Номер 26, страница 9 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

26. Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно 20 и 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 250 м. Написать уравнения движения тел и построить графики зависимости $x = x(t)$. Систему отсчёта связать с землёй. Считать, что положение автомобиля при $t = 0$ совпадает с началом отсчёта, а ось X направлена в ту же сторону, что и скорость движения автомобиля.

Графически и аналитически определить:

а) место и время их встречи;

б) кто из них раньше пройдёт сотый метр и на сколько раньше;

в) расстояние между ними через 5 с;

г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м;

д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения;

е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м;

ж) какую точку автомобиль прошёл раньше велосипедиста на 12,5 с.

Дано:

Найти:

Решение:

Свяжем систему отсчета с Землей. Начало отсчета ($x=0$) — это начальное положение автомобиля. Ось $OX$ направим в сторону движения автомобиля. Движение обоих тел считаем равномерным и прямолинейным.

Уравнение движения в общем виде: $x(t) = x_0 + v_x t$.

Для автомобиля: начальная координата $x_{0а} = 0$, проекция скорости на ось OX $v_{аx} = v_а = 20$ м/с. Уравнение движения автомобиля: $x_а(t) = 20t$.

Для велосипедиста: начальная координата $x_{0в} = S_0 = 250$ м, проекция скорости на ось OX $v_{вx} = -v_в = -5$ м/с (так как он движется навстречу автомобилю, против оси OX). Уравнение движения велосипедиста: $x_в(t) = 250 - 5t$.

Графики зависимости $x=x(t)$ для обоих тел представляют собой прямые линии.

• График для автомобиля — прямая, проходящая через точки (0 с; 0 м) и (10 с; 200 м).
• График для велосипедиста — прямая, проходящая через точки (0 с; 250 м) и (10 с; 200 м).

а) место и время их встречи

Аналитически: В момент встречи их координаты равны: $x_а(t_{встр}) = x_в(t_{встр})$.

$20t_{встр} = 250 - 5t_{встр}$
$20t_{встр} + 5t_{встр} = 250$
$25t_{встр} = 250$
$t_{встр} = 250 / 25 = 10$ c.

Найдем координату места встречи, подставив время в любое из уравнений:

$x_{встр} = x_а(10) = 20 \cdot 10 = 200$ м.

Графически: Место и время встречи соответствуют точке пересечения графиков движения автомобиля и велосипедиста. Координаты этой точки (10 с; 200 м) и есть искомые время и место встречи.

Ответ: они встретятся через 10 секунд после начала движения в точке с координатой 200 м.

б) кто из них раньше пройдёт сотый метр и на сколько раньше

Найдем, в какой момент времени автомобиль окажется в точке с координатой $x=100$ м:

$100 = 20t_а \implies t_а = 100 / 20 = 5$ c.

Найдем, в какой момент времени велосипедист окажется в точке с координатой $x=100$ м:

$100 = 250 - 5t_в \implies 5t_в = 250 - 100 \implies 5t_в = 150 \implies t_в = 150 / 5 = 30$ c.

Сравнивая времена, видим, что $t_а < t_в$. Автомобиль пройдет сотый метр раньше. Найдем, на сколько раньше:

$\Delta t = t_в - t_а = 30 - 5 = 25$ c.

Ответ: автомобиль пройдёт сотый метр на 25 секунд раньше велосипедиста.

в) расстояние между ними через 5 с

Найдем координаты автомобиля и велосипедиста в момент времени $t=5$ с:

$x_а(5) = 20 \cdot 5 = 100$ м.
$x_в(5) = 250 - 5 \cdot 5 = 250 - 25 = 225$ м.

Расстояние между ними равно модулю разности их координат:

$S(5) = |x_в(5) - x_а(5)| = |225 - 100| = 125$ м.

Ответ: через 5 секунд расстояние между ними будет 125 м.

г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м

Сначала найдем момент времени, когда велосипедист находился в точке с координатой $x_в=225$ м:

$225 = 250 - 5t \implies 5t = 250 - 225 \implies 5t = 25 \implies t = 5$ c.

Теперь найдем координату автомобиля в этот момент времени, $t=5$ с:

$x_а(5) = 20 \cdot 5 = 100$ м.

Ответ: автомобиль находился в точке с координатой 100 м.

д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения

Сначала найдем координату точки, в которой был автомобиль через 7,5 с:

$x_а(7.5) = 20 \cdot 7.5 = 150$ м.

Теперь найдем момент времени, когда велосипедист проходил эту точку ($x=150$ м):

$150 = 250 - 5t_в \implies 5t_в = 250 - 150 \implies 5t_в = 100 \implies t_в = 20$ c.

Ответ: велосипедист проходил эту точку в момент времени 20 с.

е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м

Расстояние между телами определяется как $S(t) = |x_в(t) - x_а(t)| = |(250 - 5t) - 20t| = |250 - 25t|$.

Нам нужно решить уравнение $|250 - 25t| = 125$. Это уравнение распадается на два:

1) $250 - 25t = 125$ (до встречи)
$25t = 250 - 125$
$25t = 125$
$t_1 = 5$ c.

2) $250 - 25t = -125$ (после встречи)
$25t = 250 + 125$
$25t = 375$
$t_2 = 15$ c.

Ответ: расстояние между ними было 125 м в моменты времени 5 с и 15 с.

ж) какую точку автомобиль прошёл раньше велосипедиста на 12,5 с

Пусть $X$ — искомая координата. Пусть $t_а$ — время, за которое автомобиль достигнет точки $X$, а $t_в$ — время, за которое её достигнет велосипедист.

Из уравнений движения: $t_а = X / 20$ и $t_в = (250 - X) / 5$.

По условию, $t_а = t_в - 12.5$ (автомобиль раньше на 12,5 с, значит его время меньше).

Подставим выражения для времени:

$X/20 = (250 - X)/5 - 12.5$

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от знаменателей:

$X = 4(250 - X) - 12.5 \cdot 20$
$X = 1000 - 4X - 250$
$X + 4X = 750$
$5X = 750$
$X = 150$ м.

Ответ: это точка с координатой 150 м.