Страница 13 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

42¹. Скорость продольной подачи резца токарного станка $12 \text{ см/мин}$, а поперечной подачи — $5 \text{ см/мин}$. Какова скорость резца в системе отсчёта, связанной с корпусом станка?

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Скорость резца в системе отсчёта, связанной с корпусом станка, является результирующей скоростью, полученной сложением векторов скорости продольной подачи ($ \vec{v}_{прод} $) и скорости поперечной подачи ($ \vec{v}_{попер} $).

Продольное и поперечное направления движения в токарном станке взаимно перпендикулярны. Следовательно, векторы скоростей $ \vec{v}_{прод} $ и $ \vec{v}_{попер} $ образуют прямой угол.

Модуль результирующей скорости $v$ (то есть скорость резца) можно найти по теореме Пифагора для векторов:

$v = \sqrt{v_{прод}^2 + v_{попер}^2}$

Подставим заданные значения скоростей. Удобнее провести вычисления в исходных единицах (см/мин), так как они дают точный целочисленный результат:

$v = \sqrt{(12 \text{ см/мин})^2 + (5 \text{ см/мин})^2} = \sqrt{144 \text{ (см/мин)}^2 + 25 \text{ (см/мин)}^2} = \sqrt{169 \text{ (см/мин)}^2} = 13 \text{ см/мин}$

Полученную скорость можно также выразить в единицах СИ (метры в секунду):

$v = 13 \frac{\text{см}}{\text{мин}} = 13 \cdot \frac{0.01 \text{ м}}{60 \text{ с}} \approx 0.00217 \text{ м/с}$

Ответ: скорость резца в системе отсчёта, связанной с корпусом станка, равна $13 \text{ см/мин}$ (или приблизительно $0.00217 \text{ м/с}$).

43. Вертолёт летел на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к меридиану будет лететь вертолёт, если подует западный ветер со скоростью 10 м/с?

Дано:

Скорость вертолёта относительно воздуха (направлена на север), $v_в = 20$ м/с.
Скорость западного ветра (направлен с запада на восток), $v_{ветра} = 10$ м/с.

Найти:

Результирующую скорость вертолёта $v_{рез}$ - ?
Угол к меридиану $\alpha$ - ?

Решение:

Результирующая скорость вертолёта относительно земли является векторной суммой его собственной скорости (относительно воздуха) и скорости ветра.

Введём систему координат: ось OY направим на север (вдоль меридиана), а ось OX — на восток.

Собственная скорость вертолёта направлена на север, поэтому её вектор имеет координаты $\vec{v}_в = (0; 20)$ м/с.

Западный ветер дует с запада на восток, следовательно, вектор скорости ветра направлен по оси OX и имеет координаты $\vec{v}_{ветра} = (10; 0)$ м/с.

Результирующая скорость $\vec{v}_{рез}$ находится сложением векторов:

$\vec{v}_{рез} = \vec{v}_в + \vec{v}_{ветра} = (0+10; 20+0) = (10; 20)$ м/с.

Модуль результирующей скорости (то, с какой скоростью будет лететь вертолёт) найдём по теореме Пифагора для вектора с компонентами $v_{рез,x} = 10$ м/с и $v_{рез,y} = 20$ м/с:

$v_{рез} = \sqrt{v_{рез,x}^2 + v_{рез,y}^2} = \sqrt{10^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \approx 22,36$ м/с.

Угол $\alpha$ к меридиану (то есть к направлению на север, или к оси OY) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного векторами скоростей. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (скорости ветра) к прилежащему катету (собственной скорости вертолёта):

$\tan(\alpha) = \frac{v_{ветра}}{v_в} = \frac{10}{20} = 0,5$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(0,5) \approx 26,6^\circ$

Ответ: вертолёт будет лететь со скоростью примерно $22,4$ м/с под углом около $26,6^\circ$ к меридиану в сторону востока.

44. Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 м/с в системе отсчёта, связанной с водой. На сколько метров будет снесён катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 м/с?

Дано:

Скорость катера относительно воды (перпендикулярно течению), $v_{к} = 4$ м/с
Ширина реки, $d = 800$ м
Скорость течения реки, $v_{т} = 1$ м/с

Найти:

Расстояние, на которое катер будет снесён течением, $s$

Решение:

Движение катера является сложным и его можно разложить на два независимых друг от друга движения: движение перпендикулярно течению (поперек реки) и движение вдоль течения (вниз по реке).

1. Движение поперек реки происходит со скоростью катера относительно воды $v_к$, так как по условию катер движется перпендикулярно течению. Время $t$, за которое катер пересечёт реку шириной $d$, можно найти по формуле для равномерного движения:

$t = \frac{d}{v_к}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{800 \text{ м}}{4 \text{ м/с}} = 200 \text{ с}$

2. Одновременно с пересечением реки катер сносится течением. Движение вдоль реки происходит со скоростью течения $v_т$. Расстояние $s$, на которое катер будет снесён за время $t$, также находится по формуле для равномерного движения:

$s = v_т \cdot t$

Подставим найденное время $t$ и скорость течения $v_т$:

$s = 1 \text{ м/с} \cdot 200 \text{ с} = 200 \text{ м}$

Таким образом, пока катер будет переправляться на другой берег, его снесет течением на 200 метров.

Ответ: катер будет снесён течением на 200 м.

45. На токарном станке вытачивают деталь в форме усечённого конуса (рис. 14). Какова должна быть скорость поперечной подачи резца, если скорость продольной подачи 25 см/мин? Размеры детали (в миллиметрах) указаны на рисунке.

Рис. 14

Дано:

Диаметр большего основания, $D_2 = 42$ мм
Диаметр меньшего основания, $D_1 = 38$ мм
Длина конической части, $L = 100$ мм
Скорость продольной подачи, $v_2 = 25$ см/мин

Переведем все величины в единую систему измерений (миллиметры и минуты):
$v_2 = 25 \text{ см/мин} = 250 \text{ мм/мин}$

Найти:

Скорость поперечной подачи резца, $v_1$.

Решение:

При вытачивании детали в форме усечённого конуса резец должен двигаться одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях: продольном (вдоль оси детали, скорость $v_2$) и поперечном (перпендикулярно оси детали, скорость $v_1$). Чтобы получить коническую поверхность, результирующий вектор скорости резца должен быть направлен вдоль образующей конуса.

Отношение скоростей поперечной и продольной подачи равно тангенсу угла наклона $\alpha$ образующей конуса к его оси. Этот же тангенс можно найти из геометрических размеров детали, рассматривая её осевое сечение.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобокая трапеция. Угол наклона $\alpha$ можно определить из прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина конической части $L$ и изменение радиуса $\Delta r$ на этой длине.

Найдем изменение диаметра детали: $ \Delta D = D_2 - D_1 = 42 \text{ мм} - 38 \text{ мм} = 4 \text{ мм} $

Изменение радиуса составляет половину изменения диаметра: $ \Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \frac{4 \text{ мм}}{2} = 2 \text{ мм} $

Теперь можем найти тангенс угла наклона образующей к оси детали: $ \tan(\alpha) = \frac{\Delta r}{L} $

С другой стороны, отношение составляющих скорости также равно тангенсу этого угла: $ \tan(\alpha) = \frac{v_1}{v_2} $

Приравняем оба выражения для тангенса угла $\alpha$: $ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\Delta r}{L} $

Из этого соотношения выразим искомую скорость поперечной подачи $v_1$: $ v_1 = v_2 \cdot \frac{\Delta r}{L} $

Подставим числовые значения в полученную формулу: $ v_1 = 250 \frac{\text{мм}}{\text{мин}} \cdot \frac{2 \text{ мм}}{100 \text{ мм}} = 250 \cdot 0.02 \frac{\text{мм}}{\text{мин}} = 5 \frac{\text{мм}}{\text{мин}} $

Для удобства можно перевести ответ в см/мин: $ v_1 = 5 \text{ мм/мин} = 0.5 \text{ см/мин} $

Ответ: скорость поперечной подачи резца должна быть 5 мм/мин.

46. В безветренную погоду вертолёт двигался со скоростью $90 \text{ км/ч}$ точно на север. Найти скорость и курс вертолёта, если подул северо-западный ветер под углом $45^\circ$ к меридиану. Скорость ветра $10 \text{ м/с}$.

Дано:

Скорость вертолёта относительно воздуха $v_{в} = 90$ км/ч

Направление движения вертолёта: на север

Скорость ветра $v_{w} = 10$ м/с

Направление ветра: северо-западный, под углом $\beta = 45^\circ$ к меридиану. Это означает, что ветер дует с северо-запада на юго-восток.

Перевод в систему СИ:

$v_{в} = 90 \frac{км}{ч} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{рез}$ — результирующую скорость вертолёта относительно земли.

$\alpha$ — курс вертолёта (угол между направлением на север и вектором результирующей скорости).

Решение:

Результирующая скорость вертолёта относительно земли ($\vec{v}_{рез}$) является векторной суммой его скорости относительно воздуха ($\vec{v}_{в}$) и скорости самого воздуха, то есть ветра ($\vec{v}_{w}$):

$\vec{v}_{рез} = \vec{v}_{в} + \vec{v}_{w}$

Для нахождения суммы векторов введём систему координат. Направим ось OY на север (по направлению движения вертолёта), а ось OX — на восток.

Вектор скорости вертолёта относительно воздуха направлен строго на север, поэтому его проекции:

$v_{в,x} = 0$

$v_{в,y} = v_{в} = 25 \text{ м/с}$

Северо-западный ветер дует на юго-восток. Его вектор скорости будет направлен в четвёртый квадрант системы координат. Угол $45^\circ$ к меридиану (оси OY) означает, что угол с осью OX (направленной на восток) также составляет $45^\circ$. Проекции вектора скорости ветра будут:

$v_{w,x} = v_{w} \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}$

$v_{w,y} = -v_{w} \cdot \sin(45^\circ) = -10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -5\sqrt{2} \text{ м/с}$

Теперь найдём проекции результирующей скорости, сложив соответствующие проекции:

$v_{рез,x} = v_{в,x} + v_{w,x} = 0 + 5\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}$

$v_{рез,y} = v_{в,y} + v_{w,y} = 25 - 5\sqrt{2} \text{ м/с}$

Модуль результирующей скорости (скорость вертолёта относительно земли) найдём по теореме Пифагора:

$v_{рез} = \sqrt{v_{рез,x}^2 + v_{рез,y}^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (25 - 5\sqrt{2})^2}$

$v_{рез} = \sqrt{50 + (25^2 - 2 \cdot 25 \cdot 5\sqrt{2} + (5\sqrt{2})^2)} = \sqrt{50 + 625 - 250\sqrt{2} + 50}$

$v_{рез} = \sqrt{725 - 250\sqrt{2}} \approx \sqrt{725 - 250 \cdot 1.414} = \sqrt{725 - 353.5} = \sqrt{371.5} \approx 19.27 \text{ м/с}$

Курс вертолёта — это направление вектора $\vec{v}_{рез}$. Найдём угол $\alpha$, который этот вектор составляет с направлением на север (осью OY). Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника, образованного проекциями $v_{рез,x}$ и $v_{рез,y}$:

$\tan(\alpha) = \frac{|v_{рез,x}|}{|v_{рез,y}|} = \frac{5\sqrt{2}}{25 - 5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$

$\tan(\alpha) \approx \frac{1.414}{5 - 1.414} = \frac{1.414}{3.586} \approx 0.3943$

$\alpha = \arctan(0.3943) \approx 21.5^\circ$

Так как проекция на ось OX положительна, а на OY также положительна ($25 - 5\sqrt{2} > 0$), вертолёт будет двигаться на северо-восток.

Ответ: скорость вертолёта относительно земли составит примерно $19.3$ м/с, курс — на северо-восток под углом $21.5^\circ$ к меридиану.

47*. В системе отсчёта, связанной с землёй, трамвай движется со скоростью $v = 2,4$ м/с (рис. 15), а три пешехода — с одинаковыми по модулю скоростями $v_1 = v_2 = v_3 = 1$ м/с.

Найти:

а) модули скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем;

б) проекции векторов скоростей пешеходов на оси координат в этой системе отсчёта.

Рис. 15

Дано:

Скорость трамвая в системе отсчёта, связанной с землёй: $v = 2,4$ м/с.
Модули скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с землёй: $v_1 = v_2 = v_3 = 1$ м/с.

Найти:

а) Модули скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем: $v'_1, v'_2, v'_3$.
б) Проекции векторов скоростей пешеходов на оси координат в этой системе отсчёта: $v'_{1x}, v'_{1y}; v'_{2x}, v'_{2y}; v'_{3x}, v'_{3y}$.

Решение:

Для нахождения скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем (относительные скорости), воспользуемся законом сложения скоростей. Скорость пешехода относительно земли ($\vec{v}_i$) равна векторной сумме его скорости относительно трамвая ($\vec{v'}_i$) и скорости трамвая относительно земли ($\vec{v}$):

$\vec{v}_i = \vec{v'}_i + \vec{v}$

Отсюда относительная скорость пешехода $\vec{v'}_i$ выражается как:

$\vec{v'}_i = \vec{v}_i - \vec{v}$

Для проведения вычислений будем использовать проекции векторов на оси координат, как показано на рисунке. Ось OX направлена по движению трамвая, а ось OY — перпендикулярно ему.

Проекции скоростей в системе отсчёта, связанной с землёй:
Скорость трамвая: $v_x = 2,4$ м/с, $v_y = 0$.
Скорость 1-го пешехода: $v_{1x} = 1$ м/с, $v_{1y} = 0$.
Скорость 2-го пешехода: $v_{2x} = -1$ м/с, $v_{2y} = 0$.
Скорость 3-го пешехода: $v_{3x} = 0$, $v_{3y} = 1$ м/с.

Формула для нахождения проекций относительной скорости:
$v'_{ix} = v_{ix} - v_x$
$v'_{iy} = v_{iy} - v_y$

а) Для нахождения модулей скоростей пешеходов относительно трамвая, сначала найдём проекции их относительных скоростей, а затем воспользуемся теоремой Пифагора: $v'_i = \sqrt{(v'_{ix})^2 + (v'_{iy})^2}$.

Для первого пешехода:
$v'_{1x} = 1 - 2,4 = -1,4$ м/с.
$v'_{1y} = 0 - 0 = 0$ м/с.
Модуль скорости: $v'_1 = \sqrt{(-1,4)^2 + 0^2} = 1,4$ м/с.

Для второго пешехода:
$v'_{2x} = -1 - 2,4 = -3,4$ м/с.
$v'_{2y} = 0 - 0 = 0$ м/с.
Модуль скорости: $v'_2 = \sqrt{(-3,4)^2 + 0^2} = 3,4$ м/с.

Для третьего пешехода:
$v'_{3x} = 0 - 2,4 = -2,4$ м/с.
$v'_{3y} = 1 - 0 = 1$ м/с.
Модуль скорости: $v'_3 = \sqrt{(-2,4)^2 + 1^2} = \sqrt{5,76 + 1} = \sqrt{6,76} = 2,6$ м/с.

Ответ: $v'_1 = 1,4$ м/с, $v'_2 = 3,4$ м/с, $v'_3 = 2,6$ м/с.

б) Проекции векторов скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем, были вычислены при решении пункта а).

Проекции для первого пешехода: $v'_{1x} = -1,4$ м/с, $v'_{1y} = 0$ м/с.
Проекции для второго пешехода: $v'_{2x} = -3,4$ м/с, $v'_{2y} = 0$ м/с.
Проекции для третьего пешехода: $v'_{3x} = -2,4$ м/с, $v'_{3y} = 1$ м/с.

Ответ: $v'_{1x} = -1,4$ м/с, $v'_{1y} = 0$ м/с; $v'_{2x} = -3,4$ м/с, $v'_{2y} = 0$ м/с; $v'_{3x} = -2,4$ м/с, $v'_{3y} = 1$ м/с.