действует никакая сила, способная изменить его состояние движения относительно космонавта. Согласно первому закону Ньютона (закону инерции), тело сохраняет состояние покоя, если на него не действуют силы.

Таким образом, и космонавт, и предмет будут продолжать двигаться вместе с кораблём. Относительно друг друга они останутся неподвижными. С самим космонавтом ничего не произойдёт, и его положение относительно корабля не изменится.

Ответ: Предмет зависнет в пространстве перед космонавтом, и оба они останутся неподвижными относительно космического корабля.

если он бросит его

Если космонавт бросает предмет, он прикладывает к нему силу, сообщая ему определённую скорость. В этом случае необходимо применить закон сохранения импульса к системе "космонавт + предмет". До броска, так как и космонавт, и предмет покоились относительно корабля, их суммарный импульс был равен нулю.

Силы, действующие между космонавтом и предметом во время броска, являются внутренними для системы. Внешние силы (в данном случае, сила тяжести) вызывают одинаковое ускорение для всех тел, поэтому в системе отсчёта, связанной с кораблём, их действие не проявляется, и можно считать, что система замкнута.

По закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после взаимодействия должен остаться равным нулю. Пусть $m_к$ и $\vec{v}_к$ – масса и скорость космонавта после броска, а $m_п$ и $\vec{v}_п$ – масса и скорость предмета.

Начальный импульс системы: $ \vec{P}_{начальный} = 0 $.

Конечный импульс системы: $ \vec{P}_{конечный} = m_к\vec{v}_к + m_п\vec{v}_п $.

Приравнивая начальный и конечный импульсы:

$ m_к\vec{v}_к + m_п\vec{v}_п = 0 $

Из этого уравнения следует:

$ m_к\vec{v}_к = -m_п\vec{v}_п $

Это векторное равенство означает, что космонавт приобретёт импульс, равный по модулю и противоположный по направлению импульсу брошенного предмета. Следовательно, космонавт начнёт двигаться в сторону, противоположную направлению броска. Этот эффект называется отдачей и лежит в основе реактивного движения. Скорость космонавта $\vec{v}_к$ будет равна $\vec{v}_к = -\frac{m_п}{m_к}\vec{v}_п$.

Ответ: Космонавт получит импульс в направлении, противоположном броску, и начнёт двигаться в эту сторону.

154. Почему лодка не сдвигается с места, когда человек, находящийся в ней, давит на борт, и приходит в движение, если человек выйдет из лодки и будет толкать её с такой же силой?

Данное явление объясняется с помощью законов Ньютона, а именно различием между внутренними и внешними силами, действующими на систему тел.

1. Человек находится в лодке.
В этом случае человек и лодка образуют единую замкнутую механическую систему «человек + лодка». Когда человек давит на борт, он прикладывает к лодке силу $ \vec{F}_{1} $. Согласно третьему закону Ньютона, лодка одновременно действует на человека с силой $ \vec{F}_{2} $, которая равна по модулю и противоположна по направлению силе $ \vec{F}_{1} $, то есть $ \vec{F}_{1} = -\vec{F}_{2} $. Обе эти силы являются внутренними для системы «человек + лодка». Внутренние силы могут вызывать только деформацию тел или их перемещение друг относительно друга, но они не могут изменить положение центра масс всей системы. Векторная сумма внутренних сил всегда равна нулю ($ \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = 0 $), и поэтому они не могут сообщить ускорение системе как единому целому. Чтобы система пришла в движение, на нее должна подействовать внешняя сила (например, ветер, течение или толчок от пирса).

2. Человек находится вне лодки.
Когда человек выходит из лодки и толкает ее, стоя на берегу или на дне, он перестает быть частью системы «лодка». Теперь сила, с которой человек толкает лодку, является для нее внешней силой. Согласно второму закону Ньютона, любая нескомпенсированная внешняя сила сообщает телу ускорение. Сила, приложенная человеком, вызывает движение лодки. Сила реакции, с которой лодка толкает человека, приложена к человеку и уравновешивается силой его взаимодействия с опорой (землей, дном), что позволяет ему оставаться на месте и эффективно толкать лодку.

Ответ: Лодка не сдвигается с места, когда человек находится внутри, потому что сила его давления на борт является внутренней для системы «человек-лодка» и компенсируется равной по модулю и противоположной по направлению силой реакции лодки на человека. Лодка приходит в движение, когда человек толкает ее снаружи, так как в этом случае его сила является внешней для лодки и, будучи нескомпенсированной, сообщает ей ускорение.