Страница 10 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

27. Движение материальной точки в данной системе отсчёта описывается уравнениями $y = 1 + 2t$, $x = 2 + t$. Найти уравнение траектории. Построить траекторию на плоскости $XOY$. Указать положение точки $t = 0$, направление и скорость движения.

Дано:

Уравнения движения материальной точки:

$y(t) = 1 + 2t$

$x(t) = 2 + t$

В системе СИ будем считать, что координаты $x$ и $y$ измеряются в метрах (м), а время $t$ — в секундах (с).

Найти:

1. Уравнение траектории $y(x)$.

2. Построить график траектории.

3. Положение точки в момент времени $t = 0$.

4. Направление и скорость движения точки.

Решение:

1. Найти уравнение траектории.

Уравнение траектории представляет собой зависимость координаты $y$ от координаты $x$. Для его нахождения необходимо исключить параметр времени $t$ из данных уравнений движения.Из уравнения для координаты $x$ выразим время $t$:

$x = 2 + t \implies t = x - 2$

Теперь подставим полученное выражение для $t$ в уравнение для координаты $y$:

$y = 1 + 2t = 1 + 2(x - 2)$

$y = 1 + 2x - 4$

$y = 2x - 3$

Это уравнение является уравнением прямой линии в декартовых координатах.

Ответ: Уравнение траектории движения точки: $y = 2x - 3$.

2. Построить траекторию на плоскости XOY.

Траекторией движения является прямая линия $y = 2x - 3$. Для построения прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей. Найдем координаты точки в два разных момента времени:

• При $t = 0$:
  $x(0) = 2 + 0 = 2$ (м)
  $y(0) = 1 + 2 \cdot 0 = 1$ (м)
  Начальная точка движения: A(2, 1).
• При $t = 1$ с:
  $x(1) = 2 + 1 = 3$ (м)
  $y(1) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$ (м)
  Точка в момент времени $t=1$ с: B(3, 3).

Движение происходит вдоль прямой, проходящей через точки A(2, 1) и B(3, 3). Поскольку при увеличении времени $t$ обе координаты $x$ и $y$ возрастают, движение направлено от точки А к точке В и далее.

График траектории (прямая $y = 2x - 3$) с указанием начальной точки и направления движения:

Ответ: Траектория движения — это прямая линия, проходящая через точку (2, 1) и имеющая угловой коэффициент 2. Движение направлено в сторону увеличения обеих координат.

3. Указать положение точки t = 0, направление и скорость движения.

Положение точки при $t=0$:

Как было найдено ранее, подставив $t = 0$ в уравнения движения, получаем:

$x_0 = x(0) = 2$ м

$y_0 = y(0) = 1$ м

Начальное положение точки — M₀(2, 1).

Направление и скорость движения:

Для нахождения скорости найдем ее проекции на оси координат, взяв производные от координат по времени:

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + t) = 1$ м/с

$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 2t) = 2$ м/с

Поскольку проекции скорости $v_x$ и $v_y$ постоянны, движение является равномерным и прямолинейным. Вектор скорости постоянен и равен:

$\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} = 1\vec{i} + 2\vec{j}$ (м/с)

Направление движения определяется этим вектором. Скорость (модуль вектора скорости) равна:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ м/с.

Ответ: В момент времени $t = 0$ точка находится в положении (2, 1). Движение происходит с постоянной скоростью, равной $\sqrt{5}$ м/с. Направление движения задается постоянным вектором скорости $\vec{v} = (1, 2)$.

28. Какова траектория движения точки обода велосипедного колеса при равномерном и прямолинейном движении велосипедиста в системах отсчёта, жёстко связанных:

а) с вращающимся колесом;

б) с рамой велосипеда;

в) с землёй?

Решение

Траектория движения материальной точки — это линия, которую описывает точка при своем движении в пространстве. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается движение. Проанализируем движение точки на ободе колеса в каждой из предложенных систем отсчета.

а) с вращающимся колесом

В системе отсчета, жестко связанной с вращающимся колесом, любая точка, принадлежащая самому колесу, будет неподвижной. Это связано с тем, что расстояние от любой точки на колесе до любой другой точки на том же колесе остается неизменным. Таким образом, положение рассматриваемой точки на ободе относительно системы отсчета, связанной с колесом, не меняется со временем.

Ответ: Траектория представляет собой точку.

б) с рамой велосипеда

В системе отсчета, связанной с рамой велосипеда, ось колеса неподвижна. Точка на ободе колеса совершает вращательное движение вокруг этой оси. Поскольку велосипедист движется равномерно, вращение колеса также равномерное. Траекторией точки, равномерно вращающейся вокруг неподвижного центра, является окружность. Центр этой окружности — ось колеса, а радиус равен радиусу самого колеса.

Ответ: Траектория является окружностью.

в) с землёй

В системе отсчета, связанной с землей, движение точки на ободе является сложным, так как оно представляет собой сумму двух движений:

1. Поступательное движение: центр колеса движется прямолинейно и равномерно со скоростью велосипеда $v$ относительно земли.
2. Вращательное движение: точка на ободе вращается вокруг центра колеса с постоянной по модулю линейной скоростью $v_{rot}$. При условии качения без проскальзывания, модуль этой скорости равен скорости поступательного движения центра колеса: $v_{rot} = v$.

В результате сложения этих двух движений точка на ободе описывает кривую, которая называется циклоидой. Параметрические уравнения циклоиды, описывающей движение точки на ободе колеса радиусом $R$, катящегося по горизонтальной оси $x$, имеют вид: $x(t) = v t - R \sin(\omega t)$ и $y(t) = R - R \cos(\omega t)$, где $\omega = v/R$ — угловая скорость вращения колеса. Эта кривая состоит из повторяющихся арок.

Ответ: Траектория является циклоидой.

29. Может ли человек, находясь на движущемся эскалаторе метро, быть в покое в системе отсчёта, связанной с землёй?

Решение

Чтобы определить, может ли человек находиться в покое относительно земли, находясь на движущемся эскалаторе, необходимо применить закон сложения скоростей из кинематики.

Рассмотрим движение человека в системе отсчета, связанной с землей. Скорость человека относительно земли ($\vec{v}_{ч/з}$) равна векторной сумме скорости эскалатора относительно земли ($\vec{v}_{э/з}$) и скорости человека относительно эскалатора ($\vec{v}_{ч/э}$):
$ \vec{v}_{ч/з} = \vec{v}_{э/з} + \vec{v}_{ч/э} $

Состояние покоя в системе отсчета, связанной с землей, означает, что скорость человека относительно земли равна нулю: $\vec{v}_{ч/з} = 0$.

Подставив это условие в закон сложения скоростей, получим:
$ 0 = \vec{v}_{э/з} + \vec{v}_{ч/э} $
Из этого уравнения следует, что для выполнения условия покоя необходимо:
$ \vec{v}_{ч/э} = - \vec{v}_{э/з} $

Данное векторное равенство означает, что скорость человека относительно эскалатора должна быть равна по модулю и противоположна по направлению скорости эскалатора относительно земли.

На практике это выглядит так: если эскалатор движется вверх, человек должен идти по его ступеням вниз с такой же скоростью, с какой движется эскалатор. В результате его положение относительно земли останется неизменным.

Ответ: Да, может. Для этого человеку необходимо двигаться по эскалатору в направлении, противоположном движению эскалатора, со скоростью, равной по модулю скорости эскалатора.

30. На рисунке 11 помещён кадр из диафильма по сказке Х. К. Андерсена «Дюймовочка». Объяснить физическую несостоятельность текста под кадром.

Лист кувшинки поплыл по течению. Течение было сильное, и жаба никак не могла догнать Дюймовочку

Рис. 11

Физическая несостоятельность текста под кадром заключается в утверждении, что жаба не могла догнать Дюймовочку на листе кувшинки, плывущем по сильному течению.

Решение

Рассмотрим движение объектов с точки зрения физики. И Дюймовочка на листе, и жаба находятся в одной и той же системе отсчета, связанной с водой, которая движется относительно берега (течение).

1. Лист кувшинки — это пассивный объект. Он не имеет собственного привода и движется вместе с потоком воды. Поэтому его скорость относительно берега ($v_{листа}$) равна скорости течения ($v_{течения}$):

$v_{листа} = v_{течения}$

2. Жаба, в отличие от листа, может активно плыть, то есть двигаться относительно окружающей её воды. Её скорость относительно берега ($v_{жабы}$) является векторной суммой скорости течения ($v_{течения}$) и её собственной скорости относительно воды ($v_{жабы/воды}$). Если жаба плывет по течению, чтобы догнать лист, её скорость относительно берега будет:

$v_{жабы} = v_{течения} + v_{жабы/воды}$

Из текста следует, что жаба не могла догнать Дюймовочку. Это бы означало, что скорость жабы относительно берега была меньше или, в предельном случае, равна скорости листа:

$v_{жабы} \le v_{листа}$

Подставим в это неравенство выражения для скоростей:

$v_{течения} + v_{жабы/воды} \le v_{течения}$

Если вычесть из обеих частей неравенства скорость течения, получим:

$v_{жабы/воды} \le 0$

Этот результат означает, что для того, чтобы не догнать лист, жаба должна либо покоиться в воде ($v_{жабы/воды} = 0$), либо плыть против течения. Однако, по сюжету сказки, жаба преследует Дюймовочку, а значит, должна плыть в ту же сторону, что и течение. В этом случае ее собственная скорость относительно воды $v_{жабы/воды}$ положительна.

Даже самое сильное течение уносит лист и жабу с одинаковой скоростью. Но жаба, как хорошее плавающее животное, всегда может развить дополнительную скорость относительно воды. Поэтому её итоговая скорость относительно берега всегда будет больше скорости листа.

Ответ: Физическая несостоятельность заключается в том, что жаба, плывущая в той же воде и в том же направлении, что и лист кувшинки, будет двигаться быстрее листа. Скорость листа равна скорости течения, а скорость жабы — это сумма скорости течения и её собственной скорости плавания. Поэтому жаба обязательно догнала бы Дюймовочку. Утверждение в тексте противоречит закону сложения скоростей.

31¹. Скорость штормового ветра равна 30 м/с, а скорость автомобиля «Жигули» достигает 150 км/ч. Может ли автомобиль двигаться так, чтобы быть в покое относительно воздуха?

Дано:

Скорость штормового ветра $v_{ветра} = 30$ м/с

Максимальная скорость автомобиля «Жигули» $v_{авто\_макс} = 150$ км/ч

Найти:

Может ли автомобиль двигаться так, чтобы быть в покое относительно воздуха?

Решение:

Чтобы автомобиль находился в покое относительно воздуха, его скорость относительно земли должна быть равна по величине и направлению скорости воздуха (ветра) относительно земли. Иными словами, автомобиль должен двигаться по направлению ветра со скоростью, равной скорости ветра.

Скорость ветра составляет $v_{ветра} = 30$ м/с. Нам нужно определить, может ли автомобиль достичь такой скорости.

Максимальная скорость автомобиля, переведенная в систему СИ, составляет $v_{авто\_макс} \approx 41,67$ м/с.

Сравним требуемую скорость со скоростью, которую может развить автомобиль:

$30 \text{ м/с} < 41,67 \text{ м/с}$

Поскольку максимальная скорость автомобиля больше, чем скорость ветра, автомобиль может двигаться со скоростью 30 м/с в том же направлении, что и ветер. В этом случае его скорость относительно воздуха будет равна нулю, так как их скорости относительно земли будут одинаковы.

Ответ:

Да, может.

32. Скорость велосипедиста $36 \text{ км/ч}$, а скорость ветра $4 \text{ м/с}$. Какова скорость ветра в системе отсчёта, связанной с велосипедистом, при:

а) встречном ветре;

б) попутном ветре?

Дано:

Скорость велосипедиста, $v_в = 36$ км/ч
Скорость ветра относительно земли, $v_{ветра} = 4$ м/с

Для проведения расчетов необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ). Скорость ветра уже дана в м/с, переведем скорость велосипедиста: $v_в = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом ($v_{отн}$), для двух случаев:
а) при встречном ветре
б) при попутном ветре

Решение:

Для нахождения скорости одного тела относительно другого (относительной скорости) используется закон сложения скоростей. Скорость ветра относительно велосипедиста ($v_{отн}$) равна векторной разности скорости ветра относительно земли ($v_{ветра}$) и скорости велосипедиста относительно земли ($v_в$): $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{ветра} - \vec{v}_{в}$

Выберем ось координат $OX$, направленную в сторону движения велосипедиста. Тогда его скорость будет иметь положительную проекцию: $v_в = 10$ м/с.

а) встречном ветре

При встречном движении ветер дует навстречу велосипедисту. Это означает, что вектор его скорости направлен в противоположную сторону. Проекция скорости ветра на ось $OX$ будет отрицательной: $v_{ветра} = -4$ м/с.
Тогда относительная скорость ветра в проекции на ось $OX$ равна: $v_{отн,а} = v_{ветра} - v_в = (-4 \text{ м/с}) - (10 \text{ м/с}) = -14 \text{ м/с}$
Знак "минус" показывает, что в системе отсчета велосипедиста ветер движется в отрицательном направлении оси $OX$ (то есть навстречу). Модуль скорости, который и является искомой величиной, равен 14 м/с. Интуитивно, при встречном движении скорости складываются.

Ответ: 14 м/с.

б) попутном ветре

При попутном движении ветер дует в спину велосипедисту. Вектор его скорости сонаправлен с вектором скорости велосипедиста. Проекция скорости ветра на ось $OX$ будет положительной: $v_{ветра} = +4$ м/с.
Тогда относительная скорость ветра в проекции на ось $OX$ равна: $v_{отн,б} = v_{ветра} - v_в = (4 \text{ м/с}) - (10 \text{ м/с}) = -6 \text{ м/с}$
Знак "минус" означает, что велосипедист движется быстрее ветра и обгоняет его. Поэтому, с точки зрения велосипедиста, он все равно ощущает встречный поток воздуха (ветер). Модуль относительной скорости равен 6 м/с. Интуитивно, при движении в одном направлении, чтобы найти относительную скорость, нужно вычесть меньшую скорость из большей.

Ответ: 6 м/с.