Номер 25, страница 9 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

25. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 м/с. Второй догоняет его со скоростью 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени равно 200 м. Написать уравнения движений мотоциклистов в системе отсчёта, связанной с землёй, приняв за начало координат место нахождения второго мотоциклиста в начальный момент времени и выбрав за положительное направление оси Х на-правление движения мотоциклистов. Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов (рекомендуемые масштабы: в 1 см 100 м; в 1 см 5 с). Найти время и место встречи мотоциклистов.

Дано:

Скорость первого мотоциклиста: $v_1 = 10 \text{ м/с}$
Скорость второго мотоциклиста: $v_2 = 20 \text{ м/с}$
Начальное расстояние между мотоциклистами: $s = 200 \text{ м}$
Система отсчета: начало координат ($x=0$) в начальном положении второго мотоциклиста, ось X направлена по движению.

Найти:

1. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.
2. Построить графики движения $x(t)$.
3. Время встречи $t_{встр}$ и место встречи $x_{встр}$.

Решение:

Так как мотоциклисты движутся с постоянными скоростями, их движение является равномерным прямолинейным. Общее уравнение для такого движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата тела, а $v_x$ — проекция его скорости на ось X.

Написать уравнения движений мотоциклистов

Согласно условию, начало отсчета ($x=0$) находится в точке старта второго мотоциклиста, а ось X направлена в сторону их движения.

Для второго мотоциклиста начальная координата $x_{02} = 0 \text{ м}$. Его скорость направлена вдоль оси X, поэтому проекция скорости $v_{2x} = v_2 = 20 \text{ м/с}$.
Таким образом, уравнение движения второго мотоциклиста: $$x_2(t) = 0 + 20t = 20t$$

Первый мотоциклист в начальный момент времени находится впереди второго на 200 м. Следовательно, его начальная координата $x_{01} = 200 \text{ м}$. Его скорость также направлена вдоль оси X, поэтому $v_{1x} = v_1 = 10 \text{ м/с}$.
Уравнение движения первого мотоциклиста: $$x_1(t) = 200 + 10t$$

Ответ: Уравнение движения первого мотоциклиста: $x_1(t) = 200 + 10t$; уравнение движения второго мотоциклиста: $x_2(t) = 20t$ (где $x$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах).

Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для равномерного прямолинейного движения являются прямыми линиями. Для построения каждой прямой достаточно двух точек.

Для первого мотоциклиста ($x_1(t) = 200 + 10t$):
— при $t=0 \text{ с}$, $x_1 = 200 + 10 \cdot 0 = 200 \text{ м}$. Точка А (0; 200).
— для удобства возьмем время встречи $t=20 \text{ с}$ (рассчитано ниже), $x_1 = 200 + 10 \cdot 20 = 400 \text{ м}$. Точка В (20; 400).

Для второго мотоциклиста ($x_2(t) = 20t$):
— при $t=0 \text{ с}$, $x_2 = 20 \cdot 0 = 0 \text{ м}$. Точка C (0; 0).
— при $t=20 \text{ с}$, $x_2 = 20 \cdot 20 = 400 \text{ м}$. Точка В (20; 400).

Для построения чертежа нужно нарисовать оси координат: горизонтальную ось времени $t$ (в секундах) и вертикальную ось координаты $x$ (в метрах). В соответствии с рекомендованными масштабами (1 см : 100 м по оси $x$; 1 см : 5 с по оси $t$), нанести точки на координатную плоскость и соединить их прямыми. График $x_1(t)$ — это прямая, проходящая через точки А(0; 200) и В(20; 400). График $x_2(t)$ — это прямая, проходящая через начало координат С(0; 0) и точку В(20; 400). Точка пересечения графиков В(20; 400) показывает время и место встречи.

Ответ: Графики движения — две прямые линии. График первого мотоциклиста проходит через точки с координатами (0 с; 200 м) и (20 с; 400 м). График второго мотоциклиста проходит через точки (0 с; 0 м) и (20 с; 400 м).

Найти время и место встречи мотоциклистов

В момент встречи ($t_{встр}$) координаты мотоциклистов должны быть одинаковы, то есть $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$. Приравняем правые части уравнений движения: $$200 + 10t_{встр} = 20t_{встр}$$ Теперь решим это линейное уравнение относительно $t_{встр}$: $$20t_{встр} - 10t_{встр} = 200$$ $$10t_{встр} = 200$$ $$t_{встр} = \frac{200}{10} = 20 \text{ с}$$ Чтобы найти место встречи ($x_{встр}$), подставим найденное время в любое из двух уравнений движения. Возьмем уравнение для второго мотоциклиста, так как оно проще: $$x_{встр} = x_2(20) = 20 \cdot 20 = 400 \text{ м}$$ Для проверки можно подставить время в уравнение первого мотоциклиста: $$x_{встр} = x_1(20) = 200 + 10 \cdot 20 = 200 + 200 = 400 \text{ м}$$ Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: Время встречи мотоциклистов равно 20 с. Место встречи находится в точке с координатой 400 м от начального положения второго мотоциклиста.