Номер 20, страница 8 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. По прямолинейной автостраде (рис. 8) движутся равномерно: автобус — вправо со скоростью $20 \text{ м/с}$, легковой автомобиль — влево со скоростью $15 \text{ м/с}$ и мотоциклист — влево со скоростью $10 \text{ м/с}$. Координаты этих экипажей в момент начала наблюдения равны соответственно $500 \text{ м}$, $200 \text{ м}$ и $-300 \text{ м}$. Написать их уравнения движения. Найти: а) координату автобуса через 5 с; б) координату легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с; в) через какое время координата мотоциклиста будет равна $-600 \text{ м}$; г) в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева; д) где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения

Рис. 8

Дано:

Скорость автобуса (вправо) $v_а = 20$ м/с
Начальная координата автобуса $x_{0а} = 500$ м
Скорость легкового автомобиля (влево) $v_л = 15$ м/с
Начальная координата легкового автомобиля $x_{0л} = 200$ м
Скорость мотоциклиста (влево) $v_м = 10$ м/с
Начальная координата мотоциклиста $x_{0м} = -300$ м
Координата дерева $x_д = 0$ м
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Уравнения движения $x_а(t)$, $x_л(t)$, $x_м(t)$
а) $x_а(t_1)$ при $t_1 = 5$ с
б) $x_л(t_2)$ и $S_л(t_2)$ при $t_2 = 10$ с
в) $t_3$ при $x_м(t_3) = -600$ м
г) $t_4$ при $x_а(t_4) = x_д$
д) $x_л(t_5)$ при $t_5 = -20$ с

Решение:

Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось $Ox$.

Направим ось $Ox$ вправо, как показано на рисунке. Тогда движение вправо будет иметь положительную проекцию скорости ($v_x > 0$), а движение влево — отрицательную ($v_x < 0$).

Составим уравнения движения для каждого экипажа:

• Автобус (движется вправо): $v_{xа} = +20$ м/с. Уравнение движения: $x_а(t) = 500 + 20t$.
• Легковой автомобиль (движется влево): $v_{xл} = -15$ м/с. Уравнение движения: $x_л(t) = 200 - 15t$.
• Мотоциклист (движется влево): $v_{xм} = -10$ м/с. Уравнение движения: $x_м(t) = -300 - 10t$.

а) координату автобуса через 5 с

Подставим время $t = 5$ с в уравнение движения автобуса: $x_а(5) = 500 + 20 \cdot 5 = 500 + 100 = 600$ м.

Ответ: координата автобуса через 5 с будет равна 600 м.

б) координату легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с

Найдем координату легкового автомобиля, подставив время $t = 10$ с в его уравнение движения: $x_л(10) = 200 - 15 \cdot 10 = 200 - 150 = 50$ м.

Пройденный путь при равномерном движении вычисляется по формуле $S = |v| \cdot t$. $S_л = |v_л| \cdot t = 15 \cdot 10 = 150$ м.

Ответ: координата легкового автомобиля будет 50 м, а пройденный путь — 150 м.

в) через какое время координата мотоциклиста будет равна –600 м

Подставим значение координаты $x_м = -600$ м в уравнение движения мотоциклиста и найдем время $t$: $-600 = -300 - 10t$
$10t = -300 + 600$
$10t = 300$
$t = \frac{300}{10} = 30$ с.

Ответ: координата мотоциклиста будет равна –600 м через 30 с.

г) в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева

Дерево находится в начале координат, то есть его координата $x_д = 0$ м. Найдем время $t$, когда координата автобуса была равна нулю. $x_а(t) = 0$
$500 + 20t = 0$
$20t = -500$
$t = \frac{-500}{20} = -25$ с.

Отрицательное значение времени означает, что событие произошло до начала наблюдения (до $t=0$).

Ответ: автобус проезжал мимо дерева за 25 с до начала наблюдения (в момент времени $t = -25$ с).

д) где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения

"За 20 с до начала наблюдения" соответствует моменту времени $t = -20$ с. Подставим это значение в уравнение движения легкового автомобиля: $x_л(-20) = 200 - 15 \cdot (-20) = 200 + 300 = 500$ м.

Ответ: за 20 с до начала наблюдения легковой автомобиль находился в точке с координатой 500 м.