Номер 22, страница 9 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

22. По заданным графикам (рис. 9) найти начальные координаты тел и проекции скорости их движения. Написать уравнения движения тел $x = x(t)$. Из графиков и уравнений найти время и место встречи тел, движения которых описываются графиками II и III.

Дано:

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для трех тел (I, II, III).

Все данные на графиках представлены в системе СИ (координата $x$ в метрах (м), время $t$ в секундах (с)).

Найти:

1. Начальные координаты $x_{0I}, x_{0II}, x_{0III}$ и проекции скоростей $v_{xI}, v_{xII}, v_{xIII}$ для тел I, II, III.

2. Уравнения движения $x_I(t), x_{II}(t), x_{III}(t)$.

3. Время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ встречи тел II и III.

Решение:

Так как графики зависимости координаты от времени представляют собой прямые линии, движение всех трех тел является равномерным и прямолинейным. Общее уравнение такого движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата (значение $x$ при $t=0$), а $v_x$ — проекция скорости на ось Ох (тангенс угла наклона графика к оси времени).

Начальные координаты тел и проекции скорости их движения

Начальную координату $x_0$ определяем как точку пересечения графика с осью ординат (осью $x$). Проекцию скорости $v_x$ находим как отношение изменения координаты $\Delta x$ к промежутку времени $\Delta t$, за которое это изменение произошло: $v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$.

Тело I:

• Начальная координата (при $t=0$): $x_{0I} = 5$ м.
• График - горизонтальная линия, координата не меняется со временем. Следовательно, проекция скорости равна нулю: $v_{xI} = 0$ м/с.

Тело II:

• Начальная координата (при $t=0$): $x_{0II} = 5$ м.
• Для нахождения проекции скорости выберем две точки на графике, например, $(t_1=0\text{ с}, x_1=5\text{ м})$ и $(t_2=10\text{ с}, x_2=-5\text{ м})$.
• $v_{xII} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{-5\text{ м} - 5\text{ м}}{10\text{ с} - 0\text{ с}} = \frac{-10\text{ м}}{10\text{ с}} = -1$ м/с.

Тело III:

• Начальная координата (при $t=0$): $x_{0III} = -10$ м.
• Для нахождения проекции скорости выберем две точки на графике, например, $(t_1=0\text{ с}, x_1=-10\text{ м})$ и $(t_2=20\text{ с}, x_2=0\text{ м})$.
• $v_{xIII} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{0\text{ м} - (-10\text{ м})}{20\text{ с} - 0\text{ с}} = \frac{10\text{ м}}{20\text{ с}} = 0.5$ м/с.

Ответ: Для тела I: $x_{0I} = 5$ м, $v_{xI} = 0$ м/с. Для тела II: $x_{0II} = 5$ м, $v_{xII} = -1$ м/с. Для тела III: $x_{0III} = -10$ м, $v_{xIII} = 0.5$ м/с.

Уравнения движения тел $x = x(t)$

Подставим найденные значения $x_0$ и $v_x$ в общее уравнение движения $x(t) = x_0 + v_x t$.

• Тело I: $x_I(t) = 5 + 0 \cdot t \implies x_I(t) = 5$.
• Тело II: $x_{II}(t) = 5 + (-1) \cdot t \implies x_{II}(t) = 5 - t$.
• Тело III: $x_{III}(t) = -10 + 0.5 \cdot t \implies x_{III}(t) = -10 + 0.5t$.

Ответ: Уравнения движения тел: $x_I(t) = 5$; $x_{II}(t) = 5 - t$; $x_{III}(t) = -10 + 0.5t$. (где $x$ в метрах, $t$ в секундах)

Время и место встречи тел, движения которых описываются графиками II и III

Место и время встречи тел можно определить двумя способами: по графикам и с помощью уравнений.

По графикам:

Точка встречи на графике — это точка пересечения графиков движения тел II и III. Из рисунка 9 видно, что графики II и III пересекаются в точке с координатами $t = 10$ с и $x = -5$ м.

С помощью уравнений:

В момент встречи координаты тел равны: $x_{II}(t) = x_{III}(t)$. Приравняем уравнения движения для тел II и III и решим полученное уравнение относительно $t$:

$5 - t = -10 + 0.5t$

$5 + 10 = t + 0.5t$

$15 = 1.5t$

$t = \frac{15}{1.5} = 10$ с.

Теперь найдем координату встречи, подставив найденное время $t=10$ с в любое из двух уравнений движения:

$x_{встр} = x_{II}(10) = 5 - 10 = -5$ м.

или

$x_{встр} = x_{III}(10) = -10 + 0.5 \cdot 10 = -10 + 5 = -5$ м.

Результаты, полученные обоими способами, совпадают.

Ответ: Тела II и III встретятся через 10 с после начала движения в точке с координатой -5 м.