Номер 23, страница 9 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

23. Движения двух велосипедистов заданы уравнениями: $x_1 = 5t$, $x_2 = 150 - 10t$. Построить графики зависимости $x(t)$. Найти время и место встречи.

Дано:

Уравнение движения первого велосипедиста: $x_1 = 5t$
Уравнение движения второго велосипедиста: $x_2 = 150 - 10t$

Поскольку в задаче не указаны единицы измерения, для определенности будем считать, что координата $x$ измеряется в метрах (м), а время $t$ — в секундах (с). Тогда скорость будет измеряться в метрах в секунду (м/с). Все данные уже представлены в согласованной системе единиц (СИ).

Найти:

1. Построить графики зависимости $x(t)$.
2. Время встречи $t_{встр}$ - ?
3. Место встречи $x_{встр}$ - ?

Решение:

Оба уравнения движения имеют вид $x(t) = x_0 + v_x t$, что соответствует равномерному прямолинейному движению.

• Для первого велосипедиста ($x_1 = 5t$): начальная координата $x_{01} = 0$ м, проекция скорости на ось X равна $v_{1x} = 5$ м/с. Велосипедист движется из начала координат в положительном направлении оси X.
• Для второго велосипедиста ($x_2 = 150 - 10t$): начальная координата $x_{02} = 150$ м, проекция скорости на ось X равна $v_{2x} = -10$ м/с. Велосипедист движется из точки с координатой 150 м в отрицательном направлении оси X, то есть навстречу первому.

Построить графики зависимости x(t).

Графиками зависимостей $x(t)$ для равномерного движения являются прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для первого велосипедиста ($x_1 = 5t$):

• при $t = 0$ с, $x_1 = 5 \cdot 0 = 0$ м. Точка (0; 0).
• при $t = 10$ с, $x_1 = 5 \cdot 10 = 50$ м. Точка (10; 50).

Для второго велосипедиста ($x_2 = 150 - 10t$):

• при $t = 0$ с, $x_2 = 150 - 10 \cdot 0 = 150$ м. Точка (0; 150).
• при $t = 10$ с, $x_2 = 150 - 10 \cdot 10 = 50$ м. Точка (10; 50).

Построим графики в одной системе координат $x(t)$:

Синей линией показан график движения первого велосипедиста $x_1(t)$, красной — второго $x_2(t)$. Точка пересечения графиков соответствует моменту и месту их встречи.

Ответ: Графики движения велосипедистов представляют собой две прямые линии, построенные на координатной плоскости $x(t)$. График $x_1(t)$ выходит из начала координат и идет вверх, а график $x_2(t)$ начинается в точке (0; 150) и идет вниз. Графики пересекаются в точке (10; 50).

Найти время и место встречи.

В момент встречи координаты велосипедистов равны, то есть $x_1 = x_2$. Приравняем правые части уравнений движения:

$5t = 150 - 10t$

Перенесем слагаемые с переменной $t$ в левую часть уравнения:

$5t + 10t = 150$

$15t = 150$

Отсюда находим время встречи $t_{встр}$:

$t_{встр} = \frac{150}{15} = 10$ с.

Чтобы найти место встречи (координату $x_{встр}$), подставим найденное время в любое из двух уравнений движения. Подставим в первое:

$x_{встр} = 5 \cdot t_{встр} = 5 \cdot 10 = 50$ м.

Для проверки подставим во второе уравнение:

$x_{встр} = 150 - 10 \cdot t_{встр} = 150 - 10 \cdot 10 = 150 - 100 = 50$ м.

Результаты совпадают. Таким образом, велосипедисты встретятся через 10 секунд после начала движения в точке с координатой 50 метров. Этой точке соответствует точка пересечения графиков.

Ответ: Время встречи $t_{встр} = 10$ с, место встречи $x_{встр} = 50$ м.