Номер 19, страница 8 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

19. Туристы прошли сначала 400 м на северо-запад, затем 500 м на восток и ещё 300 м на север. Найти геометрическим построением модуль и направление их перемещения.

Дано:

Найти:

Решение:

Полное перемещение туристов представляет собой векторную сумму трёх последовательных перемещений: $\vec{S} = \vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3}$. Для нахождения результирующего вектора $\vec{S}$ воспользуемся геометрическим построением (методом многоугольника) и для точности проверим результат аналитическим методом.

1. Геометрическое построение

1. Выберем систему координат. Направим ось $Ox$ на восток, а ось $Oy$ — на север. Начало отсчёта $O(0,0)$ — это точка старта туристов.

2. Выберем масштаб. Например, пусть 100 м на местности соответствует 1 см на чертеже.

3. Построим векторы перемещений последовательно, откладывая каждый следующий вектор от конца предыдущего.

• Из точки $O(0,0)$ отложим вектор $\vec{s_1}$, соответствующий перемещению 400 м на северо-запад. Длина этого вектора в нашем масштабе будет 4 см. Направление "северо-запад" означает, что вектор составляет угол $135^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$ (восток). Конец этого вектора обозначим точкой $A$.
• Из точки $A$ отложим вектор $\vec{s_2}$, соответствующий перемещению 500 м на восток. Длина вектора будет 5 см, и он будет направлен параллельно оси $Ox$. Конец этого вектора обозначим точкой $B$.
• Из точки $B$ отложим вектор $\vec{s_3}$, соответствующий перемещению 300 м на север. Длина вектора будет 3 см, и он будет направлен параллельно оси $Oy$. Конец этого вектора обозначим точкой $C$.

4. Результирующий вектор перемещения $\vec{S}$ соединяет начальную точку первого вектора ($O$) с конечной точкой последнего вектора ($C$). То есть, $\vec{S} = \vec{OC}$.

5. Измерим длину отрезка $OC$ линейкой и, используя масштаб, найдём модуль перемещения $S$. Затем с помощью транспортира измерим угол $\alpha$ между вектором $\vec{OC}$ и положительным направлением оси $Ox$ (восток).

2. Аналитический расчёт (для точности)

Найдём проекции каждого вектора на оси $Ox$ (восток) и $Oy$ (север).

• Вектор $\vec{s_1}$ (400 м на северо-запад, угол $135^\circ$ с осью $Ox$):
  $s_{1x} = s_1 \cos(135^\circ) = 400 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -200\sqrt{2} \text{ м}$
  $s_{1y} = s_1 \sin(135^\circ) = 400 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 200\sqrt{2} \text{ м}$
• Вектор $\vec{s_2}$ (500 м на восток, угол $0^\circ$ с осью $Ox$):
  $s_{2x} = s_2 \cos(0^\circ) = 500 \cdot 1 = 500 \text{ м}$
  $s_{2y} = s_2 \sin(0^\circ) = 500 \cdot 0 = 0 \text{ м}$
• Вектор $\vec{s_3}$ (300 м на север, угол $90^\circ$ с осью $Ox$):
  $s_{3x} = s_3 \cos(90^\circ) = 300 \cdot 0 = 0 \text{ м}$
  $s_{3y} = s_3 \sin(90^\circ) = 300 \cdot 1 = 300 \text{ м}$

Сложим проекции, чтобы найти проекции результирующего вектора $\vec{S}$:

$S_x = s_{1x} + s_{2x} + s_{3x} = -200\sqrt{2} + 500 + 0 = (500 - 200\sqrt{2}) \text{ м}$
$S_y = s_{1y} + s_{2y} + s_{3y} = 200\sqrt{2} + 0 + 300 = (300 + 200\sqrt{2}) \text{ м}$

Вычислим приближённые значения проекций, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$S_x \approx 500 - 200 \cdot 1.414 = 500 - 282.8 = 217.2 \text{ м}$
$S_y \approx 300 + 200 \cdot 1.414 = 300 + 282.8 = 582.8 \text{ м}$

Теперь найдём модуль (длину) результирующего вектора $\vec{S}$ по теореме Пифагора:

$S = |\vec{S}| = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{(500 - 200\sqrt{2})^2 + (300 + 200\sqrt{2})^2}$
$S \approx \sqrt{(217.2)^2 + (582.8)^2} \approx \sqrt{47175.84 + 339655.84} = \sqrt{386831.68} \approx 622 \text{ м}$

Найдём направление вектора $\vec{S}$. Так как обе проекции $S_x$ и $S_y$ положительны, вектор направлен на северо-восток. Угол $\alpha$, который вектор составляет с направлением на восток (осью $Ox$), можно найти через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{S_y}{S_x} = \frac{300 + 200\sqrt{2}}{500 - 200\sqrt{2}} \approx \frac{582.8}{217.2} \approx 2.683$

$\alpha = \arctan(2.683) \approx 69.6^\circ$

Таким образом, перемещение произошло в северо-восточном направлении под углом примерно $69.6^\circ$ к востоку.

Ответ: Модуль перемещения туристов составляет примерно $622 \text{ м}$, направление — северо-восток, под углом $69.6^\circ$ к направлению на восток.