Страница 9 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

22. По заданным графикам (рис. 9) найти начальные координаты тел и проекции скорости их движения. Написать уравнения движения тел $x = x(t)$. Из графиков и уравнений найти время и место встречи тел, движения которых описываются графиками II и III.

Дано:

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для трех тел (I, II, III).

Все данные на графиках представлены в системе СИ (координата $x$ в метрах (м), время $t$ в секундах (с)).

Найти:

1. Начальные координаты $x_{0I}, x_{0II}, x_{0III}$ и проекции скоростей $v_{xI}, v_{xII}, v_{xIII}$ для тел I, II, III.

2. Уравнения движения $x_I(t), x_{II}(t), x_{III}(t)$.

3. Время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ встречи тел II и III.

Решение:

Так как графики зависимости координаты от времени представляют собой прямые линии, движение всех трех тел является равномерным и прямолинейным. Общее уравнение такого движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата (значение $x$ при $t=0$), а $v_x$ — проекция скорости на ось Ох (тангенс угла наклона графика к оси времени).

Начальные координаты тел и проекции скорости их движения

Начальную координату $x_0$ определяем как точку пересечения графика с осью ординат (осью $x$). Проекцию скорости $v_x$ находим как отношение изменения координаты $\Delta x$ к промежутку времени $\Delta t$, за которое это изменение произошло: $v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$.

Тело I:

• Начальная координата (при $t=0$): $x_{0I} = 5$ м.
• График - горизонтальная линия, координата не меняется со временем. Следовательно, проекция скорости равна нулю: $v_{xI} = 0$ м/с.

Тело II:

• Начальная координата (при $t=0$): $x_{0II} = 5$ м.
• Для нахождения проекции скорости выберем две точки на графике, например, $(t_1=0\text{ с}, x_1=5\text{ м})$ и $(t_2=10\text{ с}, x_2=-5\text{ м})$.
• $v_{xII} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{-5\text{ м} - 5\text{ м}}{10\text{ с} - 0\text{ с}} = \frac{-10\text{ м}}{10\text{ с}} = -1$ м/с.

Тело III:

• Начальная координата (при $t=0$): $x_{0III} = -10$ м.
• Для нахождения проекции скорости выберем две точки на графике, например, $(t_1=0\text{ с}, x_1=-10\text{ м})$ и $(t_2=20\text{ с}, x_2=0\text{ м})$.
• $v_{xIII} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{0\text{ м} - (-10\text{ м})}{20\text{ с} - 0\text{ с}} = \frac{10\text{ м}}{20\text{ с}} = 0.5$ м/с.

Ответ: Для тела I: $x_{0I} = 5$ м, $v_{xI} = 0$ м/с. Для тела II: $x_{0II} = 5$ м, $v_{xII} = -1$ м/с. Для тела III: $x_{0III} = -10$ м, $v_{xIII} = 0.5$ м/с.

Уравнения движения тел $x = x(t)$

Подставим найденные значения $x_0$ и $v_x$ в общее уравнение движения $x(t) = x_0 + v_x t$.

• Тело I: $x_I(t) = 5 + 0 \cdot t \implies x_I(t) = 5$.
• Тело II: $x_{II}(t) = 5 + (-1) \cdot t \implies x_{II}(t) = 5 - t$.
• Тело III: $x_{III}(t) = -10 + 0.5 \cdot t \implies x_{III}(t) = -10 + 0.5t$.

Ответ: Уравнения движения тел: $x_I(t) = 5$; $x_{II}(t) = 5 - t$; $x_{III}(t) = -10 + 0.5t$. (где $x$ в метрах, $t$ в секундах)

Время и место встречи тел, движения которых описываются графиками II и III

Место и время встречи тел можно определить двумя способами: по графикам и с помощью уравнений.

По графикам:

Точка встречи на графике — это точка пересечения графиков движения тел II и III. Из рисунка 9 видно, что графики II и III пересекаются в точке с координатами $t = 10$ с и $x = -5$ м.

С помощью уравнений:

В момент встречи координаты тел равны: $x_{II}(t) = x_{III}(t)$. Приравняем уравнения движения для тел II и III и решим полученное уравнение относительно $t$:

$5 - t = -10 + 0.5t$

$5 + 10 = t + 0.5t$

$15 = 1.5t$

$t = \frac{15}{1.5} = 10$ с.

Теперь найдем координату встречи, подставив найденное время $t=10$ с в любое из двух уравнений движения:

$x_{встр} = x_{II}(10) = 5 - 10 = -5$ м.

или

$x_{встр} = x_{III}(10) = -10 + 0.5 \cdot 10 = -10 + 5 = -5$ м.

Результаты, полученные обоими способами, совпадают.

Ответ: Тела II и III встретятся через 10 с после начала движения в точке с координатой -5 м.

23. Движения двух велосипедистов заданы уравнениями: $x_1 = 5t$, $x_2 = 150 - 10t$. Построить графики зависимости $x(t)$. Найти время и место встречи.

Дано:

Уравнение движения первого велосипедиста: $x_1 = 5t$
Уравнение движения второго велосипедиста: $x_2 = 150 - 10t$

Поскольку в задаче не указаны единицы измерения, для определенности будем считать, что координата $x$ измеряется в метрах (м), а время $t$ — в секундах (с). Тогда скорость будет измеряться в метрах в секунду (м/с). Все данные уже представлены в согласованной системе единиц (СИ).

Найти:

1. Построить графики зависимости $x(t)$.
2. Время встречи $t_{встр}$ - ?
3. Место встречи $x_{встр}$ - ?

Решение:

Оба уравнения движения имеют вид $x(t) = x_0 + v_x t$, что соответствует равномерному прямолинейному движению.

• Для первого велосипедиста ($x_1 = 5t$): начальная координата $x_{01} = 0$ м, проекция скорости на ось X равна $v_{1x} = 5$ м/с. Велосипедист движется из начала координат в положительном направлении оси X.
• Для второго велосипедиста ($x_2 = 150 - 10t$): начальная координата $x_{02} = 150$ м, проекция скорости на ось X равна $v_{2x} = -10$ м/с. Велосипедист движется из точки с координатой 150 м в отрицательном направлении оси X, то есть навстречу первому.

Построить графики зависимости x(t).

Графиками зависимостей $x(t)$ для равномерного движения являются прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для первого велосипедиста ($x_1 = 5t$):

• при $t = 0$ с, $x_1 = 5 \cdot 0 = 0$ м. Точка (0; 0).
• при $t = 10$ с, $x_1 = 5 \cdot 10 = 50$ м. Точка (10; 50).

Для второго велосипедиста ($x_2 = 150 - 10t$):

• при $t = 0$ с, $x_2 = 150 - 10 \cdot 0 = 150$ м. Точка (0; 150).
• при $t = 10$ с, $x_2 = 150 - 10 \cdot 10 = 50$ м. Точка (10; 50).

Построим графики в одной системе координат $x(t)$:

Синей линией показан график движения первого велосипедиста $x_1(t)$, красной — второго $x_2(t)$. Точка пересечения графиков соответствует моменту и месту их встречи.

Ответ: Графики движения велосипедистов представляют собой две прямые линии, построенные на координатной плоскости $x(t)$. График $x_1(t)$ выходит из начала координат и идет вверх, а график $x_2(t)$ начинается в точке (0; 150) и идет вниз. Графики пересекаются в точке (10; 50).

Найти время и место встречи.

В момент встречи координаты велосипедистов равны, то есть $x_1 = x_2$. Приравняем правые части уравнений движения:

$5t = 150 - 10t$

Перенесем слагаемые с переменной $t$ в левую часть уравнения:

$5t + 10t = 150$

$15t = 150$

Отсюда находим время встречи $t_{встр}$:

$t_{встр} = \frac{150}{15} = 10$ с.

Чтобы найти место встречи (координату $x_{встр}$), подставим найденное время в любое из двух уравнений движения. Подставим в первое:

$x_{встр} = 5 \cdot t_{встр} = 5 \cdot 10 = 50$ м.

Для проверки подставим во второе уравнение:

$x_{встр} = 150 - 10 \cdot t_{встр} = 150 - 10 \cdot 10 = 150 - 100 = 50$ м.

Результаты совпадают. Таким образом, велосипедисты встретятся через 10 секунд после начала движения в точке с координатой 50 метров. Этой точке соответствует точка пересечения графиков.

Ответ: Время встречи $t_{встр} = 10$ с, место встречи $x_{встр} = 50$ м.

24. Графики движения двух тел представлены на рисунке 10. Написать уравнения движения $x = x(t)$. Что означают точки пересечения графиков с осями координат?

Рис. 10

Дано:

Найти:

Решение:

Графики зависимости координаты от времени представляют собой прямые линии, следовательно, движение обоих тел является равномерным прямолинейным. Уравнение движения для такого типа движения имеет общий вид:

$x(t) = x_0 + v_x t$

где $x_0$ — начальная координата тела (координата в момент времени $t=0$), а $v_x$ — проекция скорости тела на ось Ох.

1. Составим уравнения движения для каждого тела.

Для тела I (график I):

Начальную координату $x_{01}$ находим по графику в точке пересечения с осью ординат ($t=0$).
$x_{01} = 20$ м.

Проекцию скорости $v_{1x}$ найдем как тангенс угла наклона графика к оси времени, выбрав две удобные точки на графике, например, $(t_1=0 \text{ c}; x_1=20 \text{ м})$ и $(t_2=20 \text{ c}; x_2=60 \text{ м})$.
$v_{1x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{60 - 20}{20 - 0} = \frac{40}{20} = 2$ м/с.

Таким образом, уравнение движения для тела I имеет вид:

$x_1(t) = 20 + 2t$

Для тела II (график II):

Начальную координату $x_{02}$ находим по графику в точке пересечения с осью ординат ($t=0$).
$x_{02} = -40$ м.

Проекцию скорости $v_{2x}$ найдем, выбрав две удобные точки на графике, например, $(t_1=0 \text{ c}; x_1=-40 \text{ м})$ и $(t_2=10 \text{ c}; x_2=20 \text{ м})$.
$v_{2x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{20 - (-40)}{10 - 0} = \frac{60}{10} = 6$ м/с.

Таким образом, уравнение движения для тела II имеет вид:

$x_2(t) = -40 + 6t$

2. Определим физический смысл точек пересечения графиков с осями координат.

Точка пересечения графика с осью ординат (осью $x$) соответствует моменту времени $t=0$. Координата этой точки ($x_0$) представляет собой начальную координату тела, то есть положение тела в начальный момент времени.
Для тела I начальная координата $x_{01} = 20$ м.
Для тела II начальная координата $x_{02} = -40$ м.

Точка пересечения графика с осью абсцисс (осью $t$) соответствует координате $x=0$. Время, соответствующее этой точке, показывает момент времени, в который тело проходит через начало отсчета (начало координат).
Для тела I это происходит при $t = -10$ с (до начала наблюдения).
Для тела II это происходит при $t \approx 6.7$ с.

Ответ:

Уравнения движения тел:

Для тела I: $x_1(t) = 20 + 2t$.

Для тела II: $x_2(t) = -40 + 6t$.

Точка пересечения графика с осью ординат ($x$) означает начальную координату тела. Точка пересечения графика с осью абсцисс ($t$) означает момент времени, когда тело проходит начало координат ($x=0$).

25. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 м/с. Второй догоняет его со скоростью 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени равно 200 м. Написать уравнения движений мотоциклистов в системе отсчёта, связанной с землёй, приняв за начало координат место нахождения второго мотоциклиста в начальный момент времени и выбрав за положительное направление оси Х на-правление движения мотоциклистов. Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов (рекомендуемые масштабы: в 1 см 100 м; в 1 см 5 с). Найти время и место встречи мотоциклистов.

Дано:

Скорость первого мотоциклиста: $v_1 = 10 \text{ м/с}$
Скорость второго мотоциклиста: $v_2 = 20 \text{ м/с}$
Начальное расстояние между мотоциклистами: $s = 200 \text{ м}$
Система отсчета: начало координат ($x=0$) в начальном положении второго мотоциклиста, ось X направлена по движению.

Найти:

1. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.
2. Построить графики движения $x(t)$.
3. Время встречи $t_{встр}$ и место встречи $x_{встр}$.

Решение:

Так как мотоциклисты движутся с постоянными скоростями, их движение является равномерным прямолинейным. Общее уравнение для такого движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата тела, а $v_x$ — проекция его скорости на ось X.

Написать уравнения движений мотоциклистов

Согласно условию, начало отсчета ($x=0$) находится в точке старта второго мотоциклиста, а ось X направлена в сторону их движения.

Для второго мотоциклиста начальная координата $x_{02} = 0 \text{ м}$. Его скорость направлена вдоль оси X, поэтому проекция скорости $v_{2x} = v_2 = 20 \text{ м/с}$.
Таким образом, уравнение движения второго мотоциклиста: $$x_2(t) = 0 + 20t = 20t$$

Первый мотоциклист в начальный момент времени находится впереди второго на 200 м. Следовательно, его начальная координата $x_{01} = 200 \text{ м}$. Его скорость также направлена вдоль оси X, поэтому $v_{1x} = v_1 = 10 \text{ м/с}$.
Уравнение движения первого мотоциклиста: $$x_1(t) = 200 + 10t$$

Ответ: Уравнение движения первого мотоциклиста: $x_1(t) = 200 + 10t$; уравнение движения второго мотоциклиста: $x_2(t) = 20t$ (где $x$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах).

Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для равномерного прямолинейного движения являются прямыми линиями. Для построения каждой прямой достаточно двух точек.

Для первого мотоциклиста ($x_1(t) = 200 + 10t$):
— при $t=0 \text{ с}$, $x_1 = 200 + 10 \cdot 0 = 200 \text{ м}$. Точка А (0; 200).
— для удобства возьмем время встречи $t=20 \text{ с}$ (рассчитано ниже), $x_1 = 200 + 10 \cdot 20 = 400 \text{ м}$. Точка В (20; 400).

Для второго мотоциклиста ($x_2(t) = 20t$):
— при $t=0 \text{ с}$, $x_2 = 20 \cdot 0 = 0 \text{ м}$. Точка C (0; 0).
— при $t=20 \text{ с}$, $x_2 = 20 \cdot 20 = 400 \text{ м}$. Точка В (20; 400).

Для построения чертежа нужно нарисовать оси координат: горизонтальную ось времени $t$ (в секундах) и вертикальную ось координаты $x$ (в метрах). В соответствии с рекомендованными масштабами (1 см : 100 м по оси $x$; 1 см : 5 с по оси $t$), нанести точки на координатную плоскость и соединить их прямыми. График $x_1(t)$ — это прямая, проходящая через точки А(0; 200) и В(20; 400). График $x_2(t)$ — это прямая, проходящая через начало координат С(0; 0) и точку В(20; 400). Точка пересечения графиков В(20; 400) показывает время и место встречи.

Ответ: Графики движения — две прямые линии. График первого мотоциклиста проходит через точки с координатами (0 с; 200 м) и (20 с; 400 м). График второго мотоциклиста проходит через точки (0 с; 0 м) и (20 с; 400 м).

Найти время и место встречи мотоциклистов

В момент встречи ($t_{встр}$) координаты мотоциклистов должны быть одинаковы, то есть $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$. Приравняем правые части уравнений движения: $$200 + 10t_{встр} = 20t_{встр}$$ Теперь решим это линейное уравнение относительно $t_{встр}$: $$20t_{встр} - 10t_{встр} = 200$$ $$10t_{встр} = 200$$ $$t_{встр} = \frac{200}{10} = 20 \text{ с}$$ Чтобы найти место встречи ($x_{встр}$), подставим найденное время в любое из двух уравнений движения. Возьмем уравнение для второго мотоциклиста, так как оно проще: $$x_{встр} = x_2(20) = 20 \cdot 20 = 400 \text{ м}$$ Для проверки можно подставить время в уравнение первого мотоциклиста: $$x_{встр} = x_1(20) = 200 + 10 \cdot 20 = 200 + 200 = 400 \text{ м}$$ Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: Время встречи мотоциклистов равно 20 с. Место встречи находится в точке с координатой 400 м от начального положения второго мотоциклиста.

26. Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно 20 и 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 250 м. Написать уравнения движения тел и построить графики зависимости $x = x(t)$. Систему отсчёта связать с землёй. Считать, что положение автомобиля при $t = 0$ совпадает с началом отсчёта, а ось X направлена в ту же сторону, что и скорость движения автомобиля.

Графически и аналитически определить:

а) место и время их встречи;

б) кто из них раньше пройдёт сотый метр и на сколько раньше;

в) расстояние между ними через 5 с;

г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м;

д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения;

е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м;

ж) какую точку автомобиль прошёл раньше велосипедиста на 12,5 с.

Дано:

Найти:

Решение:

Свяжем систему отсчета с Землей. Начало отсчета ($x=0$) — это начальное положение автомобиля. Ось $OX$ направим в сторону движения автомобиля. Движение обоих тел считаем равномерным и прямолинейным.

Уравнение движения в общем виде: $x(t) = x_0 + v_x t$.

Для автомобиля: начальная координата $x_{0а} = 0$, проекция скорости на ось OX $v_{аx} = v_а = 20$ м/с. Уравнение движения автомобиля: $x_а(t) = 20t$.

Для велосипедиста: начальная координата $x_{0в} = S_0 = 250$ м, проекция скорости на ось OX $v_{вx} = -v_в = -5$ м/с (так как он движется навстречу автомобилю, против оси OX). Уравнение движения велосипедиста: $x_в(t) = 250 - 5t$.

Графики зависимости $x=x(t)$ для обоих тел представляют собой прямые линии.

• График для автомобиля — прямая, проходящая через точки (0 с; 0 м) и (10 с; 200 м).
• График для велосипедиста — прямая, проходящая через точки (0 с; 250 м) и (10 с; 200 м).

а) место и время их встречи

Аналитически: В момент встречи их координаты равны: $x_а(t_{встр}) = x_в(t_{встр})$.

$20t_{встр} = 250 - 5t_{встр}$
$20t_{встр} + 5t_{встр} = 250$
$25t_{встр} = 250$
$t_{встр} = 250 / 25 = 10$ c.

Найдем координату места встречи, подставив время в любое из уравнений:

$x_{встр} = x_а(10) = 20 \cdot 10 = 200$ м.

Графически: Место и время встречи соответствуют точке пересечения графиков движения автомобиля и велосипедиста. Координаты этой точки (10 с; 200 м) и есть искомые время и место встречи.

Ответ: они встретятся через 10 секунд после начала движения в точке с координатой 200 м.

б) кто из них раньше пройдёт сотый метр и на сколько раньше

Найдем, в какой момент времени автомобиль окажется в точке с координатой $x=100$ м:

$100 = 20t_а \implies t_а = 100 / 20 = 5$ c.

Найдем, в какой момент времени велосипедист окажется в точке с координатой $x=100$ м:

$100 = 250 - 5t_в \implies 5t_в = 250 - 100 \implies 5t_в = 150 \implies t_в = 150 / 5 = 30$ c.

Сравнивая времена, видим, что $t_а < t_в$. Автомобиль пройдет сотый метр раньше. Найдем, на сколько раньше:

$\Delta t = t_в - t_а = 30 - 5 = 25$ c.

Ответ: автомобиль пройдёт сотый метр на 25 секунд раньше велосипедиста.

в) расстояние между ними через 5 с

Найдем координаты автомобиля и велосипедиста в момент времени $t=5$ с:

$x_а(5) = 20 \cdot 5 = 100$ м.
$x_в(5) = 250 - 5 \cdot 5 = 250 - 25 = 225$ м.

Расстояние между ними равно модулю разности их координат:

$S(5) = |x_в(5) - x_а(5)| = |225 - 100| = 125$ м.

Ответ: через 5 секунд расстояние между ними будет 125 м.

г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м

Сначала найдем момент времени, когда велосипедист находился в точке с координатой $x_в=225$ м:

$225 = 250 - 5t \implies 5t = 250 - 225 \implies 5t = 25 \implies t = 5$ c.

Теперь найдем координату автомобиля в этот момент времени, $t=5$ с:

$x_а(5) = 20 \cdot 5 = 100$ м.

Ответ: автомобиль находился в точке с координатой 100 м.

д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения

Сначала найдем координату точки, в которой был автомобиль через 7,5 с:

$x_а(7.5) = 20 \cdot 7.5 = 150$ м.

Теперь найдем момент времени, когда велосипедист проходил эту точку ($x=150$ м):

$150 = 250 - 5t_в \implies 5t_в = 250 - 150 \implies 5t_в = 100 \implies t_в = 20$ c.

Ответ: велосипедист проходил эту точку в момент времени 20 с.

е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м

Расстояние между телами определяется как $S(t) = |x_в(t) - x_а(t)| = |(250 - 5t) - 20t| = |250 - 25t|$.

Нам нужно решить уравнение $|250 - 25t| = 125$. Это уравнение распадается на два:

1) $250 - 25t = 125$ (до встречи)
$25t = 250 - 125$
$25t = 125$
$t_1 = 5$ c.

2) $250 - 25t = -125$ (после встречи)
$25t = 250 + 125$
$25t = 375$
$t_2 = 15$ c.

Ответ: расстояние между ними было 125 м в моменты времени 5 с и 15 с.

ж) какую точку автомобиль прошёл раньше велосипедиста на 12,5 с

Пусть $X$ — искомая координата. Пусть $t_а$ — время, за которое автомобиль достигнет точки $X$, а $t_в$ — время, за которое её достигнет велосипедист.

Из уравнений движения: $t_а = X / 20$ и $t_в = (250 - X) / 5$.

По условию, $t_а = t_в - 12.5$ (автомобиль раньше на 12,5 с, значит его время меньше).

Подставим выражения для времени:

$X/20 = (250 - X)/5 - 12.5$

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от знаменателей:

$X = 4(250 - X) - 12.5 \cdot 20$
$X = 1000 - 4X - 250$
$X + 4X = 750$
$5X = 750$
$X = 150$ м.

Ответ: это точка с координатой 150 м.