Страница 7 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

10. Путь или перемещение мы оплачиваем при поездке в такси; самолёте?

Для ответа на этот вопрос необходимо разобраться в физических понятиях «путь» и «перемещение».

Путь — это скалярная физическая величина, равная длине траектории, пройденной телом за некоторый промежуток времени. Иными словами, это фактическое расстояние, которое преодолело тело, двигаясь по своей траектории, со всеми поворотами и изгибами.

Перемещение — это векторная физическая величина, представляющая собой вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения — это кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками.

в такси

При поездке в такси оплата, как правило, рассчитывается на основе показаний таксометра. Таксометр учитывает пройденное расстояние по дорогам, а также время в пути (например, в пробках). Такси движется по улицам, объезжая препятствия и следуя правилам дорожного движения, поэтому его траектория редко бывает прямой линией между точкой отправления и точкой назначения. Таким образом, мы оплачиваем полную длину траектории, которую проехало такси. Это соответствует физическому понятию «путь».

Ответ: при поездке в такси мы оплачиваем путь.

в самолёте

При покупке авиабилета мы платим за перемещение из одного города (аэропорта) в другой. Цена билета фиксирована для маршрута из точки А в точку Б и не зависит от незначительных изменений траектории полета, вызванных, например, погодными условиями или указаниями авиадиспетчера. Пассажир платит за конечный результат — доставку из пункта отправления в пункт назначения, что по своей сути является перемещением. Если бы самолет, например, вернулся в аэропорт вылета из-за технической неисправности, его путь был бы значительным, но перемещение — нулевым, и в этом случае стоимость билета обычно возвращается, так как услуга по перемещению не была оказана.

Ответ: при поездке в самолёте мы оплачиваем перемещение.

11. Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман на высоте 1 м. Найти путь и перемещение мяча.

Дано:

Начальная высота падения мяча $h_1 = 3$ м

Конечная высота, на которой поймали мяч $h_2 = 1$ м

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Путь $L$ — ?

Модуль перемещения $s$ — ?

Решение:

Путь — это скалярная физическая величина, равная длине траектории, пройденной телом за некоторый промежуток времени. Путь является суммой длин всех участков траектории, пройденных телом.

Движение мяча состоит из двух этапов:
1. Падение с высоты $h_1$ на пол. Путь, пройденный на этом этапе, равен $L_1 = h_1 = 3$ м.
2. Отскок от пола и подъем на высоту $h_2$. Путь, пройденный на этом этапе, равен $L_2 = h_2 = 1$ м.

Общий путь $L$, пройденный мячом, равен сумме путей, пройденных на каждом этапе:
$L = L_1 + L_2 = h_1 + h_2$
$L = 3 \text{ м} + 1 \text{ м} = 4 \text{ м}$

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Модуль перемещения — это длина этого вектора, то есть кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками движения.

Для определения модуля перемещения введем вертикальную ось OY, направленную вверх, с началом отсчета на уровне пола ($y=0$).
Начальное положение (координата) мяча: $y_1 = h_1 = 3$ м.
Конечное положение (координата) мяча: $y_2 = h_2 = 1$ м.

Модуль перемещения $s$ равен модулю разности конечной и начальной координат:
$s = |y_2 - y_1|$
$s = |1 \text{ м} - 3 \text{ м}| = |-2 \text{ м}| = 2 \text{ м}$

Так как конечная координата меньше начальной ($y_2 < y_1$), вектор перемещения направлен вертикально вниз.

Ответ: путь, пройденный мячом, равен 4 м; модуль перемещения мяча равен 2 м.

12. Движущийся равномерно автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Сделать чертёж, на котором указать пути и перемещения автомобиля за всё время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?

Дано:

Траектория разворота — половина окружности. Обозначим радиус окружности как $R$.
Движение автомобиля равномерное (скорость $v$ постоянна).
Полное время разворота — $T$.
Рассматриваемые промежутки времени: $t_1 = T$ (всё время разворота) и $t_2 = T/3$ (треть времени разворота).

Найти:

Отношение пройденного пути к модулю перемещения для каждого из двух промежутков времени: $k_1 = \frac{L_1}{S_1}$ и $k_2 = \frac{L_2}{S_2}$.

Решение:

Для решения задачи сделаем чертёж. Пусть автомобиль начинает движение в точке А, центр полуокружности находится в точке О, а конечная точка полного разворота — точка В. Траектория движения — дуга АВ.

За всё время разворота

За полное время разворота $T$ автомобиль перемещается из точки А в точку В.

Путь $L_1$ равен длине полуокружности радиусом $R$. Длина всей окружности — $2\pi R$, следовательно: $$ L_1 = \pi R $$

Перемещение $\vec{S_1}$ — это вектор, направленный из начальной точки А в конечную В. Его модуль $S_1$ равен длине диаметра окружности: $$ S_1 = 2R $$

Отношение пути к модулю перемещения: $$ k_1 = \frac{L_1}{S_1} = \frac{\pi R}{2R} = \frac{\pi}{2} $$

Ответ: За всё время разворота путь больше модуля перемещения в $\frac{\pi}{2}$ раза, что приблизительно равно $1.57$.

За треть этого времени

Так как движение равномерное, за время $t_2 = T/3$ автомобиль пройдёт треть всего пути и окажется в некоторой точке С.

Путь $L_2$ равен одной трети от полного пути $L_1$: $$ L_2 = \frac{1}{3} L_1 = \frac{\pi R}{3} $$

Перемещение $\vec{S_2}$ — это вектор, соединяющий точки А и С. Модуль этого вектора $S_2$ равен длине хорды АС. Полный разворот на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) занимает время $T$. За время $T/3$ автомобиль повернётся на угол $\alpha$, равный трети от полного угла: $$ \alpha = \angle AOC = \frac{1}{3} \cdot 180^\circ = 60^\circ \text{ (или } \frac{\pi}{3} \text{ радиан)} $$

Рассмотрим треугольник АОС. Он является равнобедренным, так как две его стороны — радиусы ($OA = OC = R$). Угол между этими сторонами $\angle AOC = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $60^\circ$ все углы равны $60^\circ$, следовательно, треугольник АОС — равносторонний. Таким образом, длина хорды АС равна радиусу: $$ S_2 = R $$

Отношение пути к модулю перемещения: $$ k_2 = \frac{L_2}{S_2} = \frac{\pi R / 3}{R} = \frac{\pi}{3} $$

Ответ: За треть времени разворота путь больше модуля перемещения в $\frac{\pi}{3}$ раза, что приблизительно равно $1.05$.

13. На рисунке 5 показаны перемещения пяти материальных точек. Найти проекции векторов перемещения на оси координат.

Рис. 5

Дано:

На рисунке 5 изображена координатная плоскость $xOy$ и пять векторов перемещения $\vec{s_1}, \vec{s_2}, \vec{s_3}, \vec{s_4}, \vec{s_5}$. Единицы измерения по осям - метры (м), что соответствует системе СИ. Масштаб по осям: одна клетка сетки соответствует 2 м.

Найти:

Проекции векторов перемещения на оси координат $Ox$ и $Oy$ ($s_x$ и $s_y$) для каждого из пяти векторов.

Решение:

Проекция вектора на координатную ось равна разности координат конца и начала вектора на этой оси. Если вектор начинается в точке с координатами $(x_{нач}, y_{нач})$ и заканчивается в точке с координатами $(x_{кон}, y_{кон})$, то его проекции на оси $Ox$ и $Oy$ вычисляются по формулам:

$s_x = x_{кон} - x_{нач}$

$s_y = y_{кон} - y_{нач}$

Определим координаты начала и конца каждого вектора по рисунку и вычислим их проекции.

$\vec{s_1}$

Координаты начала вектора: $(2; 9)$.

Координаты конца вектора: $(8; 9)$.

Проекция на ось $Ox$: $s_{1x} = 8 \text{ м} - 2 \text{ м} = 6 \text{ м}$.

Проекция на ось $Oy$: $s_{1y} = 9 \text{ м} - 9 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Ответ: $s_{1x} = 6 \text{ м}$, $s_{1y} = 0 \text{ м}$.

$\vec{s_2}$

Координаты начала вектора: $(2; 4)$.

Координаты конца вектора: $(8; 6)$.

Проекция на ось $Ox$: $s_{2x} = 8 \text{ м} - 2 \text{ м} = 6 \text{ м}$.

Проекция на ось $Oy$: $s_{2y} = 6 \text{ м} - 4 \text{ м} = 2 \text{ м}$.

Ответ: $s_{2x} = 6 \text{ м}$, $s_{2y} = 2 \text{ м}$.

$\vec{s_3}$

Координаты начала вектора: $(8; 2)$.

Координаты конца вектора: $(2; 2)$.

Проекция на ось $Ox$: $s_{3x} = 2 \text{ м} - 8 \text{ м} = -6 \text{ м}$.

Проекция на ось $Oy$: $s_{3y} = 2 \text{ м} - 2 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Ответ: $s_{3x} = -6 \text{ м}$, $s_{3y} = 0 \text{ м}$.

$\vec{s_4}$

Координаты начала вектора: $(8; 6)$.

Координаты конца вектора: $(11; 3)$.

Проекция на ось $Ox$: $s_{4x} = 11 \text{ м} - 8 \text{ м} = 3 \text{ м}$.

Проекция на ось $Oy$: $s_{4y} = 3 \text{ м} - 6 \text{ м} = -3 \text{ м}$.

Ответ: $s_{4x} = 3 \text{ м}$, $s_{4y} = -3 \text{ м}$.

$\vec{s_5}$

Координаты начала вектора: $(8; 7)$.

Координаты конца вектора: $(8; 10)$.

Проекция на ось $Ox$: $s_{5x} = 8 \text{ м} - 8 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Проекция на ось $Oy$: $s_{5y} = 10 \text{ м} - 7 \text{ м} = 3 \text{ м}$.

Ответ: $s_{5x} = 0 \text{ м}$, $s_{5y} = 3 \text{ м}$.

14. На рисунке 6 показана траектория движения материальной точки из А в В. Найти координаты точки в начале и конце движения, проекции перемещения на оси координат, модуль перемещения.

Рис. 6

Дано:

Из графика (Рис. 6) определяются координаты начальной и конечной точек движения материальной точки.

Координаты начальной точки A: $x_A = 20$ м, $y_A = 20$ м.

Координаты конечной точки B: $x_B = 60$ м, $y_B = -10$ м.

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

1. Координаты точки в начале и конце движения.

2. Проекции перемещения на оси координат ($s_x, s_y$).

3. Модуль перемещения ($|\vec{s}|$).

Решение:

Координаты точки в начале и конце движения

Движение происходит из точки A в точку B. Следовательно, точка A является начальной, а точка B — конечной. Их координаты определяются по представленному графику.

Для точки A (начало движения), найдем ее проекции на оси координат. Проекция на ось абсцисс ($Ox$) равна 20 м, а на ось ординат ($Oy$) — 20 м. Таким образом, начальные координаты: $A(20; 20)$ м.

Для точки B (конец движения), ее проекция на ось $Ox$ равна 60 м, а на ось $Oy$ — -10 м. Таким образом, конечные координаты: $B(60; -10)$ м.

Ответ: координаты точки в начале движения $A(20; 20)$ м, в конце движения $B(60; -10)$ м.

Проекции перемещения на оси координат

Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из начальной точки A в конечную точку B. Его проекции на координатные оси ($s_x$ и $s_y$) вычисляются как разность соответствующих координат конечной и начальной точек.

Проекция перемещения на ось $Ox$:

$s_x = x_B - x_A = 60 \text{ м} - 20 \text{ м} = 40 \text{ м}$

Проекция перемещения на ось $Oy$:

$s_y = y_B - y_A = -10 \text{ м} - 20 \text{ м} = -30 \text{ м}$

Ответ: проекция перемещения на ось $Ox$ равна $40$ м, проекция на ось $Oy$ равна $-30$ м.

Модуль перемещения

Модуль перемещения $|\vec{s}|$ — это длина вектора $\vec{s}$. Его можно найти по теореме Пифагора, используя проекции перемещения как катеты прямоугольного треугольника.

Формула для вычисления модуля перемещения:

$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$

Подставляем числовые значения проекций:

$|\vec{s}| = \sqrt{(40 \text{ м})^2 + (-30 \text{ м})^2} = \sqrt{1600 \text{ м}^2 + 900 \text{ м}^2} = \sqrt{2500 \text{ м}^2} = 50 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения равен $50$ м.

15. На рисунке 7 показана траектория $ABCD$ движения материальной точки из $A$ в $D$. Найти координаты точки в начале и конце движения, пройденный путь, перемещение, проекции перемещения на оси координат.

Риc. 7

15. Координаты точки в начале и конце движения

Движение материальной точки начинается в точке A и заканчивается в точке D. По графику определяем их координаты.

Начальная точка A имеет координаты ($x_A$; $y_A$). Из графика $x_A = 2$ м, $y_A = 2$ м.

Конечная точка D имеет координаты ($x_D$; $y_D$). Из графика $x_D = 6$ м, $y_D = 2$ м.

Ответ: Координаты в начале движения (точка А): (2; 2) м. Координаты в конце движения (точка D): (6; 2) м.

Пройденный путь

Пройденный путь L — это длина всей траектории ABCD. Он равен сумме длин участков AB, BC и CD.

Длина участка AB (движение по вертикали): $L_{AB} = |y_B - y_A| = |10 - 2| = 8$ м.

Длина участка BC (движение по горизонтали): $L_{BC} = |x_C - x_B| = |6 - 2| = 4$ м.

Длина участка CD (движение по вертикали): $L_{CD} = |y_D - y_C| = |2 - 10| = 8$ м.

Суммарный путь: $L = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD} = 8 \text{ м} + 4 \text{ м} + 8 \text{ м} = 20 \text{ м}$.

Ответ: Пройденный путь равен 20 м.

Перемещение

Перемещение $\vec{s}$ — это вектор, соединяющий начальную точку A с конечной точкой D. Модуль перемещения $|\vec{s}|$ — это длина этого вектора (отрезка AD).

Модуль перемещения можно найти по теореме Пифагора, используя проекции перемещения на оси координат:

$|\vec{s}| = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(6-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ м.

Ответ: Модуль перемещения равен 4 м.

Проекции перемещения на оси координат

Проекция перемещения на ось Ox ($s_x$) — это изменение координаты x. Проекция перемещения на ось Oy ($s_y$) — это изменение координаты y.

Проекция на ось Ox: $s_x = x_D - x_A = 6 \text{ м} - 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$.

Проекция на ось Oy: $s_y = y_D - y_A = 2 \text{ м} - 2 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Ответ: Проекция перемещения на ось Ox равна 4 м, проекция на ось Oy равна 0 м.

16. Дано:

Начальные координаты точки: $x_1 = 0$ м, $y_1 = 2$ м.

Конечные координаты точки: $x_2 = 4$ м, $y_2 = -1$ м.

Найти:

Сделать чертёж, найти модуль перемещения $|\vec{s}|$ и его проекции на оси координат $s_x$, $s_y$.

Решение:

1. Чертёж. Начертим прямоугольную систему координат Oxy. Отметим на ней начальную точку $P_1$ с координатами (0; 2) и конечную точку $P_2$ с координатами (4; -1). Вектор перемещения $\vec{s}$ представляет собой направленный отрезок, идущий от точки $P_1$ к точке $P_2$.

2. Проекции перемещения. Найдём проекции вектора перемещения на оси координат как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Проекция на ось Ox: $s_x = x_2 - x_1 = 4 \text{ м} - 0 \text{ м} = 4 \text{ м}$.

Проекция на ось Oy: $s_y = y_2 - y_1 = -1 \text{ м} - 2 \text{ м} = -3 \text{ м}$.

3. Модуль перемещения. Модуль вектора перемещения (длину вектора) найдём по теореме Пифагора, зная его проекции:

$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{(4 \text{ м})^2 + (-3 \text{ м})^2} = \sqrt{16 \text{ м}^2 + 9 \text{ м}^2} = \sqrt{25 \text{ м}^2} = 5 \text{ м}$.

Ответ: Модуль перемещения равен 5 м. Проекции перемещения на оси координат: $s_x = 4$ м, $s_y = -3$ м. Чертёж представляет собой вектор из точки (0; 2) в точку (4; -1) в системе координат Oxy.

16. Тело переместилось из точки с координатами $x_1 = 0, y_1 = 2 \text{ м}$ в точку с координатами $x_2 = 4 \text{ м}, y_2 = -1 \text{ м}$. Сделать чертёж, найти перемещение и его проекции на оси координат.

Дано:

Найти:

Решение:

Найти проекции перемещения на оси координат

Проекция вектора перемещения на ось Ox находится как разность конечной и начальной координат по оси x:

$s_x = x_2 - x_1 = 4 \text{ м} - 0 \text{ м} = 4 \text{ м}$

Проекция вектора перемещения на ось Oy находится как разность конечной и начальной координат по оси y:

$s_y = y_2 - y_1 = -1 \text{ м} - 2 \text{ м} = -3 \text{ м}$

Ответ: Проекции перемещения на оси координат равны $s_x = 4$ м, $s_y = -3$ м.

Найти перемещение

Модуль перемещения $s$ (длина вектора перемещения $\vec{s}$) можно найти по теореме Пифагора, используя его проекции как катеты прямоугольного треугольника:

$s = |\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$

Подставим найденные значения проекций в формулу:

$s = \sqrt{(4 \text{ м})^2 + (-3 \text{ м})^2} = \sqrt{16 \text{ м}^2 + 9 \text{ м}^2} = \sqrt{25 \text{ м}^2} = 5 \text{ м}$

Ответ: Модуль перемещения равен 5 м.

Сделать чертёж

Нанесём на координатную плоскость Oxy начальную точку A(0; 2) и конечную точку B(4; -1). Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен от точки A к точке B. Проекции $s_x$ и $s_y$ являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенузой которого выступает вектор перемещения $\vec{s}$.

Ответ: Чертёж, иллюстрирующий перемещение тела, представлен выше.