Страница 21 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

106. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы центростремительное ускорение было равно ускорению свободного падения?

Дано:

Радиус кривизны выпуклого моста $R = 40$ м.

По условию, центростремительное ускорение автомобиля $a_ц$ равно ускорению свободного падения $g$.

Примем значение ускорения свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Скорость автомобиля $v$.

Решение:

Движение автомобиля в самой верхней точке выпуклого моста можно рассматривать как движение по дуге окружности. Для поддержания такого движения необходимо центростремительное ускорение, которое всегда направлено к центру кривизны траектории (в данном случае, вертикально вниз). Величина центростремительного ускорения вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

где $v$ — это линейная скорость автомобиля, а $R$ — радиус кривизны моста.

Из условия задачи известно, что центростремительное ускорение должно быть равно ускорению свободного падения:

$a_ц = g$

Приравнивая правые части этих двух выражений, получаем уравнение для нахождения скорости:

$\frac{v^2}{R} = g$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$:

$v^2 = g \cdot R$

$v = \sqrt{g \cdot R}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчет:

$v = \sqrt{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 40 \, \text{м}} = \sqrt{392 \, \text{м}^2/\text{с}^2} \approx 19.8 \, \text{м/с}$

Так как данные в условии ($R=40$ м и $g \approx 9.8$ м/с²) имеют по две значащие цифры, целесообразно округлить результат до двух значащих цифр.

$v \approx 20$ м/с.

Интересно заметить, что при движении с такой скоростью в верхней точке моста автомобиль будет находиться в состоянии невесомости. Это означает, что сила нормальной реакции опоры (моста) станет равной нулю, так как сила тяжести $mg$ будет полностью "затрачена" на создание требуемого центростремительного ускорения, равного $g$.

Ответ: скорость автомобиля должна быть примерно 20 м/с.

107. Рабочее колесо турбины Красноярской ГЭС имеет диаметр 7,5 м и вращается с частотой 93,8 об/мин. Каково центростремительное ускорение концов лопаток турбины?

Дано:

Диаметр рабочего колеса, $d = 7,5$ м

Частота вращения, $n = 93,8$ об/мин

Найти:

Центростремительное ускорение концов лопаток, $a_c$ - ?

Решение:

Центростремительное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом $r$ с угловой скоростью $\omega$, определяется по формуле:

$a_c = \omega^2 r$

Подставим значения радиуса и угловой скорости в СИ в эту формулу:

$a_c \approx (9,821 \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2 \cdot 3,75 \text{ м}$

$a_c \approx 96,45 \frac{1}{\text{с}^2} \cdot 3,75 \text{ м} \approx 361,7$ м/с$^2$

Округлим полученный результат до трех значащих цифр, как в одном из исходных данных ($93,8$).

$a_c \approx 362$ м/с$^2$

Ответ: центростремительное ускорение концов лопаток турбины составляет примерно $362$ м/с$^2$.

108. Найти центростремительное ускорение точек колеса автомобиля, соприкасающихся с дорогой, если автомобиль движется со скоростью 72 км/ч и при этом частота обращения колеса $8с^{-1}$.

Дано:

Скорость автомобиля, $v = 72$ км/ч
Частота обращения колеса, $\nu = 8$ с⁻¹

Перевод в систему СИ:
$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с
$\nu = 8$ Гц

Найти:

Центростремительное ускорение точек колеса, соприкасающихся с дорогой, $a_c$ - ?

Решение:

Центростремительное ускорение любой точки на ободе колеса, которая вращается вокруг своего центра, определяется по формуле: $a_c = \omega^2 R$ где $\omega$ — угловая скорость вращения колеса, а $R$ — его радиус. Это ускорение всегда направлено к центру вращения (центру колеса) и имеет одинаковую величину для всех точек на ободе, включая точку, соприкасающуюся с дорогой.

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой обращения $\nu$ следующим соотношением: $\omega = 2\pi\nu$

При движении автомобиля без проскальзывания, линейная скорость его центра (равная скорости автомобиля $v$) связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом колеса $R$ формулой: $v = \omega R$

Из этой формулы можно выразить радиус колеса: $R = \frac{v}{\omega}$

Подставим полученное выражение для радиуса $R$ в формулу для центростремительного ускорения: $a_c = \omega^2 R = \omega^2 \left(\frac{v}{\omega}\right) = \omega v$

Теперь, используя связь между угловой скоростью и частотой, мы можем выразить центростремительное ускорение через известные величины: $a_c = (2\pi\nu)v = 2\pi\nu v$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $a_c = 2 \cdot \pi \cdot 8 \text{ с}^{-1} \cdot 20 \text{ м/с} = 320\pi$ м/с²

Вычислим конечное значение, приняв $\pi \approx 3.14159$: $a_c \approx 320 \cdot 3.14159 \approx 1005.3$ м/с²

Ответ: $a_c \approx 1005.3$ м/с²

109. Две материальные точки движутся по окружности радиусами $R_1$ и $R_2$, причем $R_1 = 2R_2$. Сравнить их центростремительные ускорения в случаях:

1) равенства их скоростей;

2) равенства их периодов обращения.

Дано:

$R_1$ — радиус окружности для первой точки
$R_2$ — радиус окружности для второй точки
$R_1 = 2R_2$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения $a_1$ и $a_2$ в случаях:
1) $v_1 = v_2$
2) $T_1 = T_2$

Решение:

Центростремительное ускорение ($a$) материальной точки, движущейся по окружности радиусом $R$ с линейной скоростью $v$ и периодом обращения $T$, определяется по формулам:

$a = \frac{v^2}{R}$

или, учитывая, что $v = \frac{2\pi R}{T}$:

$a = \frac{(2\pi R/T)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Рассмотрим оба случая.

1) равенства их скоростей

В этом случае линейные скорости точек равны: $v_1 = v_2 = v$.

Запишем формулы для центростремительных ускорений каждой точки:

$a_1 = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{v^2}{R_1}$

$a_2 = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{v^2}{R_2}$

Чтобы сравнить ускорения, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{v^2/R_1}{v^2/R_2} = \frac{R_2}{R_1}$

Подставим в это соотношение условие из дано $R_1 = 2R_2$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2}{2R_2} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $a_2 = 2a_1$.

Ответ: при равенстве скоростей центростремительное ускорение второй точки в 2 раза больше, чем у первой ($a_2 = 2a_1$).

2) равенства их периодов обращения

В этом случае периоды обращения точек равны: $T_1 = T_2 = T$.

Воспользуемся второй формулой для центростремительного ускорения:

$a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2} = \frac{4\pi^2 R_1}{T^2}$

$a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 R_2}{T^2}$

Найдем отношение ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4\pi^2 R_1 / T^2}{4\pi^2 R_2 / T^2} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим условие $R_1 = 2R_2$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2R_2}{R_2} = 2$

Отсюда следует, что $a_1 = 2a_2$.

Ответ: при равенстве периодов обращения центростремительное ускорение первой точки в 2 раза больше, чем у второй ($a_1 = 2a_2$).

110. Радиус рабочего колеса гидротурбины в 8 раз больше, а частота обращения в 40 раз меньше, чем у паровой турбины. Сравнить скорости и центростремительные ускорения точек обода колёс турбин.

Дано:

Обозначим параметры гидротурбины индексом "г", а паровой турбины - индексом "п".

Отношение радиусов: $R_г = 8 R_п$

Отношение частот обращения: $\nu_г = \frac{\nu_п}{40}$

Найти:

$\frac{v_г}{v_п}$ - ?

$\frac{a_{ц.г}}{a_{ц.п}}$ - ?

Решение:

Сравнение скоростей

Линейная скорость точек на ободе колеса связана с радиусом $R$ и частотой обращения $\nu$ по формуле $v = 2\pi\nu R$.

Найдем отношение скоростей точек обода гидротурбины ($v_г$) и паровой турбины ($v_п$):

$\frac{v_г}{v_п} = \frac{2\pi\nu_г R_г}{2\pi\nu_п R_п} = \frac{\nu_г}{\nu_п} \cdot \frac{R_г}{R_п}$

Подставим значения из условия:

$\frac{v_г}{v_п} = \frac{\nu_п / 40}{\nu_п} \cdot \frac{8 R_п}{R_п} = \frac{1}{40} \cdot 8 = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

Следовательно, скорость точек обода колеса гидротурбины в 5 раз меньше скорости точек обода колеса паровой турбины.

Ответ: скорость точек обода колеса гидротурбины в 5 раз меньше, чем у паровой турбины.

Сравнение центростремительных ускорений

Центростремительное ускорение точек на ободе колеса вычисляется по формуле $a_ц = \omega^2 R$. Учитывая, что угловая скорость $\omega = 2\pi\nu$, формула примет вид $a_ц = (2\pi\nu)^2 R = 4\pi^2\nu^2 R$.

Найдем отношение центростремительных ускорений точек обода гидротурбины ($a_{ц.г}$) и паровой турбины ($a_{ц.п}$):

$\frac{a_{ц.г}}{a_{ц.п}} = \frac{4\pi^2\nu_г^2 R_г}{4\pi^2\nu_п^2 R_п} = (\frac{\nu_г}{\nu_п})^2 \cdot \frac{R_г}{R_п}$

Подставим значения из условия:

$\frac{a_{ц.г}}{a_{ц.п}} = (\frac{1}{40})^2 \cdot 8 = \frac{1}{1600} \cdot 8 = \frac{8}{1600} = \frac{1}{200}$

Следовательно, центростремительное ускорение точек обода колеса гидротурбины в 200 раз меньше, чем у паровой турбины.

Ответ: центростремительное ускорение точек обода колеса гидротурбины в 200 раз меньше, чем у паровой турбины.

111. Детский заводной автомобиль, двигаясь равномерно, прошёл расстояние $s$ за время $t$. Найти частоту обращения и центростремительное ускорение точек на ободе колеса, если диаметр колеса равен $d$. По возможности конкретные данные задачи получите опытным путём.

Дано

Расстояние: $s$
Время: $t$
Диаметр колеса: $d$
Движение: равномерное

Найти

$\nu$ — частоту обращения колеса
$a_c$ — центростремительное ускорение точек на ободе колеса

Решение

Поскольку автомобиль движется равномерно, его линейная скорость $v$ постоянна. Мы можем найти ее, разделив пройденное расстояние $s$ на время движения $t$:

$v = \frac{s}{t}$

При движении автомобиля без проскальзывания его линейная скорость $v$ равна линейной скорости точек на ободе колеса относительно оси вращения. Эта скорость связана с угловой скоростью вращения колеса $\omega$ и его радиусом $R$ соотношением:

$v = \omega R$

Радиус колеса $R$ равен половине его диаметра $d$:

$R = \frac{d}{2}$

Приравнивая выражения для линейной скорости $v$, получаем:

$\frac{s}{t} = \omega \frac{d}{2}$

Отсюда можно выразить угловую скорость вращения колеса $\omega$:

$\omega = \frac{2s}{td}$

Теперь, зная угловую скорость, можно найти искомые величины.

Частота обращения $\nu$ (число оборотов в единицу времени) связана с угловой скоростью $\omega$ следующей формулой:

$\omega = 2\pi\nu$

Выразим из этой формулы частоту $\nu$ и подставим в нее полученное ранее выражение для угловой скорости $\omega$:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2s}{td} = \frac{s}{\pi t d}$

Ответ: Частота обращения колеса равна $\nu = \frac{s}{\pi t d}$.

Центростремительное ускорение $a_c$ точек на ободе колеса, движущихся по окружности радиусом $R$ с линейной скоростью $v$, вычисляется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставим в эту формулу выражения для скорости $v = \frac{s}{t}$ и радиуса $R = \frac{d}{2}$:

$a_c = \frac{(\frac{s}{t})^2}{\frac{d}{2}} = \frac{s^2/t^2}{d/2} = \frac{2s^2}{t^2d}$

К этому же результату можно прийти, используя формулу $a_c = \omega^2 R$. Подставим $\omega = \frac{2s}{td}$ и $R = \frac{d}{2}$:

$a_c = \left(\frac{2s}{td}\right)^2 \cdot \frac{d}{2} = \frac{4s^2}{t^2d^2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{2s^2}{t^2d}$

Ответ: Центростремительное ускорение точек на ободе колеса равно $a_c = \frac{2s^2}{t^2d}$.