Номер 27, страница 10 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

27. Движение материальной точки в данной системе отсчёта описывается уравнениями $y = 1 + 2t$, $x = 2 + t$. Найти уравнение траектории. Построить траекторию на плоскости $XOY$. Указать положение точки $t = 0$, направление и скорость движения.

Дано:

Уравнения движения материальной точки:

$y(t) = 1 + 2t$

$x(t) = 2 + t$

В системе СИ будем считать, что координаты $x$ и $y$ измеряются в метрах (м), а время $t$ — в секундах (с).

Найти:

1. Уравнение траектории $y(x)$.

2. Построить график траектории.

3. Положение точки в момент времени $t = 0$.

4. Направление и скорость движения точки.

Решение:

1. Найти уравнение траектории.

Уравнение траектории представляет собой зависимость координаты $y$ от координаты $x$. Для его нахождения необходимо исключить параметр времени $t$ из данных уравнений движения.Из уравнения для координаты $x$ выразим время $t$:

$x = 2 + t \implies t = x - 2$

Теперь подставим полученное выражение для $t$ в уравнение для координаты $y$:

$y = 1 + 2t = 1 + 2(x - 2)$

$y = 1 + 2x - 4$

$y = 2x - 3$

Это уравнение является уравнением прямой линии в декартовых координатах.

Ответ: Уравнение траектории движения точки: $y = 2x - 3$.

2. Построить траекторию на плоскости XOY.

Траекторией движения является прямая линия $y = 2x - 3$. Для построения прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей. Найдем координаты точки в два разных момента времени:

• При $t = 0$:
  $x(0) = 2 + 0 = 2$ (м)
  $y(0) = 1 + 2 \cdot 0 = 1$ (м)
  Начальная точка движения: A(2, 1).
• При $t = 1$ с:
  $x(1) = 2 + 1 = 3$ (м)
  $y(1) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$ (м)
  Точка в момент времени $t=1$ с: B(3, 3).

Движение происходит вдоль прямой, проходящей через точки A(2, 1) и B(3, 3). Поскольку при увеличении времени $t$ обе координаты $x$ и $y$ возрастают, движение направлено от точки А к точке В и далее.

График траектории (прямая $y = 2x - 3$) с указанием начальной точки и направления движения:

Ответ: Траектория движения — это прямая линия, проходящая через точку (2, 1) и имеющая угловой коэффициент 2. Движение направлено в сторону увеличения обеих координат.

3. Указать положение точки t = 0, направление и скорость движения.

Положение точки при $t=0$:

Как было найдено ранее, подставив $t = 0$ в уравнения движения, получаем:

$x_0 = x(0) = 2$ м

$y_0 = y(0) = 1$ м

Начальное положение точки — M₀(2, 1).

Направление и скорость движения:

Для нахождения скорости найдем ее проекции на оси координат, взяв производные от координат по времени:

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + t) = 1$ м/с

$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 2t) = 2$ м/с

Поскольку проекции скорости $v_x$ и $v_y$ постоянны, движение является равномерным и прямолинейным. Вектор скорости постоянен и равен:

$\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} = 1\vec{i} + 2\vec{j}$ (м/с)

Направление движения определяется этим вектором. Скорость (модуль вектора скорости) равна:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ м/с.

Ответ: В момент времени $t = 0$ точка находится в положении (2, 1). Движение происходит с постоянной скоростью, равной $\sqrt{5}$ м/с. Направление движения задается постоянным вектором скорости $\vec{v} = (1, 2)$.