Номер 41, страница 12 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

41*. На рисунке 13 изображён график движения второго автомобиля в системе отсчёта, связанной с первым автомобилем. Написать уравнения движений и построить графики в системе отсчёта, связанной с землёй (начало координат расположить в месте нахождения первого автомобиля в начальный момент времени), если скорость первого автомобиля относительно земли: а) направлена по оси $X$ и равна $2 \text{ м/с}$; б) направлена по оси $X$ и равна $6 \text{ м/с}$; в) направлена в сторону, противоположную оси $X$, и равна $2 \text{ м/с}$. Описать картину движения в каждом случае. График с осями: вертикальная ось $x, \text{ м}$ и горизонтальная ось $t, \text{ с}$. На графике обозначены линии I и II.

Рис. 13

Дано:

График зависимости координаты второго автомобиля от времени в системе отсчета, связанной с первым автомобилем $x_{21}(t)$.

Из графика: начальное положение второго автомобиля относительно первого $x_{21}(0) = 200$ м.

Время, через которое второй автомобиль поравнялся с первым: $t = 50$ с.

Начало координат в системе отсчета, связанной с землей, совпадает с начальным положением первого автомобиля: $x_{10} = 0$ м.

Скорости первого автомобиля относительно земли:

а) $v_1 = 2$ м/с

б) $v_1 = 6$ м/с

в) $v_1 = -2$ м/с (направлена противоположно оси X)

Найти:

Для каждого случая:

1. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$ в системе отсчета, связанной с землей.

2. Построить графики движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

3. Описать картину движения.

Решение:

1. Сначала определим относительную скорость второго автомобиля относительно первого ($v_{21}$) по заданному графику. Движение равномерное, так как график — прямая линия. Уравнение движения в относительной системе отсчета имеет вид $x_{21}(t) = x_{21}(0) + v_{21}t$.

Скорость $v_{21}$ равна тангенсу угла наклона графика к оси времени:

$v_{21} = \frac{\Delta x_{21}}{\Delta t} = \frac{0 - 200 \text{ м}}{50 \text{ с} - 0 \text{ с}} = -4$ м/с.

2. По закону сложения скоростей, скорость второго автомобиля в системе отсчета, связанной с землей ($v_2$), связана со скоростью первого ($v_1$) и их относительной скоростью ($v_{21}$) соотношением:

$v_{21} = v_2 - v_1$, откуда $v_2 = v_1 + v_{21} = v_1 - 4$ м/с.

3. Начальные координаты автомобилей в системе отсчета, связанной с землей:

Первый автомобиль: $x_{10} = 0$ м (по условию).

Второй автомобиль: $x_{20} = x_{21}(0) = 200$ м.

4. Общий вид уравнений движения для обоих автомобилей (движение равномерное):

$x_1(t) = x_{10} + v_1 t = v_1 t$

$x_2(t) = x_{20} + v_2 t = 200 + v_2 t = 200 + (v_1 - 4)t$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Скорость первого автомобиля $v_1 = 2$ м/с.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = v_1 - 4 = 2 - 4 = -2$ м/с.

Уравнения движения:

$x_1(t) = 2t$

$x_2(t) = 200 - 2t$

Описание движения: Первый автомобиль начинает движение из начала координат и движется в положительном направлении оси Х со скоростью 2 м/с. Второй автомобиль начинает движение из точки с координатой 200 м и движется навстречу первому (в отрицательном направлении оси Х) со скоростью 2 м/с. Автомобили встретятся.

Найдем время и место встречи: $x_1(t) = x_2(t) \implies 2t = 200 - 2t \implies 4t = 200 \implies t = 50$ с. Место встречи: $x(50) = 2 \cdot 50 = 100$ м.

Графики движения:

График $x_1(t)$ — прямая, выходящая из начала координат (0,0) с положительным наклоном.

График $x_2(t)$ — прямая, начинающаяся в точке (0, 200) с отрицательным наклоном.

Графики пересекаются в точке (50, 100).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 2t$, $x_2(t) = 200 - 2t$. Автомобили движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями и встречаются через 50 с в точке с координатой 100 м.

б) Скорость первого автомобиля $v_1 = 6$ м/с.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = v_1 - 4 = 6 - 4 = 2$ м/с.

Уравнения движения:

$x_1(t) = 6t$

$x_2(t) = 200 + 2t$

Описание движения: Оба автомобиля движутся в положительном направлении оси Х. Первый автомобиль стартует из начала координат, второй — из точки 200 м. Так как скорость первого автомобиля больше скорости второго ($6 \text{ м/с} > 2 \text{ м/с}$), первый автомобиль догоняет второй.

Найдем время и место встречи: $x_1(t) = x_2(t) \implies 6t = 200 + 2t \implies 4t = 200 \implies t = 50$ с. Место встречи: $x(50) = 6 \cdot 50 = 300$ м.

Графики движения:

График $x_1(t)$ — прямая, выходящая из начала координат (0,0) с большим положительным наклоном.

График $x_2(t)$ — прямая, начинающаяся в точке (0, 200) с меньшим положительным наклоном.

Графики пересекаются в точке (50, 300).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 6t$, $x_2(t) = 200 + 2t$. Оба автомобиля движутся в одном направлении, первый догоняет второго, и они встречаются через 50 с в точке с координатой 300 м.

в) Скорость первого автомобиля $v_1 = -2$ м/с.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = v_1 - 4 = -2 - 4 = -6$ м/с.

Уравнения движения:

$x_1(t) = -2t$

$x_2(t) = 200 - 6t$

Описание движения: Оба автомобиля движутся в отрицательном направлении оси Х. Первый автомобиль стартует из начала координат, второй — из точки 200 м. Так как скорость второго автомобиля по модулю больше скорости первого ($|-6 \text{ м/с}| > |-2 \text{ м/с}|$), второй автомобиль, находясь впереди, догоняет и перегоняет первый.

Найдем время и место встречи: $x_1(t) = x_2(t) \implies -2t = 200 - 6t \implies 4t = 200 \implies t = 50$ с. Место встречи: $x(50) = -2 \cdot 50 = -100$ м.

Графики движения:

График $x_1(t)$ — прямая, выходящая из начала координат (0,0) с небольшим отрицательным наклоном.

График $x_2(t)$ — прямая, начинающаяся в точке (0, 200) с большим отрицательным наклоном.

Графики пересекаются в точке (50, -100).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = -2t$, $x_2(t) = 200 - 6t$. Оба автомобиля движутся в отрицательном направлении. Второй автомобиль, стартовав из точки $x=200$ м, догоняет и встречается с первым через 50 с в точке с координатой -100 м.