Номер 37, страница 11 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

37. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору?

Дано:

Найти:

$t_{общ}$ - ?

Решение:

Обозначим длину эскалатора как $S$. Скорость эскалатора $v_э$, а скорость пассажира относительно эскалатора $v_п$.

Когда пассажир стоит на эскалаторе, он движется только за счет скорости эскалатора. Время подъема в этом случае равно $t_1$.

Отсюда скорость эскалатора:

$v_э = \frac{S}{t_1}$

Когда эскалатор неподвижен, пассажир поднимается за счет собственной скорости за время $t_2$.

Отсюда скорость пассажира:

$v_п = \frac{S}{t_2}$

Когда пассажир идет по движущемуся вверх эскалатору, их скорости складываются, так как они направлены в одну сторону. Результирующая скорость пассажира относительно земли $v_{общ}$ будет:

$v_{общ} = v_э + v_п$

Время $t_{общ}$, которое потребуется пассажиру для подъема в этом случае, можно найти по формуле:

$t_{общ} = \frac{S}{v_{общ}} = \frac{S}{v_э + v_п}$

Подставим выражения для скоростей $v_э$ и $v_п$:

$t_{общ} = \frac{S}{\frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2}}$

Можно вынести $S$ в знаменателе за скобки и сократить:

$t_{общ} = \frac{S}{S(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$

Приведем дробь в знаменателе к общему знаменателю:

$t_{общ} = \frac{1}{\frac{t_2 + t_1}{t_1 \cdot t_2}} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$t_{общ} = \frac{60 \text{ с} \cdot 180 \text{ с}}{60 \text{ с} + 180 \text{ с}} = \frac{10800 \text{ с}^2}{240 \text{ с}} = 45 \text{ с}$

Также можно посчитать в минутах: $t_{общ} = \frac{1 \text{ мин} \cdot 3 \text{ мин}}{1 \text{ мин} + 3 \text{ мин}} = \frac{3 \text{ мин}^2}{4 \text{ мин}} = 0.75 \text{ мин}$, что равно 45 секундам.

Ответ: 45 с.