Номер 109, страница 21 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

6. Равномерное движение тела по окружности. Глава I. Основы кинематики. Механика - номер 109, страница 21.

Условие.

109. Две материальные точки движутся по окружности радиусами $R_1$ и $R_2$, причем $R_1 = 2R_2$. Сравнить их центростремительные ускорения в случаях:

1) равенства их скоростей;

2) равенства их периодов обращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$R_1$ — радиус окружности для первой точки
$R_2$ — радиус окружности для второй точки
$R_1 = 2R_2$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения $a_1$ и $a_2$ в случаях:
1) $v_1 = v_2$
2) $T_1 = T_2$

Решение:

Центростремительное ускорение ($a$) материальной точки, движущейся по окружности радиусом $R$ с линейной скоростью $v$ и периодом обращения $T$, определяется по формулам:

$a = \frac{v^2}{R}$

или, учитывая, что $v = \frac{2\pi R}{T}$:

$a = \frac{(2\pi R/T)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Рассмотрим оба случая.

1) равенства их скоростей

В этом случае линейные скорости точек равны: $v_1 = v_2 = v$.

Запишем формулы для центростремительных ускорений каждой точки:

$a_1 = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{v^2}{R_1}$

$a_2 = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{v^2}{R_2}$

Чтобы сравнить ускорения, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{v^2/R_1}{v^2/R_2} = \frac{R_2}{R_1}$

Подставим в это соотношение условие из дано $R_1 = 2R_2$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2}{2R_2} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $a_2 = 2a_1$.

Ответ: при равенстве скоростей центростремительное ускорение второй точки в 2 раза больше, чем у первой ($a_2 = 2a_1$).

2) равенства их периодов обращения

В этом случае периоды обращения точек равны: $T_1 = T_2 = T$.

Воспользуемся второй формулой для центростремительного ускорения:

$a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2} = \frac{4\pi^2 R_1}{T^2}$

$a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 R_2}{T^2}$

Найдем отношение ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4\pi^2 R_1 / T^2}{4\pi^2 R_2 / T^2} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим условие $R_1 = 2R_2$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2R_2}{R_2} = 2$

Отсюда следует, что $a_1 = 2a_2$.

Ответ: при равенстве периодов обращения центростремительное ускорение первой точки в 2 раза больше, чем у второй ($a_1 = 2a_2$).