Номер 21, страница 8 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

21. Движение грузового автомобиля описывается уравнением $x_1 = -270 + 12t$, а движение пешехода по обочине того же шоссе — уравнением $x_2 = -1,5t$. Сделать пояснительный рисунок (ось X направить вправо), на котором указать положение автомобиля и пешехода в момент начала наблюдения. С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Когда и где они встретились?

Дано:

Уравнение движения грузового автомобиля: $x_1(t) = -270 + 12t$

Уравнение движения пешехода: $x_2(t) = -1,5t$

Все величины даны в системе СИ (метры, секунды).

Найти:

1. Пояснительный рисунок с положением тел в момент $t=0$.

2. Скорости $v_1, v_2$ и направления движения.

3. Время $t_{встр}$ и координату $x_{встр}$ встречи.

Решение:

1. Сделать пояснительный рисунок (ось X направить вправо), на котором указать положение автомобиля и пешехода в момент начала наблюдения.

Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, $v_x$ — проекция скорости на ось X.

В момент начала наблюдения время $t=0$.

Начальная координата автомобиля: $x_{01} = x_1(0) = -270 + 12 \cdot 0 = -270$ м.

Начальная координата пешехода: $x_{02} = x_2(0) = -1,5 \cdot 0 = 0$ м.

Скорость автомобиля $v_{x1} = 12$ м/с, что больше нуля, значит, вектор скорости направлен вправо, по направлению оси Х.

Скорость пешехода $v_{x2} = -1,5$ м/с, что меньше нуля, значит, вектор скорости направлен влево, против направления оси Х.

Изобразим это на рисунке:

Ответ: Рисунок представлен выше. В начальный момент времени автомобиль находился в точке с координатой -270 м, а пешеход - в начале координат (0 м).

С какими скоростями и в каком направлении они двигались?

Сравнивая данные уравнения движения с общим видом $x(t) = x_0 + v_x t$, мы можем определить проекции скоростей на ось X.

Для грузового автомобиля: $x_1 = -270 + 12t$. Проекция его скорости на ось Х равна $v_{x1} = 12$ м/с. Так как проекция положительна ($v_{x1} > 0$), автомобиль движется в положительном направлении оси Х (вправо). Модуль скорости (скорость) равен $v_1 = |v_{x1}| = 12$ м/с.

Для пешехода: $x_2 = -1,5t$. Это уравнение можно записать как $x_2 = 0 + (-1,5)t$. Проекция его скорости на ось Х равна $v_{x2} = -1,5$ м/с. Так как проекция отрицательна ($v_{x2} < 0$), пешеход движется в отрицательном направлении оси Х (влево). Модуль скорости (скорость) равен $v_2 = |v_{x2}| = 1,5$ м/с.

Ответ: Скорость грузового автомобиля $12$ м/с, он движется вправо (по направлению оси X). Скорость пешехода $1,5$ м/с, он движется влево (против направления оси X).

Когда и где они встретились?

Встреча произойдет в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты будут равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

Приравняем правые части уравнений движения:

$-270 + 12t_{встр} = -1,5t_{встр}$

Перенесем слагаемые с $t_{встр}$ в одну сторону, а числовые значения - в другую:

$12t_{встр} + 1,5t_{встр} = 270$

$13,5t_{встр} = 270$

$t_{встр} = \frac{270}{13,5} = 20$ с.

Теперь найдем координату встречи $x_{встр}$, подставив найденное время в любое из двух уравнений. Воспользуемся уравнением для пешехода, так как оно проще:

$x_{встр} = x_2(20) = -1,5 \cdot 20 = -30$ м.

Для проверки подставим время встречи в уравнение для автомобиля:

$x_{встр} = x_1(20) = -270 + 12 \cdot 20 = -270 + 240 = -30$ м.

Результаты совпадают, следовательно, вычисления верны.

Ответ: Автомобиль и пешеход встретились через $20$ секунд после начала наблюдения в точке с координатой $-30$ м.