Номер 18, страница 8 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Катер прошёл по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении ещё 1 км. Найти геометрическим построением модуль и направление перемещения.

Дано:

Найти:

Решение:

Полное перемещение катера $\vec{s}$ является векторной суммой двух последовательных перемещений: $\vec{s_1}$ (на северо-восток) и $\vec{s_2}$ (на север).
$\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$

Для решения задачи геометрическим методом введем прямоугольную систему координат. Направим ось OY на север, а ось OX — на восток. Начало отсчета (точка O) будет в точке старта катера.

1. Геометрическое построение. Первый вектор перемещения $\vec{s_1}$ имеет модуль $s_1 = 2$ км и направлен на северо-восток, то есть под углом $45^\circ$ к осям OX и OY. Второй вектор $\vec{s_2}$ с модулем $s_2 = 1$ км направлен на север, то есть параллельно оси OY. По правилу сложения векторов, мы откладываем вектор $\vec{s_2}$ из конца вектора $\vec{s_1}$. Результирующий вектор $\vec{s}$ соединяет начало первого вектора с концом второго.

2. Расчет с помощью компонент векторов. Найдем проекции векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ на оси координат.

Для вектора $\vec{s_1}$:
$s_{1x} = s_1 \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ км
$s_{1y} = s_1 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ км

Для вектора $\vec{s_2}$:
$s_{2x} = 0$ км
$s_{2y} = 1$ км

Компоненты результирующего вектора $\vec{s}$ равны сумме соответствующих компонент:
$s_x = s_{1x} + s_{2x} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$ км
$s_y = s_{1y} + s_{2y} = \sqrt{2} + 1$ км

3. Нахождение модуля перемещения. Модуль вектора $\vec{s}$ найдем по теореме Пифагора:
$s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$ км
Вычислим приближенное значение:
$s \approx \sqrt{5 + 2 \cdot 1.414} = \sqrt{5 + 2.828} = \sqrt{7.828} \approx 2.798$ км

4. Нахождение направления перемещения. Направление вектора $\vec{s}$ определим как угол $\beta$ между вектором $\vec{s}$ и северным направлением (осью OY).
$\tan(\beta) = \frac{s_x}{s_y} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на $(1 - \sqrt{2})$:
$\tan(\beta) = \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} - 2}{1 - 2} = 2 - \sqrt{2}$
Вычислим приближенное значение:
$\tan(\beta) \approx 2 - 1.414 = 0.586$
$\beta = \arctan(0.586) \approx 30.4^\circ$
Это означает, что направление перемещения составляет примерно $30.4^\circ$ к востоку от северного направления.

Ответ: модуль перемещения катера составляет $s = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}} \approx 2.8$ км, направление — под углом примерно $30.4^\circ$ к востоку от северного направления.