Страница 11 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

33. Гусеничный трактор Т-150 движется с максимальной скоростью 18 км/ч. Найти проекции векторов скоростей верхней и нижней части гусеницы на оси $X$ и $X_1$. Ось $X$ связана с землёй, ось $X_1$ — с трактором. Обе оси направлены по ходу движения трактора.

Дано:

Максимальная скорость трактора $v_т = 18$ км/ч

Ось X связана с землей.

Ось X₁ связана с трактором.

Обе оси направлены по ходу движения трактора.

Найти:

$v_{вx}$, $v_{нx}$ — проекции скоростей верхней и нижней части гусеницы на ось X.

$v_{вx_1}$, $v_{нx_1}$ — проекции скоростей верхней и нижней части гусеницы на ось X₁.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим движение в двух системах отсчета (СО): неподвижной СО, связанной с землей (ось X), и подвижной СО₁, связанной с трактором (ось X₁). Скорость подвижной СО₁ относительно неподвижной СО равна скорости трактора $v_т$.

При движении трактора без проскальзывания, скорость движения ленты гусеницы относительно корпуса трактора по модулю равна скорости самого трактора относительно земли, то есть $v_т$.

Проекции векторов скоростей на ось X₁, связанную с трактором

В системе отсчета, связанной с трактором, мы наблюдаем движение гусеницы вокруг колес. Верхняя часть гусеницы движется вперед, в положительном направлении оси X₁, а нижняя часть движется назад, в отрицательном направлении.

Проекция скорости верхней части гусеницы на ось X₁:

$v_{вx_1} = v_т = 18$ км/ч

Проекция скорости нижней части гусеницы на ось X₁:

$v_{нx_1} = -v_т = -18$ км/ч

Ответ: Проекции скоростей на ось X₁, связанную с трактором: для верхней части гусеницы 18 км/ч, для нижней части –18 км/ч.

Проекции векторов скоростей на ось X, связанную с землей

Для нахождения скоростей относительно земли (абсолютных скоростей) используем классический закон сложения скоростей:

$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}$

Здесь $\vec{v}_{абс}$ — скорость части гусеницы относительно земли, $\vec{v}_{отн}$ — скорость этой же части гусеницы относительно трактора (относительная скорость), а $\vec{v}_{пер}$ — скорость трактора относительно земли (переносная скорость).

В проекциях на ось X, направленную по движению трактора, уравнение примет вид:

$v_x = v_{x_1} + v_{тx}$

где $v_{тx} = v_т$.

Проекция скорости верхней части гусеницы на ось X:

$v_{вx} = v_{вx_1} + v_{тx} = v_т + v_т = 2v_т = 2 \cdot 18 = 36$ км/ч

Проекция скорости нижней части гусеницы на ось X:

$v_{нx} = v_{нx_1} + v_{тx} = -v_т + v_т = 0$ км/ч

Нулевая скорость нижней части гусеницы относительно земли является условием движения без проскальзывания: точка гусеницы, касающаяся земли, в данный момент времени неподвижна.

Ответ: Проекции скоростей на ось X, связанную с землей: для верхней части гусеницы 36 км/ч, для нижней части 0 км/ч.

ходу движения трактора.

34. Эскалатор метро движется со скоростью 0,75 м/с. Найти время, за которое пассажир переместится на 20 м относительно земли, если он сам идёт в направлении движения эскалатора со скоростью 0,25 м/с в системе отсчёта, связанной с эскалатором.

Дано:

Скорость эскалатора относительно земли $v_э = 0,75$ м/с
Скорость пассажира относительно эскалатора $v_{пэ} = 0,25$ м/с
Перемещение пассажира относительно земли $S = 20$ м

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Время перемещения пассажира $t$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сложения скоростей. Поскольку пассажир движется в том же направлении, что и эскалатор, его скорость относительно земли ($v_п$) будет равна сумме скорости эскалатора относительно земли ($v_э$) и скорости пассажира относительно эскалатора ($v_{пэ}$).

Формула для скорости пассажира относительно земли выглядит так:

$v_п = v_э + v_{пэ}$

Подставим числовые значения:

$v_п = 0,75 \, \text{м/с} + 0,25 \, \text{м/с} = 1,0 \, \text{м/с}$

Теперь, зная общую скорость пассажира относительно земли и расстояние, которое он должен пройти, мы можем найти время, используя формулу для равномерного прямолинейного движения:

$t = \frac{S}{v_п}$

Подставим значения и вычислим время:

$t = \frac{20 \, \text{м}}{1,0 \, \text{м/с}} = 20 \, \text{с}$

Ответ: 20 с.

35. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда?

Дано:

Скорость первого поезда, $v_1 = 72 \text{ км/ч}$

Скорость второго поезда, $v_2 = 54 \text{ км/ч}$

Время, за которое второй поезд проходит мимо пассажира, $t = 14 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

$v_2 = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

Длину второго поезда, $L_2$.

Решение:

Для решения задачи перейдем в систему отсчета, связанную с пассажиром первого поезда. В этой системе отсчета пассажир неподвижен, а второй поезд движется ему навстречу.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость сближения $v_{отн}$ равна сумме их скоростей относительно земли:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

Подставим значения скоростей, переведенные в м/с:

$v_{отн} = 20 \text{ м/с} + 15 \text{ м/с} = 35 \text{ м/с}$

С точки зрения пассажира, второй поезд проезжает мимо него за время $t$. За это время поезд проходит расстояние, равное своей собственной длине $L_2$, с относительной скоростью $v_{отн}$.

Длину второго поезда можно найти, используя формулу пути для равномерного движения:

$L_2 = v_{отн} \cdot t$

Подставим вычисленную относительную скорость и заданное время в формулу:

$L_2 = 35 \text{ м/с} \cdot 14 \text{ с} = 490 \text{ м}$

Ответ: длина второго поезда равна 490 м.

36. Скорость движения лодки относительно воды в $n$ раз больше скорости течения реки. Во сколько раз больше времени занимает поездка на лодке между двумя пунктами против течения, чем по течению? Решить задачу для значений $n = 2$ и $n = 11$.

Дано:

$v_{лодки}$ — скорость лодки относительно воды

$v_{теч}$ — скорость течения реки

$v_{лодки} = n \cdot v_{теч}$

$n_1 = 2$

$n_2 = 11$

Найти:

$\frac{t_{против}}{t_{по}}$ — ?

Решение:

Пусть $S$ — расстояние между двумя пунктами. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $v$ — скорость.

Скорость лодки при движении по течению ($v_{по}$) равна сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения:

$v_{по} = v_{лодки} + v_{теч}$

Скорость лодки при движении против течения ($v_{против}$) равна разности скорости лодки относительно воды и скорости течения:

$v_{против} = v_{лодки} - v_{теч}$

Из условия задачи известно, что $v_{лодки} = n \cdot v_{теч}$. Подставим это соотношение в выражения для скоростей:

$v_{по} = n \cdot v_{теч} + v_{теч} = (n+1)v_{теч}$

$v_{против} = n \cdot v_{теч} - v_{теч} = (n-1)v_{теч}$

Теперь найдем время, затраченное на поездку по течению ($t_{по}$) и против течения ($t_{против}$):

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{(n+1)v_{теч}}$

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{(n-1)v_{теч}}$

Чтобы определить, во сколько раз больше времени занимает поездка против течения, чем по течению, необходимо найти отношение $t_{против}$ к $t_{по}$:

$\frac{t_{против}}{t_{по}} = \frac{\frac{S}{(n-1)v_{теч}}}{\frac{S}{(n+1)v_{теч}}} = \frac{S}{(n-1)v_{теч}} \cdot \frac{(n+1)v_{теч}}{S} = \frac{n+1}{n-1}$

Мы получили общую формулу для искомого отношения. Теперь подставим в нее заданные значения $n$.

При $n=2$:

$\frac{t_{против}}{t_{по}} = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3$

При $n=11$:

$\frac{t_{против}}{t_{по}} = \frac{11+1}{11-1} = \frac{12}{10} = 1.2$

Ответ: поездка на лодке против течения занимает больше времени, чем по течению: в 3 раза при $n=2$ и в 1,2 раза при $n=11$.

37. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору?

Дано:

Найти:

$t_{общ}$ - ?

Решение:

Обозначим длину эскалатора как $S$. Скорость эскалатора $v_э$, а скорость пассажира относительно эскалатора $v_п$.

Когда пассажир стоит на эскалаторе, он движется только за счет скорости эскалатора. Время подъема в этом случае равно $t_1$.

Отсюда скорость эскалатора:

$v_э = \frac{S}{t_1}$

Когда эскалатор неподвижен, пассажир поднимается за счет собственной скорости за время $t_2$.

Отсюда скорость пассажира:

$v_п = \frac{S}{t_2}$

Когда пассажир идет по движущемуся вверх эскалатору, их скорости складываются, так как они направлены в одну сторону. Результирующая скорость пассажира относительно земли $v_{общ}$ будет:

$v_{общ} = v_э + v_п$

Время $t_{общ}$, которое потребуется пассажиру для подъема в этом случае, можно найти по формуле:

$t_{общ} = \frac{S}{v_{общ}} = \frac{S}{v_э + v_п}$

Подставим выражения для скоростей $v_э$ и $v_п$:

$t_{общ} = \frac{S}{\frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2}}$

Можно вынести $S$ в знаменателе за скобки и сократить:

$t_{общ} = \frac{S}{S(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$

Приведем дробь в знаменателе к общему знаменателю:

$t_{общ} = \frac{1}{\frac{t_2 + t_1}{t_1 \cdot t_2}} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$t_{общ} = \frac{60 \text{ с} \cdot 180 \text{ с}}{60 \text{ с} + 180 \text{ с}} = \frac{10800 \text{ с}^2}{240 \text{ с}} = 45 \text{ с}$

Также можно посчитать в минутах: $t_{общ} = \frac{1 \text{ мин} \cdot 3 \text{ мин}}{1 \text{ мин} + 3 \text{ мин}} = \frac{3 \text{ мин}^2}{4 \text{ мин}} = 0.75 \text{ мин}$, что равно 45 секундам.

Ответ: 45 с.