Номер 46, страница 13 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

46. В безветренную погоду вертолёт двигался со скоростью $90 \text{ км/ч}$ точно на север. Найти скорость и курс вертолёта, если подул северо-западный ветер под углом $45^\circ$ к меридиану. Скорость ветра $10 \text{ м/с}$.

Дано:

Скорость вертолёта относительно воздуха $v_{в} = 90$ км/ч

Направление движения вертолёта: на север

Скорость ветра $v_{w} = 10$ м/с

Направление ветра: северо-западный, под углом $\beta = 45^\circ$ к меридиану. Это означает, что ветер дует с северо-запада на юго-восток.

Перевод в систему СИ:

$v_{в} = 90 \frac{км}{ч} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{рез}$ — результирующую скорость вертолёта относительно земли.

$\alpha$ — курс вертолёта (угол между направлением на север и вектором результирующей скорости).

Решение:

Результирующая скорость вертолёта относительно земли ($\vec{v}_{рез}$) является векторной суммой его скорости относительно воздуха ($\vec{v}_{в}$) и скорости самого воздуха, то есть ветра ($\vec{v}_{w}$):

$\vec{v}_{рез} = \vec{v}_{в} + \vec{v}_{w}$

Для нахождения суммы векторов введём систему координат. Направим ось OY на север (по направлению движения вертолёта), а ось OX — на восток.

Вектор скорости вертолёта относительно воздуха направлен строго на север, поэтому его проекции:

$v_{в,x} = 0$

$v_{в,y} = v_{в} = 25 \text{ м/с}$

Северо-западный ветер дует на юго-восток. Его вектор скорости будет направлен в четвёртый квадрант системы координат. Угол $45^\circ$ к меридиану (оси OY) означает, что угол с осью OX (направленной на восток) также составляет $45^\circ$. Проекции вектора скорости ветра будут:

$v_{w,x} = v_{w} \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}$

$v_{w,y} = -v_{w} \cdot \sin(45^\circ) = -10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -5\sqrt{2} \text{ м/с}$

Теперь найдём проекции результирующей скорости, сложив соответствующие проекции:

$v_{рез,x} = v_{в,x} + v_{w,x} = 0 + 5\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}$

$v_{рез,y} = v_{в,y} + v_{w,y} = 25 - 5\sqrt{2} \text{ м/с}$

Модуль результирующей скорости (скорость вертолёта относительно земли) найдём по теореме Пифагора:

$v_{рез} = \sqrt{v_{рез,x}^2 + v_{рез,y}^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (25 - 5\sqrt{2})^2}$

$v_{рез} = \sqrt{50 + (25^2 - 2 \cdot 25 \cdot 5\sqrt{2} + (5\sqrt{2})^2)} = \sqrt{50 + 625 - 250\sqrt{2} + 50}$

$v_{рез} = \sqrt{725 - 250\sqrt{2}} \approx \sqrt{725 - 250 \cdot 1.414} = \sqrt{725 - 353.5} = \sqrt{371.5} \approx 19.27 \text{ м/с}$

Курс вертолёта — это направление вектора $\vec{v}_{рез}$. Найдём угол $\alpha$, который этот вектор составляет с направлением на север (осью OY). Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника, образованного проекциями $v_{рез,x}$ и $v_{рез,y}$:

$\tan(\alpha) = \frac{|v_{рез,x}|}{|v_{рез,y}|} = \frac{5\sqrt{2}}{25 - 5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$

$\tan(\alpha) \approx \frac{1.414}{5 - 1.414} = \frac{1.414}{3.586} \approx 0.3943$

$\alpha = \arctan(0.3943) \approx 21.5^\circ$

Так как проекция на ось OX положительна, а на OY также положительна ($25 - 5\sqrt{2} > 0$), вертолёт будет двигаться на северо-восток.

Ответ: скорость вертолёта относительно земли составит примерно $19.3$ м/с, курс — на северо-восток под углом $21.5^\circ$ к меридиану.