Страница 15 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

56. Скорость поезда за 20 с уменьшилась с 72 до 54 км/ч. Написать формулу зависимости скорости от времени $v_x(t)$ и построить график этой зависимости.

Дано:

Промежуток времени, $\Delta t = 20 \text{ с}$
Начальная скорость, $v_0 = 72 \text{ км/ч}$
Конечная скорость, $v = 54 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
$v = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

Формулу зависимости скорости от времени $v_x(t)$ и построить график этой зависимости.

Решение:

Движение поезда, при котором его скорость равномерно уменьшается, является равнозамедленным. Уравнение зависимости проекции скорости от времени при равноускоренном движении имеет вид:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

где $v_{0x}$ - проекция начальной скорости, а $a_x$ - проекция ускорения на ось $Ox$.

Выберем ось $Ox$ по направлению движения поезда. Тогда проекции скоростей на эту ось будут положительными: $v_{0x} = v_0 = 20 \text{ м/с}$. В момент времени $t = \Delta t = 20 \text{ с}$ проекция скорости равна $v_x = v = 15 \text{ м/с}$.

Сначала найдем проекцию ускорения поезда на ось $Ox$ по формуле:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_x - v_{0x}}{\Delta t}$

Подставим числовые значения:

$a_x = \frac{15 \text{ м/с} - 20 \text{ м/с}}{20 \text{ с}} = \frac{-5 \text{ м/с}}{20 \text{ с}} = -0.25 \text{ м/с}^2$

Знак минус у проекции ускорения указывает на то, что вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости, то есть поезд тормозит.

Теперь, зная начальную скорость и ускорение, можем записать искомую формулу зависимости скорости от времени. Подставим значения $v_{0x} = 20 \text{ м/с}$ и $a_x = -0.25 \text{ м/с}^2$ в общее уравнение скорости:

$v_x(t) = 20 - 0.25t$

Это и есть искомая формула, где скорость $v_x$ выражена в м/с, а время $t$ — в секундах.

Далее построим график этой зависимости. График функции $v_x(t) = 20 - 0.25t$ является прямой линией. Для его построения в системе координат $(t, v_x)$ достаточно найти координаты двух точек.

Найдем первую точку, соответствующую началу отсчета времени: при $t = 0 \text{ с}$, скорость $v_x(0) = 20 - 0.25 \cdot 0 = 20 \text{ м/с}$. Координаты точки $(0; 20)$.

Найдем вторую точку, соответствующую моменту времени $t = 20 \text{ с}$: скорость $v_x(20) = 20 - 0.25 \cdot 20 = 20 - 5 = 15 \text{ м/с}$. Координаты точки $(20; 15)$.

Для построения графика необходимо начертить систему координат: горизонтальную ось времени $t$ (в секундах) и вертикальную ось скорости $v_x$ (в м/с). Затем отметить на плоскости точки с координатами $(0; 20)$ и $(20; 15)$ и соединить их отрезком прямой линии. Этот отрезок и будет являться графиком зависимости скорости поезда от времени в заданном интервале.

Ответ:

Формула зависимости скорости от времени: $v_x(t) = 20 - 0.25t$ (где скорость $v_x$ измеряется в м/с, а время $t$ — в с). График этой зависимости — отрезок прямой линии, соединяющий в системе координат $(t, v_x)$ точки с координатами $(0; 20)$ и $(20; 15)$.

57. Пользуясь графиком проекции скорости (рис. 17), найти начальную скорость, скорости в начале четвёртой и в конце шестой секунды. Вычислить ускорение и написать уравнение $v_x = v_x(t)$.

Рис. 17

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Все величины на графике представлены в системе СИ (м/с, с).

Найти:

Начальную скорость $v_{0x}$

Скорость в начале четвёртой секунды $v_x(3 \text{ c})$

Скорость в конце шестой секунды $v_x(6 \text{ c})$

Ускорение $a_x$

Уравнение $v_x = v_x(t)$

Решение:

Представленный график является прямой линией, что свидетельствует о равноускоренном движении.

Найти начальную скорость, скорости в начале четвёртой и в конце шестой секунды

Для нахождения значений скорости в определённые моменты времени воспользуемся данными с графика:

• Начальная скорость — это скорость в момент времени $t=0$ с. Из графика следует, что $v_{0x} = 1$ м/с.
• Начало четвёртой секунды соответствует моменту времени $t=3$ с. В этот момент проекция скорости равна $v_x(3 \text{ c}) = 2,5$ м/с.
• Конец шестой секунды соответствует моменту времени $t=6$ с. В этот момент проекция скорости равна $v_x(6 \text{ c}) = 4$ м/с.

Ответ: начальная скорость равна $1$ м/с; скорость в начале четвёртой секунды — $2,5$ м/с; скорость в конце шестой секунды — $4$ м/с.

Вычислить ускорение

Ускорение $a_x$ для равноускоренного движения постоянно и вычисляется как отношение изменения проекции скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$

Возьмём две произвольные точки на графике, например, $(t_1=0 \text{ с}, v_{x1}=1 \text{ м/с})$ и $(t_2=6 \text{ с}, v_{x2}=4 \text{ м/с})$.

$a_x = \frac{v_{x2} - v_{x1}}{t_2 - t_1} = \frac{4 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{6 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{3 \text{ м/с}}{6 \text{ с}} = 0,5 \text{ м/с}^2$.

Ответ: ускорение $a_x = 0,5 \text{ м/с}^2$.

Написать уравнение $v_x = v_x(t)$

Общий вид уравнения для проекции скорости при равноускоренном движении:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Подставим в это уравнение найденные значения начальной скорости $v_{0x} = 1$ м/с и ускорения $a_x = 0,5 \text{ м/с}^2$:

$v_x(t) = 1 + 0,5t$.

Ответ: уравнение проекции скорости: $v_x = 1 + 0,5t$ (величины в СИ).

58. По заданным на рисунке 18 графикам написать уравнения $v_x = v_x(t)$.

Рис. 18

Дано:

Графики зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для двух тел (I, II), представленные на рисунке.

Все величины на графиках даны в системе СИ (скорость в м/с, время в с).

Найти:

Уравнения движения $v_x(t)$ для тел I и II.

Решение:

Оба указанных графика представляют собой прямые линии, что соответствует равноускоренному движению. Общий вид уравнения для проекции скорости при равноускоренном движении:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

где $v_{0x}$ — начальная проекция скорости (значение $v_x$ при $t=0$), а $a_x$ — проекция ускорения. Проекцию ускорения можно найти как тангенс угла наклона графика к оси времени, то есть как отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_x(t) - v_{0x}}{t}$

Рассмотрим каждый график отдельно.

I

Для графика I, из рисунка видно, что линия начинается в начале координат, следовательно, начальная скорость $v_{0x, I} = 0 \text{ м/с}$.

Для нахождения ускорения выберем на графике точку с хорошо читаемыми координатами, например, $(t=8 \text{ с}, v_x=10 \text{ м/с})$.

Рассчитаем проекцию ускорения:

$a_{x, I} = \frac{10 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{8 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 1.25 \text{ м/с}^2$.

Подставим найденные значения $v_{0x, I}$ и $a_{x, I}$ в общую формулу:

$v_{x, I}(t) = 0 + 1.25t = 1.25t$.

Ответ: $v_x(t) = 1.25t$.

II

Для графика II, из рисунка видно, что линия пересекает ось ординат в точке $v_x = 5 \text{ м/с}$, следовательно, начальная скорость $v_{0x, II} = 5 \text{ м/с}$.

Для нахождения ускорения выберем на графике точку, например, $(t=3 \text{ с}, v_x=20 \text{ м/с})$.

Рассчитаем проекцию ускорения:

$a_{x, II} = \frac{20 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}}{3 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{15}{3} = 5 \text{ м/с}^2$.

Подставим найденные значения $v_{0x, II}$ и $a_{x, II}$ в общую формулу:

$v_{x, II}(t) = 5 + 5t$.

Ответ: $v_x(t) = 5 + 5t$.

59. На рисунке 19 показан вектор скорости в начальный момент времени и вектор ускорения материальной точки. Написать уравнение $v_y = v_y(t)$ и построить его график для первых 6 с движения, если $v_0 = 30$ м/с, $a = 10 \text{ м/с}^2$. Найти скорости через 2, 3, 4 с.

Рис. 19

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 30$ м/с

Ускорение: $a = 10$ м/с$^2$

Моменты времени для нахождения скорости: $t_1 = 2$ с, $t_2 = 3$ с, $t_3 = 4$ с

Интервал времени для построения графика: от 0 до 6 с

Найти:

1. Уравнение $v_y = v_y(t)$

2. Построить график $v_y(t)$ для первых 6 с движения

3. Скорости $v_y(t_1)$, $v_y(t_2)$, $v_y(t_3)$

Решение:

Движение материальной точки является прямолинейным равноускоренным. Ось OY направлена вертикально вверх, что совпадает с направлением начальной скорости $\vec{v_0}$ и противоположно направлению ускорения $\vec{a}$.

1. Написать уравнение $v_y = v_y(t)$

Общее уравнение для проекции скорости на ось OY при равноускоренном движении имеет вид:

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$

где $v_{0y}$ — проекция начальной скорости на ось OY, а $a_y$ — проекция ускорения на ось OY.

Из рисунка и условия задачи следует:

Проекция начальной скорости на ось OY положительна, так как вектор $\vec{v_0}$ сонаправлен с осью OY:

$v_{0y} = +v_0 = 30$ м/с.

Проекция ускорения на ось OY отрицательна, так как вектор $\vec{a}$ направлен противоположно оси OY:

$a_y = -a = -10$ м/с$^2$.

Подставляя эти значения в общее уравнение, получаем искомое уравнение для проекции скорости:

$v_y(t) = 30 - 10t$

Это уравнение справедливо для времени $t$, выраженного в секундах, и дает скорость $v_y$ в м/с.

2. Найти скорости через 2, 3, 4 с

Используем полученное уравнение $v_y(t) = 30 - 10t$ для нахождения скоростей в заданные моменты времени.

При $t = 2$ с:

$v_y(2) = 30 - 10 \cdot 2 = 30 - 20 = 10$ м/с.

При $t = 3$ с:

$v_y(3) = 30 - 10 \cdot 3 = 30 - 30 = 0$ м/с. В этот момент времени материальная точка достигает максимальной высоты и ее скорость становится равной нулю.

При $t = 4$ с:

$v_y(4) = 30 - 10 \cdot 4 = 30 - 40 = -10$ м/с. Отрицательное значение означает, что вектор скорости направлен в сторону, противоположную оси OY (то есть вниз).

3. Построить график $v_y(t)$ для первых 6 с движения

Функция $v_y(t) = 30 - 10t$ является линейной, поэтому ее график — прямая линия. Для построения графика достаточно двух точек. Возьмем граничные точки заданного интервала времени [0 с; 6 с].

При $t = 0$ с: $v_y(0) = 30 - 10 \cdot 0 = 30$ м/с. Точка (0; 30).

При $t = 6$ с: $v_y(6) = 30 - 10 \cdot 6 = 30 - 60 = -30$ м/с. Точка (6; -30).

График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (0; 30) и (6; -30) на плоскости (t, $v_y$).

Ответ:

Уравнение скорости: $v_y(t) = 30 - 10t$ (в СИ).
График зависимости скорости от времени $v_y(t)$ для первых 6 с движения построен в решении.
Скорость через 2 с: $v_y(2) = 10$ м/с.
Скорость через 3 с: $v_y(3) = 0$ м/с.
Скорость через 4 с: $v_y(4) = -10$ м/с.

60*. По графикам зависимости $a_x(t)$, приведённым на рисунке 20, а и б, построить графики зависимости $v_x(t)$, считая, что в начальный момент времени ($t = 0$) скорость движения материальной точки равна нулю.

Рис. 19

Рис. 20

Дано:

Графики зависимости проекции ускорения от времени $a_x(t)$ (рис. 20, а и б).
Начальная скорость в момент времени $t=0$: $v_x(0) = 0$ м/с.

Найти:

Построить графики зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для случаев а) и б).

Решение:

Для построения графика зависимости скорости от времени $v_x(t)$ воспользуемся формулой для равноускоренного движения. Скорость в любой момент времени $t$ можно найти по формуле: $v_x(t) = v_{x0} + a_x \cdot (t - t_0)$ где $v_{x0}$ — скорость в начальный момент времени $t_0$ для рассматриваемого участка, а $a_x$ — постоянное ускорение на этом участке. Поскольку ускорение на графиках меняется ступенчато, мы будем рассматривать каждый участок с постоянным ускорением отдельно. Начальная скорость для каждого следующего участка равна конечной скорости на предыдущем.

а) Рассмотрим график на рисунке 20, а. Движение состоит из двух этапов.

1. Участок $0 \le t \le 1$ с:
Из графика ускорение $a_{x1} = 1$ м/с$^2$.
Начальная скорость по условию $v_x(0) = 0$ м/с.
Зависимость скорости от времени на этом участке: $v_x(t) = v_x(0) + a_{x1}t = 0 + 1 \cdot t = t$.
Это линейная зависимость. В конце участка, при $t=1$ с, скорость будет равна: $v_x(1) = 1$ м/с.

2. Участок $1 < t \le 3$ с:
Из графика ускорение $a_{x2} = -1$ м/с$^2$.
Начальной скоростью для этого участка является скорость в момент $t=1$ с, то есть $v_x(1) = 1$ м/с.
Зависимость скорости от времени на этом участке: $v_x(t) = v_x(1) + a_{x2}(t - 1) = 1 + (-1)(t - 1) = 1 - t + 1 = 2 - t$.
Это также линейная зависимость. В конце участка, при $t=3$ с, скорость будет равна: $v_x(3) = 2 - 3 = -1$ м/с.

Таким образом, график $v_x(t)$ для случая а) состоит из двух отрезков прямых:
- от точки $(0, 0)$ до точки $(1, 1)$;
- от точки $(1, 1)$ до точки $(3, -1)$.

Ответ: График $v_x(t)$ представляет собой ломаную линию, проходящую через точки с координатами $(t, v_x)$: $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(3, -1)$. На участке от $t=0$ до $t=1$ с скорость линейно возрастает от 0 до 1 м/с. На участке от $t=1$ с до $t=3$ с скорость линейно убывает от 1 м/с до -1 м/с, проходя через значение 0 м/с в момент времени $t=2$ с.

б) Рассмотрим график на рисунке 20, б. Движение состоит из трех этапов.

1. Участок $0 \le t \le 1$ с:
Этот участок полностью совпадает с первым участком из пункта а).
Ускорение $a_{x1} = 1$ м/с$^2$. Начальная скорость $v_x(0) = 0$ м/с.
Зависимость скорости: $v_x(t) = t$.
Скорость в конце участка: $v_x(1) = 1$ м/с.

2. Участок $1 < t \le 2$ с:
Из графика ускорение $a_{x2} = -2$ м/с$^2$.
Начальная скорость для этого участка $v_x(1) = 1$ м/с.
Зависимость скорости от времени: $v_x(t) = v_x(1) + a_{x2}(t - 1) = 1 + (-2)(t - 1) = 1 - 2t + 2 = 3 - 2t$.
В конце участка, при $t=2$ с, скорость будет равна: $v_x(2) = 3 - 2(2) = -1$ м/с.

3. Участок $2 < t \le 3$ с:
Из графика ускорение $a_{x3} = 0$ м/с$^2$. Это означает, что движение на этом участке равномерное, то есть скорость постоянна.
Скорость на всем участке равна скорости в момент $t=2$ с: $v_x(t) = v_x(2) = -1$ м/с.

Таким образом, график $v_x(t)$ для случая б) состоит из трех отрезков:
- отрезка прямой от точки $(0, 0)$ до точки $(1, 1)$;
- отрезка прямой от точки $(1, 1)$ до точки $(2, -1)$;
- горизонтального отрезка от точки $(2, -1)$ до точки $(3, -1)$.

Ответ: График $v_x(t)$ представляет собой ломаную линию, проходящую через точки с координатами $(t, v_x)$: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, -1)$ и $(3, -1)$. На участке от $t=0$ до $t=1$ с скорость линейно возрастает от 0 до 1 м/с. На участке от $t=1$ с до $t=2$ с скорость линейно убывает от 1 м/с до -1 м/с. На участке от $t=2$ с до $t=3$ с скорость постоянна и равна -1 м/с.