Номер 12, страница 7 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

12. Движущийся равномерно автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Сделать чертёж, на котором указать пути и перемещения автомобиля за всё время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?

Дано:

Траектория разворота — половина окружности. Обозначим радиус окружности как $R$.
Движение автомобиля равномерное (скорость $v$ постоянна).
Полное время разворота — $T$.
Рассматриваемые промежутки времени: $t_1 = T$ (всё время разворота) и $t_2 = T/3$ (треть времени разворота).

Найти:

Отношение пройденного пути к модулю перемещения для каждого из двух промежутков времени: $k_1 = \frac{L_1}{S_1}$ и $k_2 = \frac{L_2}{S_2}$.

Решение:

Для решения задачи сделаем чертёж. Пусть автомобиль начинает движение в точке А, центр полуокружности находится в точке О, а конечная точка полного разворота — точка В. Траектория движения — дуга АВ.

За всё время разворота

За полное время разворота $T$ автомобиль перемещается из точки А в точку В.

Путь $L_1$ равен длине полуокружности радиусом $R$. Длина всей окружности — $2\pi R$, следовательно: $$ L_1 = \pi R $$

Перемещение $\vec{S_1}$ — это вектор, направленный из начальной точки А в конечную В. Его модуль $S_1$ равен длине диаметра окружности: $$ S_1 = 2R $$

Отношение пути к модулю перемещения: $$ k_1 = \frac{L_1}{S_1} = \frac{\pi R}{2R} = \frac{\pi}{2} $$

Ответ: За всё время разворота путь больше модуля перемещения в $\frac{\pi}{2}$ раза, что приблизительно равно $1.57$.

За треть этого времени

Так как движение равномерное, за время $t_2 = T/3$ автомобиль пройдёт треть всего пути и окажется в некоторой точке С.

Путь $L_2$ равен одной трети от полного пути $L_1$: $$ L_2 = \frac{1}{3} L_1 = \frac{\pi R}{3} $$

Перемещение $\vec{S_2}$ — это вектор, соединяющий точки А и С. Модуль этого вектора $S_2$ равен длине хорды АС. Полный разворот на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) занимает время $T$. За время $T/3$ автомобиль повернётся на угол $\alpha$, равный трети от полного угла: $$ \alpha = \angle AOC = \frac{1}{3} \cdot 180^\circ = 60^\circ \text{ (или } \frac{\pi}{3} \text{ радиан)} $$

Рассмотрим треугольник АОС. Он является равнобедренным, так как две его стороны — радиусы ($OA = OC = R$). Угол между этими сторонами $\angle AOC = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $60^\circ$ все углы равны $60^\circ$, следовательно, треугольник АОС — равносторонний. Таким образом, длина хорды АС равна радиусу: $$ S_2 = R $$

Отношение пути к модулю перемещения: $$ k_2 = \frac{L_2}{S_2} = \frac{\pi R / 3}{R} = \frac{\pi}{3} $$

Ответ: За треть времени разворота путь больше модуля перемещения в $\frac{\pi}{3}$ раза, что приблизительно равно $1.05$.