Номер 149, страница 26 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

149. Под действием некоторой силы тележка, двигаясь из состояния покоя, прошла путь 40 см. Когда на тележку положили груз массой 200 г, то под действием той же силы за то же время тележка прошла из состояния покоя путь 20 см. Какова масса тележки?

Дано:

$s_1 = 0.4 \text{ м}$

$s_2 = 0.2 \text{ м}$

$m_{гр} = 0.2 \text{ кг}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

$m_{т}$

Решение:

Запишем уравнения движения для двух случаев. Поскольку тележка начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) под действием постоянной силы $F$, ее движение будет равноускоренным. Путь при равноускоренном движении без начальной скорости вычисляется по формуле:

$s = \frac{at^2}{2}$

где $a$ — ускорение, а $t$ — время движения.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение связано с силой $F$ и массой $m$ следующим образом:

$a = \frac{F}{m}$

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

В первом случае движется только тележка массой $m_т$. Ее ускорение $a_1 = \frac{F}{m_т}$. За время $t$ она проходит путь $s_1$:

$s_1 = \frac{a_1 t^2}{2} = \frac{F t^2}{2 m_т}$ (1)

Во втором случае движется тележка с грузом, общая масса системы составляет $m_т + m_{гр}$. Ускорение системы $a_2 = \frac{F}{m_т + m_{гр}}$. За то же время $t$ система проходит путь $s_2$:

$s_2 = \frac{a_2 t^2}{2} = \frac{F t^2}{2 (m_т + m_{гр})}$ (2)

В обоих случаях сила $F$ и время движения $t$ одинаковы. Разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить неизвестные $F$ и $t$:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{\frac{F t^2}{2 m_т}}{\frac{F t^2}{2 (m_т + m_{гр})}}$

Сократив дробь, получим:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{m_т + m_{гр}}{m_т}$

Это соотношение показывает, что при постоянной силе и времени движения пройденный путь обратно пропорционален массе. Теперь выразим из этого уравнения искомую массу тележки $m_т$:

$s_1 \cdot m_т = s_2 \cdot (m_т + m_{гр})$

$s_1 m_т = s_2 m_т + s_2 m_{гр}$

$s_1 m_т - s_2 m_т = s_2 m_{гр}$

$m_т (s_1 - s_2) = s_2 m_{гр}$

$m_т = \frac{s_2 \cdot m_{гр}}{s_1 - s_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$m_т = \frac{0.2 \text{ м} \cdot 0.2 \text{ кг}}{0.4 \text{ м} - 0.2 \text{ м}} = \frac{0.04}{0.2} \text{ кг} = 0.2 \text{ кг}$

Масса тележки составляет 0.2 кг, что равно 200 г.

Ответ: масса тележки равна 200 г.